王慧嫻

同學(xué)們對圓錐曲線中的定點(diǎn)問題并不陌生，此類問題一般較為復(fù)雜，側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯思維能力和運(yùn)算能力.解答此類問題一般有兩種思路：先設(shè)后求和設(shè)而不求.下面我們結(jié)合一道題目來進(jìn)行探討.

例題：已知A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)G是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與橢圓的另一交點(diǎn)為C，PB與橢圓的另一交點(diǎn)為D，證明：直線CD過定點(diǎn).

我們可先根據(jù)題意繪制出圖形，以便明確各點(diǎn)、線之間的位置關(guān)系，這樣也方便尋找解題的思路.要證明直線CD過定點(diǎn)，需先結(jié)合題意求出直線CD的方程，然后根據(jù)一次等式的性質(zhì)來求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

一、先設(shè)后求

先設(shè)后求是指先設(shè)出直線的方程或點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意進(jìn)行求解.該思路較為直接，是大部分同學(xué)慣用的解題思路.對于本題，我們可先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，以便根據(jù)直線的兩點(diǎn)式求得直線AP、BP的方程，再將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和直線CD的方程，便能快速確定定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：由題意可得A（-3，0），B（3，0），設(shè)點(diǎn)P（6，t），

則直線AP的方程為，

聯(lián)立線AP的方程和橢圓的方程可得

解方程可得x=-3或，

則點(diǎn)，

同理可得點(diǎn)，

則直線CD的方程為，故直線CD過定點(diǎn)??? .

二、設(shè)而不求

設(shè)而不求是指設(shè)出相關(guān)的點(diǎn)、直線的方程，而不求出它的具體值，并將其當(dāng)作已知的值代入題設(shè)中進(jìn)行求解.在求解圓錐曲線的定點(diǎn)問題時(shí)，我們可將問題中動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來，將其視為定點(diǎn)來進(jìn)行求解.對于本題，我們可設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），然后聯(lián)立直線和橢圓的方程，通消參得到一元二次方程，進(jìn)而得到關(guān)于x1、y1、x2、y2的表達(dá)式，對過定點(diǎn)的直線的解析式進(jìn)行化簡、整理，即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：由題意可得A（-3，0），B（3，0），

設(shè)點(diǎn)P（6，n），當(dāng)n=0時(shí)，CD=BA，

當(dāng)n≠0時(shí)，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），

∵直線，直線，

聯(lián)立線AP的方程和橢圓的方程可得

化簡整理可得（n2+9）y2-6ny=0，

∴，，

∴點(diǎn)，

同理可得，

當(dāng)，n2=3時(shí)，，

當(dāng)，n2≠3時(shí)，直線CD斜率為，

∴直線CD的方程為，

∴直線CD過定點(diǎn)??? .

通過上述分析，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用先設(shè)后求、設(shè)而不求兩種不同的思路求解圓錐曲線定點(diǎn)問題，可以得到不同的解題方案.雖然運(yùn)用這兩種思路解題的運(yùn)算量都比較大，但是不同的解題思路有其不同的優(yōu)勢.相比較而言，第一種思路較為直接，第二種思路較為靈活.同學(xué)們要善于發(fā)現(xiàn)不同的解題思路，以便優(yōu)化解題的方案.

（作者單位：江蘇省啟東市東南中學(xué)）