馬 晶 趙明宣 王浩淼 劉 湃,2) 亢 戰(zhàn)

*(大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116024)

?(上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201109)

引言

自20 世紀(jì)90 年代Bends?e 和Kikuchi[1]基于數(shù)值均勻化的拓?fù)鋬?yōu)化方法提出以來,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)經(jīng)歷了近30 年的快速發(fā)展,形成了較為成熟的理論體系,并被廣泛應(yīng)用于航空、航天[2-3]、汽車[4]等各領(lǐng)域結(jié)構(gòu)的輕量化[5]、多功能材料[6]等性能設(shè)計(jì).在概念設(shè)計(jì)階段,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在滿足多種設(shè)計(jì)約束的前提下,同時(shí)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的形狀及拓?fù)湟詫?shí)現(xiàn)特定的優(yōu)化目標(biāo).目前,被廣泛采用的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要包括變密度法[7](solid isotropic material with penalization,SIMP)、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法[8-9]及水平集方法[10-13],并發(fā)展出為各種具體的理論[14]和方法[15].其中,水平集方法基于隱式邊界描述,便于處理結(jié)構(gòu)邊界的演化、融合,并能夠提供清晰的結(jié)構(gòu)邊界描述.

在工程領(lǐng)域,包含嵌入式組件的結(jié)構(gòu)較為常見,如衛(wèi)星支架與導(dǎo)航定位等功能性組件.通常,此類包含嵌入式組件的結(jié)構(gòu)需要應(yīng)用在空間緊俏的狹小空間(如航天工程[16-17](如圖1 所示),微機(jī)電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical systems,MEMS)以及汽車工程等),因而此類結(jié)構(gòu)也常將部分功能性組件用于結(jié)構(gòu)承載.

圖1 典型的飛行器多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[17]Fig.1 Typical aircraft multi-component structure system[17]

針對(duì)這類結(jié)構(gòu),功能性組件與支撐材料連接界面的失效,會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度下降甚至完全喪失承載力.因而,考慮連接界面的力學(xué)性能對(duì)多組件結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)十分必要.此外,為實(shí)現(xiàn)多組件結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性能,需同時(shí)對(duì)支撐材料的分布及功能性組件的形狀及布局進(jìn)行設(shè)計(jì),并考慮組件最小距離控制等[16,18]設(shè)計(jì)約束避免組件間(如電磁等)功能的相互干涉.

目前,針對(duì)多材料及多組件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),學(xué)者們提出了多種拓?fù)鋬?yōu)化方法:Bends?e 和Sigmund[19]提出基于變密度法的多相材料插值模型;Wang 等[10]提出color level set 方法,在水平集法框架下采用m個(gè)水平集函數(shù)描述2m相材料的分布;Wang 等[20]提出多材料水平集方法,利用m個(gè)水平集函數(shù)描述m+1 相材料的分布,有效避免了設(shè)計(jì)域內(nèi)因多個(gè)水平集函數(shù)相交而產(chǎn)生的冗余區(qū)域.張衛(wèi)紅等[16-18]對(duì)多組件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了一系列系統(tǒng)的研究,提出了基于有限圓形近似組件邊界位置的多組件距離控制約束及多組件結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法;此外還有學(xué)者對(duì)嵌入孔洞的布局優(yōu)化[21]進(jìn)行了研究.然而,上述多材料及多組件設(shè)計(jì)方法,并未考慮材料連接界面可能發(fā)生的張開及失效.由于結(jié)構(gòu)拓?fù)潆S優(yōu)化迭代實(shí)時(shí)演化,如何在優(yōu)化過程中實(shí)時(shí)追蹤連接界面位置,準(zhǔn)確描述界面的張開及失效成為了學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一.Lawry 等[22]針對(duì)material anchor 這一特殊雙材料結(jié)構(gòu),考慮材料界面的滑動(dòng)摩擦接觸,對(duì)其剛度進(jìn)行設(shè)計(jì),并將此工作擴(kuò)展到大變形[23]等現(xiàn)象;劉湃等[24-26]基于內(nèi)聚力模型,結(jié)合擴(kuò)展有限元方法在固定網(wǎng)格下提出考慮多材料及包含固定形狀組件結(jié)構(gòu)連接界面力學(xué)性能的拓?fù)鋬?yōu)化方法,考慮了界面可能發(fā)生的張開與失效,并以剛度為目標(biāo)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì).此外,考慮梯度界面的雙材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化[27],考慮脆性材料界面的抗斷裂結(jié)構(gòu)拓?fù)鋄28]和復(fù)合材料[29]結(jié)構(gòu)優(yōu)化,以及以接觸面分布力均勻化[30]為目標(biāo)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化等研究都探索了優(yōu)化迭代時(shí)材料界面模型對(duì)最終設(shè)計(jì)的影響.

