郭梓龍 王 琳 倪 樵 賈青青 楊文正

(華中科技大學(xué)工程力學(xué)系,武漢 430074)

引言

在當(dāng)今迅速發(fā)展的工業(yè)時(shí)代,輸流管道已成為眾多工程裝備的重要組成元部件.海洋工程中的海洋立管、核電裝備中的管束結(jié)構(gòu)等都是輸流管道應(yīng)用的典型實(shí)例.在管內(nèi)流體的激勵(lì)下,管道因流體-固體耦合作用可產(chǎn)生自激振動(dòng)和有害噪聲.當(dāng)其他外界激勵(lì)頻率與輸流管道固有頻率相近時(shí)還可能引起共振,從而誘發(fā)受迫振動(dòng)與自激振動(dòng)的協(xié)同作用.事實(shí)上,輸流管的流固耦合過程也表現(xiàn)出一種較強(qiáng)的非線性流固耦合特征,正因?yàn)槿绱?輸流管結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題研究已成為流固耦合力學(xué)領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容之一[1-7].

懸臂輸流管道是典型的非保守系統(tǒng),在流速較大時(shí)會(huì)喪失穩(wěn)定性并發(fā)生動(dòng)態(tài)的非線性顫振現(xiàn)象,這顯著不同于兩端支承輸流管道只可能出現(xiàn)的靜態(tài)屈曲失穩(wěn)現(xiàn)象.懸臂輸流管道失穩(wěn)后的大幅顫振行為可加速管道構(gòu)件的疲勞破壞,嚴(yán)重時(shí)甚至可造成不可估量的安全事故.

在學(xué)術(shù)界,輸流管道出現(xiàn)失穩(wěn)時(shí)的流速值被稱為臨界流速.近年來,人們通過對(duì)臨界流速的調(diào)節(jié)已成為輸流管動(dòng)力學(xué)控制研究的一個(gè)重要內(nèi)容;此外,還有學(xué)者采用各種控制方法來降低管道振動(dòng)幅值,從而達(dá)到降低管道破裂或疲勞損傷等風(fēng)險(xiǎn)[8-15].

輸流管振動(dòng)控制方法主要包括主動(dòng)和被動(dòng)兩種.主動(dòng)控制方法通常借助外界能量的輸入來實(shí)現(xiàn)對(duì)輸流管系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制,從理論上來看具有較好的控制效果[16-18].例如,Abbasnejad 等[19]研究了含有軸向分布?jí)弘妼拥奈⒘黧w管道的穩(wěn)定性,同時(shí)還探討了支撐邊界對(duì)穩(wěn)定性的影響,其研究結(jié)果表明:通過對(duì)壓電層施加電壓差,可顯著抑制流體對(duì)管道振動(dòng)頻率的影響,從而擴(kuò)大了穩(wěn)定性區(qū)域.Ge 等[20]通過對(duì)管道施加一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的位移函數(shù),采用自適應(yīng)邊界控制技術(shù)對(duì)歐拉-伯努利梁進(jìn)行振動(dòng)抑制,驗(yàn)證了該控制方法的有效性.Szmidt 等[21]利用在懸臂管道上安裝電磁裝置的方式,使得運(yùn)動(dòng)中的電板在切割磁感線過程中產(chǎn)生阻力,以此來提高懸臂輸流管的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,也得到了較好的控制效果.

相比于主動(dòng)控制,被動(dòng)控制方式因其結(jié)構(gòu)簡單、不需要外界能量輸入,且具有一定的魯棒性等特點(diǎn),在工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用.輸流管被動(dòng)控制的方法有很多,比如動(dòng)力減振器法[22-23]、阻尼器法[24-25]、非線性能量匯法[26-27]等.Zhou 等[28]通過在懸臂管道上安裝非線性能量匯對(duì)管道振動(dòng)進(jìn)行控制,分析了不同能量匯參數(shù)對(duì)提高懸臂管道臨界流速的影響.Gourdon 等[29]通過實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證了不同類型激勵(lì)下非線性能量匯的減振效果,其實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在適當(dāng)?shù)耐饬Ψ捣秶鷥?nèi)有較好的振動(dòng)抑制效果.Li 等[30]提出了一種沖擊式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(PTMD),通過質(zhì)量塊與黏彈性材料的碰撞方式來耗散振動(dòng)能量,發(fā)現(xiàn)這種新型阻尼器可有效的控制振動(dòng).

近年來,有學(xué)者提出了將慣容器應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制問題之中,獲得了較好的被動(dòng)控制效果[31-36].慣容器相比于傳統(tǒng)的質(zhì)量塊而言體積更小.對(duì)于相同質(zhì)量的慣容器和普通質(zhì)量塊,慣容器能提供更大的慣性效應(yīng),它產(chǎn)生的慣性力與其兩自由端的加速度之差成正比關(guān)系,這使得慣容器方式已在多個(gè)工程實(shí)踐中得到了應(yīng)用.Shi 等[37]研究了在拉索一端安裝接地慣性阻尼器,探討了慣性系數(shù)和阻尼系數(shù)對(duì)拉索振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律,并由此提出一種優(yōu)化后的最佳慣性阻尼器設(shè)計(jì)方法.陳杰等[38]借助含有慣容器和負(fù)剛度的動(dòng)力減振器對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)控制,發(fā)現(xiàn)相比于傳統(tǒng)的動(dòng)力減振器,這種新型減振器在抑制梁的橫向振動(dòng)時(shí)更加有效.綜合已有研究報(bào)道來看,現(xiàn)有研究工作已將慣容器用于單自由度和多自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制之中,但這類減振器對(duì)非保守的懸臂輸流管系統(tǒng)是否有控制效果,目前還未可知.

