林世錦 馮帆

數(shù)列求和問(wèn)題常以壓軸題的形式出現(xiàn)在各類(lèi)試卷中，此類(lèi)問(wèn)題一般較為復(fù)雜，且難度系數(shù)較大.當(dāng)遇到遞推式中含有（-1）n的數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，很多同學(xué)在解題時(shí)常常找不到正確的解題思路.本文結(jié)合實(shí)例來(lái)探討一下解答此類(lèi)數(shù)列求和問(wèn)題的方法.

例題：數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)_______.

題目只給出了數(shù)列的遞推公式，卻沒(méi)有給出數(shù)列的首項(xiàng)，只能根據(jù)遞推公式得到兩項(xiàng)之間的關(guān)系式，解題的難度較大.通過(guò)研究，筆者得到如下三種求解方法.

一、直接法

直接法是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法，是指根據(jù)題意，直接運(yùn)用相關(guān)的定理、公式、定義來(lái)進(jìn)行推理、運(yùn)算，進(jìn)而得到問(wèn)題答案的方法.對(duì)于本題，我們可以由數(shù)列的遞推公式得到數(shù)列的前幾項(xiàng)，再由其和猜想數(shù)列的前60項(xiàng)和的規(guī)律.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a3+a2=3，a5+a4=7，a7+a6=11，a61+a60=119.

由an+1+（-1）nan=2n-1①，

得an+2+（-1）n+1an+1=2n+1②，

由①②兩式可得an+2+an=2n+1+（-1）n（2n-1），

則an+4+an+2=2（n+2）+1+（-1）n+2（2n+3）③，

聯(lián)立②③式可得an+4-an=4+4（-1）n，

因此當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+4=an，則a61=a1，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+4-an=8.

所以a3+a2+a5+a4+a7+a6+…+a61+a60=a1+a2+a3+…+a60=1830.

我們從已知遞推公式出發(fā)，通過(guò)消元得到②③式，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)列各項(xiàng)之間的規(guī)律：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an+4=an;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an+4-an=8，求得數(shù)列前幾項(xiàng)的和，便可求得數(shù)列的前60項(xiàng)的和.

二、轉(zhuǎn)化法

轉(zhuǎn)化法是指通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化將復(fù)雜、難度較大的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、易于求解的問(wèn)題的方法.在解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)求和問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)發(fā)現(xiàn)規(guī)律或借助數(shù)列的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，易于求解的問(wèn)題.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，…，

所以a1+a2+a3+a4=10，a5+a6+a7+a8=26，

所以該數(shù)列從第一項(xiàng)開(kāi)始，每四項(xiàng)的和排列起來(lái)就是一個(gè)以10為首項(xiàng)，16為公差的等差數(shù)列，

因此a1+a2+…+a60=10+26+…+234=1830.

我們從已知遞推公式出發(fā)，分別用a1表示數(shù)列的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)從第一項(xiàng)開(kāi)始，每四項(xiàng)相加可以消掉未知的a1，且其和構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式便可求得數(shù)列的前60項(xiàng)和.

三、特殊值法

特殊值法是解答選擇、填空題的一種常用方法.有些問(wèn)題較為復(fù)雜，且運(yùn)算量較大，此時(shí)我們可以根據(jù)題意選擇幾個(gè)滿(mǎn)足題意的特殊值，將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解，便可快速求得問(wèn)題的答案.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1可得an+1=2n-1-（-1）nan，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列無(wú)法確定，即a1不確定，要求數(shù)列的前60項(xiàng)之和，需先確定a1的值.不妨令a1=1，則a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，…，所以奇數(shù)項(xiàng)均為1，偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以??? .

我們通過(guò)研究可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)：前60項(xiàng)之和與a1的取值有關(guān)，于是給a1=1賦予特殊值，使無(wú)法確定的數(shù)列變成熟悉的數(shù)列，從而快速且準(zhǔn)確地獲得問(wèn)題的答案.

相比較而言，運(yùn)用第一種方法，推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣，對(duì)同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有很高的要求;第二方法較為靈活，對(duì)同學(xué)們的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)思維都有所要求;而第三種方法最為簡(jiǎn)單、有效，運(yùn)用該方法能快速、準(zhǔn)確地解題.因此，對(duì)于遞推式中含有（-1）n的數(shù)列求和問(wèn)題，我們要充分挖掘題目的本質(zhì)，找出問(wèn)題中變量與不變量，認(rèn)清變量之間的關(guān)系，從而找到數(shù)列的規(guī)律，快速求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）