盡管作者在之前的工作[25]中對(duì)考慮連接界面力學(xué)性能的多組件結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了研究,但所考慮的內(nèi)嵌組件形狀固定不變,這直接導(dǎo)致組件與支撐結(jié)構(gòu)之間連接界面的形狀受限于給定組件的幾何形狀.然而,當(dāng)考慮連接界面張開時(shí),結(jié)構(gòu)的性能不僅依賴于多組件的布局及支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)?還顯著依賴于連接界面的形狀.因而,本文考慮連接界面力學(xué)性能,對(duì)形狀可變的多組件與支撐結(jié)構(gòu)拓?fù)涞膮f(xié)同優(yōu)化進(jìn)行研究,采用超橢圓描述可變組件,顯著擴(kuò)展了設(shè)計(jì)空間,能夠描述更為復(fù)雜的連接界面形狀.本文針對(duì)包含多個(gè)內(nèi)嵌組件的結(jié)構(gòu),考慮組件與支撐材料連接界面的力學(xué)性能,同時(shí)優(yōu)化組件的形狀、空間布局及支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)?以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)剛度設(shè)計(jì)(見圖2).首先,采用超橢圓模型參數(shù)化組件的形狀及布局(如空間位置、旋轉(zhuǎn)角度等),并同時(shí)構(gòu)造其水平集函數(shù)表達(dá);進(jìn)而,在固定網(wǎng)格下,以內(nèi)聚力模型作為連接界面本構(gòu),結(jié)合水平集描述及擴(kuò)展有限元方法,準(zhǔn)確分析隨優(yōu)化迭代不斷演化的連接界面的張開位移;進(jìn)一步,在水平集方法框架下建立以剛度為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化列式并推導(dǎo)解析的靈敏度表達(dá),基于數(shù)學(xué)規(guī)劃算法[31](method of moving asymptote,MMA)求解優(yōu)化問題.

圖2 包含嵌入組件的結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure with two embedded components

1 考慮界面力學(xué)性能的多組件結(jié)構(gòu)分析

1.1 基于超橢圓描述的內(nèi)嵌組件及其水平集函數(shù)構(gòu)造

本文基于超橢圓模型參數(shù)化形狀可變組件的形狀及空間布局.超橢圓定義式為(|x/a|η+|y/b|η)=1,其中a,b分別為超橢圓的長軸、短軸,η 為超橢圓的階次,且a,b,η ＞0.超橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)可由以t為參數(shù)的參數(shù)方程表達(dá)

超橢圓模型可以描述從菱形到矩形的連續(xù)形狀變化.如圖3 所示,不同超橢圓階次η 控制了超橢圓的形狀:η=2 時(shí)為橢圓,η →∞時(shí)為矩形.為保證組件邊界的光滑性,避免可能出現(xiàn)的應(yīng)力集中,本文限制參數(shù)η ∈[2,6].

圖3 參數(shù)η 取不同值時(shí)超橢圓的形狀Fig.3 Superellipse with different parameter η values

超橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(±a,0),(0,±b),其頂點(diǎn)為(±sa,±sb),是從圓點(diǎn)出發(fā)到矩形4 個(gè)頂點(diǎn)的連線與超橢圓的交點(diǎn)(圖3 中的圓點(diǎn)),其中s=2-1/η.超橢圓的面積可以通過Beta 函數(shù)計(jì)算

基于超橢圓的顯式參數(shù)表達(dá),可構(gòu)造其水平集函數(shù)為φ(γ)=-(|x′/a|η+|y′/b|η)+1,其中x′,y′為局部坐標(biāo),可由組件的中心坐標(biāo)和角度(如圖4 所示) 變換得到

圖4 內(nèi)嵌組件局部和整體坐標(biāo)Fig.4 Local and global coordinate systems of the components

超橢圓組件的參數(shù)γ包括長短軸a,b以及旋轉(zhuǎn)角度θ,以及組件的中心坐標(biāo)(x0,y0).圖5 給出了由參數(shù)γ構(gòu)建的組件水平集函數(shù).

圖5 超橢圓組件的水平集函數(shù)Fig.5 Level set functions of superellipse components

1.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)浼斑B接界面的水平集描述

本文中組件和支撐結(jié)構(gòu)使用不同材料.本文采用多材料插值模型[20,25]描述設(shè)計(jì)域中內(nèi)嵌組件,支撐材料的材料屬性,并描述其連接界面位置.對(duì)于包含M個(gè)內(nèi)嵌組件的結(jié)構(gòu),需要M+1 個(gè)水平集函數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述,其中φm(m=1,2,···,M)用于描述組件,φh用于描述支撐結(jié)構(gòu).利用Heaviside 函數(shù)可以表征材料分布如下

其中χm,χh,χv分別表征第m個(gè)組件、支撐結(jié)構(gòu)和孔洞的材料分布.故任意點(diǎn)的材料屬性可以由如下插值得到

組件q與支撐結(jié)構(gòu)的連接界面可以通過插值表示為

考慮采用距離約束避免組件重疊的情況,式(6)可以簡化為

設(shè)計(jì)域中的全部連接界面可表示為

圖6 給出了M=2 時(shí)基于水平集的多相材料和連接界面的表征.

圖6 基于水平集函數(shù)的多相材料及連接界面表征Fig.6 Multiphase material and interface characterization

1.3 連接界面內(nèi)聚力模型

內(nèi)聚力模型在斷裂力學(xué)中被廣泛應(yīng)用于描述多相材料結(jié)構(gòu)的連接界面,表征了界面之間的黏結(jié)力[32]和張開位移之間關(guān)系的.本文所采用的指數(shù)型內(nèi)聚力模型[33](見圖7) 基于光滑的非線性函數(shù),可以描述界面的初始彈性階段和軟化階段,并且考慮了界面法向張開位移和剪切方向位移的耦合.

圖7 指數(shù)型內(nèi)聚力模型示意圖Fig.7 Schematic illustration of exponential cohesive zone model

如圖8 所示,二維結(jié)構(gòu)的材料連接界面從初始位置受力張開,界面上的P點(diǎn)在張開后移動(dòng)到點(diǎn)P+和P-.

圖8 連接界面張開示意圖Fig.8 Schematic illustration of interface’s opening

界面間的黏結(jié)力t可表示為

其中,δs和δn分別表示界面剪切方向的位移向量以及法向張開位移向量,tequ和δequ分別表示等效界面黏結(jié)力和等效界面張開位移,其表達(dá)式如下

其中,β 是調(diào)節(jié)法向及切向位移耦合關(guān)系的權(quán)重系數(shù),δne和tne分別表示連接界面上的有效張開位移和載荷向量

其中,n是界面的法向量.

等效界面張開位移和等效界面黏結(jié)力中只考慮了界面的法向拉伸以及剪切量的作用,因而排除了界面受壓發(fā)生破壞的情況.tequ和δequ滿足如下關(guān)系式

其中,σc是內(nèi)聚力模型中的界面力的峰值,δc是與之對(duì)應(yīng)的界面張開位移,e是歐拉數(shù).Gf是斷裂能,是tequ在δequ從零到無窮的積分,Gf=eσcδc就是圖7中的陰影部分的面積.

1.4 擴(kuò)展有限元方法及非線性問題求解

由于本文采用內(nèi)聚力模型描述連接界面的力學(xué)性能,當(dāng)計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí),需要對(duì)界面的張開位移(即界面處位移場(chǎng)的強(qiáng)間斷)進(jìn)行準(zhǔn)確描述.擴(kuò)展有限元法[34](extended finite element method,XFEM) 通過在相關(guān)節(jié)點(diǎn)引入附加的位移自由度并利用間斷的擴(kuò)充形函數(shù)進(jìn)行位移插值,可以在固定網(wǎng)格下描述位移場(chǎng)的間斷屬性.

圖9 中,連接界面穿過結(jié)構(gòu)化有限元網(wǎng)格,在被切割的單元節(jié)點(diǎn)上引入的附加自由度,用于插值界面的張開位移.

圖9 擴(kuò)展有限元附加自由度示意圖Fig.9 Schematic illustration of XFEM and additional degrees

結(jié)構(gòu)中除界面以外的任意點(diǎn)x的位移可以由有限元的節(jié)點(diǎn)位移和附加自由度的位移插值得到

其中,D指設(shè)計(jì)域,Γcoh表示被界面切割單元的節(jié)點(diǎn)集合,Ni和Nj為標(biāo)準(zhǔn)有限元的形函數(shù),ai和bj分別是標(biāo)準(zhǔn)有限元自由度和附加自由度,v(x)為移軸后的間斷函數(shù).界面上任意點(diǎn)x的張開位移向量udisc在全局坐標(biāo)下可以表示為

而法向和切向的界面張開位移向量可表示為

在平衡狀態(tài)下,考慮材料連接界面張開的多相材料結(jié)構(gòu)的虛功原理表示為

其中,σ和ε為應(yīng)力和應(yīng)變向量,f為體力,～t是結(jié)構(gòu)所受的邊界力;δu,δudisc和δε分別為虛位移,界面張開虛位移和虛應(yīng)變.

在數(shù)值計(jì)算中,材料連接界面為零水平集與離散網(wǎng)格的交點(diǎn)所連成的折線,進(jìn)而將包含位移間斷的有限單元三角化為若干子單元進(jìn)行高斯積分.因?yàn)閮?nèi)聚力模型的非線性,本文采用增量形式的求解格式,將殘差表示為R=fint-λfext(其中λ 是載荷因子) (參考文獻(xiàn)[21-23])的形式.具體來說,第k+1 個(gè)增量步的殘差力向量可以在第k增量步上展開為如下表達(dá)

其中,KT=?R/?d表示切向剛度矩陣,上標(biāo)k+1 和k表示增量步編號(hào),k+1Δd=k+1d-kd,k+1Δλ=k+1λ-kλ.在每個(gè)增量步中,采用Newton-Raphson(N-R)算法迭代搜索結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài).

2 拓?fù)鋬?yōu)化問題列式

本節(jié)基于速度場(chǎng)水平集方法和參數(shù)化的水平集函數(shù)建立拓?fù)鋬?yōu)化列示,見方程(18)

對(duì)于支撐材料,在水平集網(wǎng)格上定義了一組對(duì)應(yīng)其水平集函數(shù)φh的速度設(shè)計(jì)變量,即1,2,···,n,其中,n為水平集網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的數(shù)目).支撐材料邊界的法向演化速度可以通過設(shè)計(jì)變量的雙線性插值得到:

對(duì)于可變組件,超橢圓長短軸和階數(shù)a,b,η,及其位置(x0,y0)和角度θ 為設(shè)計(jì)變量.每個(gè)組件對(duì)應(yīng)一組設(shè)計(jì)變量γm,可以確定當(dāng)前組件的水平集.將組件的參數(shù)和基體結(jié)構(gòu)零水平集的演化速度作為協(xié)同優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量.

結(jié)構(gòu)的外力功可以表示為材料中存儲(chǔ)的應(yīng)變能和材料連接界面力所做功的和,即

約束函數(shù)g1約束支撐材料的體積,其中表示給定的支撐材料體積分?jǐn)?shù)值.約束函數(shù)g2和g3分別是組件的非重疊約束和最小距離約束.非重疊約束[12]g2將組件約束在設(shè)計(jì)域之內(nèi).g3為距離約束,使任意兩個(gè)組件之間的距離(即兩個(gè)超橢圓中心的距離與各自中心到頂點(diǎn)(見圖3) 的距離之差) 大于對(duì)于不同的組件可以采用不同的值.K為總增量步,和表示支撐材料邊界演化速度的下界和上界,其值受限于CFL 條件所規(guī)定的最大演化步長.本文使用MMA 優(yōu)化求解算法[28]更新設(shè)計(jì)變量(水平集網(wǎng)格點(diǎn)上的速度設(shè)計(jì)變量)并通過插值獲得結(jié)構(gòu)邊界的演化速度,然后使用快速行進(jìn)方法(fast marching)將這些邊界速度外推到整個(gè)域,進(jìn)而基于Hamilton-Jacobi 方程

更新支撐材料拓?fù)?組件的水平集函數(shù)在每次參數(shù)更新后重新構(gòu)建.

3 靈敏度分析

本節(jié)在速度場(chǎng)水平集法框架下,推導(dǎo)目標(biāo)及約束函數(shù)對(duì)于速度設(shè)計(jì)變量的靈敏度.首先將目標(biāo)函數(shù)表示成各增量步對(duì)應(yīng)值的疊加,即考慮平衡方程,建立優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)

通過將式(21)對(duì)狀態(tài)變量求導(dǎo),可得伴隨方程.求解伴隨方程可得伴隨變量(見文獻(xiàn)[23]).最終,目標(biāo)函數(shù)的對(duì)支撐材料速度設(shè)計(jì)變量的靈敏度可表示為

其中,參數(shù)ξ3=?D/?φh為材料矩陣對(duì)于支撐材料水平集的導(dǎo)數(shù),且利用其中的δ 函數(shù),將域積分的靈敏度轉(zhuǎn)換成沿零水平集的線積分形式.由于組件由超橢圓參數(shù)組γm直接控制,因此目標(biāo)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度可通過鏈?zhǔn)椒▌t

得到,其中下標(biāo)m=1,2,···,M,表示組件的相關(guān)參數(shù).此外,由于組件的非重疊約束及距離約束的靈敏度只依賴于組件設(shè)計(jì)變量,同樣可以通過鏈?zhǔn)椒▌t獲得.

4 數(shù)值算例

本章在平面應(yīng)變假設(shè)下考慮包含內(nèi)嵌組件的懸臂梁及MBB 梁拓?fù)鋬?yōu)化問題.支撐材料(材料1)和組件材料(材料2) 的剛度分別為E1=30 000,E2=90 000,泊松比為ν1=ν2=0.15.為避免有限元分析中剛度矩陣的奇異,孔洞相的材料參數(shù)設(shè)置為E3=10-6,ν3=0.15.內(nèi)聚力連接界面的參數(shù)設(shè)置(見方程(12))如下:Gf=0.05,界面力峰值σc=1,對(duì)應(yīng)的界面張開位移峰值δc=Gf/eσc=0.018 4,內(nèi)聚力模型中界面法向張開位移和切向張開位移耦合的權(quán)系數(shù)β=2,界面的受壓剛度設(shè)置為大常數(shù)dn=108,以避免界面受壓時(shí)發(fā)生穿透現(xiàn)象.所有算例都通過位移進(jìn)行加載,在非線性有限元分析中,位移載荷通過20 個(gè)增量步逐步增加至dP=0.05.數(shù)值算例全部采用邊長為10 的正方形雙線性單元對(duì)設(shè)計(jì)域進(jìn)行離散,并采用與有限元網(wǎng)格重合的水平集網(wǎng)格進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化.設(shè)置演化步長0.5 倍水平集網(wǎng)格尺寸;為了保證水平集函數(shù)的符號(hào)距離特征,對(duì)支撐材料的水平集函數(shù)φh每3 個(gè)迭代步進(jìn)行一次初始化;組件的水平集函數(shù)每次參數(shù)更新后都重新生成.

4.1 懸臂梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

圖10 給出包含內(nèi)嵌兩個(gè)超橢圓組件的懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題示意圖.寬800、高400 的懸臂梁結(jié)構(gòu)左邊固定,在右邊中點(diǎn)施加非零位移.

圖10 懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.10 Schematic illustration of cantilever beam structure

在組件形狀、布局及支撐材料拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化過程中,可變組件和支撐材料的拓?fù)溲莼ハ嘤绊?不同的初始構(gòu)型演化出不同的結(jié)構(gòu).初始時(shí)采用了如圖11(a)的初始構(gòu)型對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化(支撐材料引入稀疏分布的較大孔洞).

圖11 拓?fù)鋬?yōu)化不同的初始解Fig.11 Different initial designs

圖12 為在此初始結(jié)構(gòu)下協(xié)同優(yōu)化迭代的兩個(gè)中間結(jié)果及第一主應(yīng)力分布圖.如圖12(a) 所示,由于孔洞的存在以及支撐材料的體積約束在優(yōu)化的初始階段占據(jù)主導(dǎo),組件(圖12 中超橢圓曲線表示的部分)被困在局部區(qū)域.并且隨優(yōu)化的進(jìn)行,如圖12(b)所示中間設(shè)計(jì),結(jié)構(gòu)左側(cè)的組件移動(dòng)到不受力的孔洞區(qū)域以避免組件的連接界面發(fā)生拉伸及剪切破壞造成結(jié)構(gòu)的剛度損失.該局部解雖然不會(huì)發(fā)生界面破壞,但由于功能性組件并未承載,并未對(duì)結(jié)構(gòu)的承載能力提供貢獻(xiàn).

圖12 懸臂梁優(yōu)化迭代中間設(shè)計(jì)的第一主應(yīng)力分布Fig.12 The first principal stress distribution in intermediate designs of cantilever beam

為了避免這種情況的出現(xiàn),本文采用了兩個(gè)階段的優(yōu)化策略:首先在設(shè)計(jì)域布滿支撐材料并對(duì)組件的布局和形狀進(jìn)行優(yōu)化,為了避免組件過于靠近導(dǎo)致在孔洞演進(jìn)時(shí)發(fā)生重疊,設(shè)定距離約束的值C0=60;經(jīng)過一定步數(shù)的迭代,組件會(huì)移動(dòng)到受壓區(qū)域,此時(shí)在支撐材料域內(nèi)引入加密分布的均勻小孔洞(見圖11(b)),進(jìn)行組件和支撐材料結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化.

表1 給出了3 種初始構(gòu)型對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果,初始的組件均為半徑50 處于不同位置的圓,限制a,b∈[40,50],且限定第一階段的迭代步數(shù)為100 步.在3組優(yōu)化結(jié)果中,兩組件均演化為a,b=40,η=6 的超橢圓.但是由于組件參數(shù)和支撐結(jié)構(gòu)的相互影響,使用上述優(yōu)化策略得到的最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和目標(biāo)值有所不同,但是組件及其界面均處于受壓區(qū)域(優(yōu)化結(jié)果與圖12(b)相似).

表1 支撐材料體積分?jǐn)?shù)約束為0.4 時(shí),不同初始組件位置的懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化Table 1 Optimization of the cantilever beam structures with different initial components’positions, =0.4

表1 支撐材料體積分?jǐn)?shù)約束為0.4 時(shí),不同初始組件位置的懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化Table 1 Optimization of the cantilever beam structures with different initial components’positions, =0.4

進(jìn)一步考察不同支撐材料體積分?jǐn)?shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,使用與表1 中Case 1 相同的初始構(gòu)型,給定支撐材料體積分?jǐn)?shù)為0.45 和0.5,得到如圖13 所示的懸臂梁拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).從圖13 中可見,不同支撐材料體積用量下,組件的最優(yōu)布局及形狀基本不變,且當(dāng)支撐材料體積為0.5 時(shí)其拓?fù)湔宫F(xiàn)出明顯的非對(duì)稱性.

圖13 懸臂梁拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.13 Optimized designs of the cantilever beam

4.2 MBB 梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化

本小節(jié)以MBB 梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化為例討論了組件的形狀對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響.圖14 給出包含內(nèi)嵌組件的MBB 梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題示意圖.寬800,高400 的MBB梁結(jié)構(gòu)左邊約束水平方向位移,右下角點(diǎn)約束垂直方向位移,并在左下角施加非零位移.

圖14 MBB 梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.14 Schematic illustration of MBB beam structure

首先,采用與表1 中Case 1 相同的初始構(gòu)型(水平并列的半徑50 的圓) 和優(yōu)化策略及參數(shù),得到如圖15(a)的MBB 梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),目標(biāo)值為-0.47,兩組件演化為a,b=40,η=6 的超橢圓.經(jīng)主應(yīng)力分析,該優(yōu)化設(shè)計(jì)中的組件及其界面主要承受壓力作用(見圖15(b)).

圖15 MBB 梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)Fig.15 Optimized design of the MBB beam

進(jìn)一步,在優(yōu)化過程中將組件1 的形狀限定為橢圓形,組件2 的形狀限定為近似的矩形(即令η1∈[2,2.5],η2∈[4,6]),同樣采用與表1 中Case 1 相同的初始構(gòu)型和參數(shù)進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化,得到如圖16 所示的迭代歷史和優(yōu)化設(shè)計(jì).

圖16 MBB 梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化迭代過程Fig.16 Optimization iteration process of MBB beam structure

兩階段優(yōu)化策略中,第一階段依舊限制a,b∈[40,50],但是由于限制了兩個(gè)超橢圓組件的不同的η范圍,在此階段內(nèi)組件的形狀及布局并未產(chǎn)生顯著變化.在第二階段對(duì)組件形狀、布局和支撐材料拓?fù)溥M(jìn)行協(xié)同優(yōu)化,并設(shè)定組件的長短軸a,b∈[30,80].在協(xié)同優(yōu)化的初始階段,支撐材料逐漸減少至給定的體積約束值,在此過程中目標(biāo)值-f隨之增大.體積約束滿足之后,通過結(jié)構(gòu)拓?fù)浜徒M件特征的優(yōu)化,得到了MBB 梁優(yōu)化設(shè)計(jì).同樣地,在優(yōu)化設(shè)計(jì)中,經(jīng)主應(yīng)力分析,組件及其連接界面主要承受壓應(yīng)力作用.兩個(gè)組件均演化為長軸80,短軸30 的超橢圓,且組件與支撐結(jié)構(gòu)的界面趨于曲率較小的直線或曲線.

雖然本算例及4.1 節(jié)算例均以雙組件布局與支撐結(jié)構(gòu)拓?fù)涞膮f(xié)同優(yōu)化作為典型對(duì)象進(jìn)行研究,但本文所采用的有限元分析及所提出的優(yōu)化方法對(duì)包含更多組件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題仍然適用.根據(jù)對(duì)已有優(yōu)化結(jié)果的觀察,當(dāng)組件數(shù)目增多時(shí),多組件的布局仍可能分布到結(jié)構(gòu)的受壓區(qū)域,且優(yōu)化結(jié)果中連接界面趨向于曲率較小的曲線.另一方面,隨著組件數(shù)目的增加,由于優(yōu)化過程中組件距離約束等的作用,多個(gè)組件之間的相互影響更為復(fù)雜,設(shè)計(jì)問題可能具有更多的局部最優(yōu)解.

5 結(jié)論

材料連接界面的力學(xué)性能對(duì)多相材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能及其優(yōu)化設(shè)計(jì)影響顯著.本文基于擴(kuò)展有限元及內(nèi)聚力模型考慮材料連接界面的力學(xué)性能,使用超橢圓描述了有一定設(shè)計(jì)自由度的、形狀及布局可變的內(nèi)嵌組件,提出了基于水平集描述的內(nèi)嵌組件形狀、布局及支撐材料拓?fù)涞膮f(xié)同優(yōu)化方法,本文給出了優(yōu)化問題的解析靈敏度,并基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法在速度場(chǎng)水平集方法框架下對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解.通過嵌入組件的懸臂梁和MBB 梁的優(yōu)化驗(yàn)證了優(yōu)化策略的可行性.

數(shù)值算例顯示,考慮連接界面性能的情況下,組件及界面主要處在壓應(yīng)力作用區(qū)域,且連接界面最優(yōu)形狀呈現(xiàn)為曲率較小的光滑曲線,該設(shè)計(jì)避免界面發(fā)生破壞進(jìn)而有效提高了結(jié)構(gòu)的承載力.基于此考慮連接界面的協(xié)同優(yōu)化框架,任意形狀的多組件內(nèi)嵌結(jié)構(gòu)的優(yōu)化也可以通過引入B 樣條的組件描述實(shí)現(xiàn).