本文針對(duì)懸臂輸流管系統(tǒng),試圖通過安裝帶有接地慣容器的減振器,探究慣容器對(duì)懸臂管臨界流速和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響.該慣容器既可產(chǎn)生慣性力,還引入了線性剛度、非線性剛度和阻尼等因素.首先,通過Hamilton 原理,給出了帶有接地慣容器非保守輸流管系統(tǒng)的控制方程;然后,借助數(shù)值方法進(jìn)行求解,驗(yàn)證此控制方法的有效性;最后,通過典型算例分析,得到不同參數(shù)取值下慣容器對(duì)懸臂輸流管道的控制效果.

1 理論模型

本文設(shè)計(jì)的減振器結(jié)構(gòu)由線性彈簧、阻尼器、慣容器和非線性彈簧并聯(lián)組成,安裝在懸臂管道x=xb處,減振器的另一端連接在地面,如圖1 所示.記懸臂管道沿y軸的橫向位移用y(s,t)表示,它是管軸線曲線坐標(biāo)s和時(shí)間t的函數(shù).為方便研究,忽略管道的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形;假設(shè)管內(nèi)流速恒定不變;管道中心線不可伸長;管道可發(fā)生較大橫向變形,但應(yīng)變較小.

圖1 帶有慣容減振裝置的懸臂輸流管示意圖Fig.1 Schematic diagram of a cantilever pipe with an inerter-based absorber

基于以上假設(shè),引入廣義的Hamilton 原理[4]

其中Ttot和Vtot分別表示懸臂管道系統(tǒng)的總動(dòng)能與總勢(shì)能,δW表示非保守力所做的虛功;式(1) 中等式右邊項(xiàng)代表流體從管道自由端流出時(shí)所做的虛功,rL和τL分別表示管道末端的位置矢量和切線矢量.式(1)中系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能與非有勢(shì)力做功項(xiàng)的詳細(xì)表達(dá)式可見附錄,由該式可推導(dǎo)得出帶有慣容減振器的懸臂管運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中,L為懸臂管道長度,m為單位長度的管道質(zhì)量,M為單位長度的流體質(zhì)量,U為管道內(nèi)流體的速度,EI為管道的抗彎剛度,E*為Kelvin-Voigt 阻尼系數(shù),g為重力加速度,KL和KNL分別為線性和非線性彈簧剛度系數(shù),B和C分別為慣容系數(shù)和阻尼系數(shù),(′)和(·)分別表示對(duì)曲線坐標(biāo)s和時(shí)間t的一階偏導(dǎo),δ(s)為Dirac delta 函數(shù).

為方便分析,得到更有普遍性的結(jié)論,引入下列無量綱參數(shù)

將式(3)代入運(yùn)動(dòng)微分方程(2)中得到無量綱化后的控制方程為

2 Galerkin 法離散化

借助Galerkin 方法對(duì)方程(4)進(jìn)行離散化,取懸臂梁的前N階模態(tài)函數(shù)進(jìn)行截?cái)嘟?此時(shí)管道橫向位移可寫為

其中,φr(ξ) 是懸臂梁無量綱化的模態(tài)函數(shù),qr(τ) 是相應(yīng)離散系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),φ=[φ1,φ2,···,φN] 和q=[q1,q2,···,qN]T分別為特征函數(shù)和廣義坐標(biāo)向量.將式(5)代入無量綱方程(4)中,利用模態(tài)函數(shù)的正交性,在整個(gè)等式同時(shí)左乘φT并在區(qū)間[0,1]上積分后可得

其中,ML和MNL為質(zhì)量矩陣,CL和CNL為阻尼矩陣,KL和KNL為剛度矩陣,下標(biāo)L 和NL 分別表示線性和非線性項(xiàng);質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的維數(shù)均為N×N;,)T和分別為管道離散系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)速度和廣義坐標(biāo)加速度,均為N×1 的向量.

懸臂管道無量綱化后的邊界條件和初始條件選取為

借助四階龍格庫塔方法對(duì)非線性常微分方程組(6)進(jìn)行數(shù)值求解,可以得到輸流管系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

3 算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文算法的有效性,本節(jié)首先給出了無減振器作用的懸臂管道前四階無量綱復(fù)頻率隨流速變化的Argand 圖,如圖2 所示.為確定該懸臂管道系統(tǒng)的臨界流速,可將方程(6)線性化后得到如下形式的線性齊次方程組

圖2 無減振裝置的懸臂輸流管的Argand 圖Fig.2 Argand diagram of the cantilevered pipe without vibration absorber

其中

為了與Paidoussis[1]的經(jīng)典結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,取參數(shù)α=0,β=0.2 和γ=0.記方程(6)的特征值λ=iω,則實(shí)部Re(ω)表示無量綱化的振動(dòng)頻率,Im(ω)表征了系統(tǒng)的阻尼.從圖2 可知,隨著管內(nèi)流體速度的不斷增大,第二階模態(tài)阻尼從正值變?yōu)樨?fù)值,這表明系統(tǒng)可以從流體中吸收能量,同時(shí)將能量傳送給管道,此時(shí)系統(tǒng)會(huì)發(fā)生顫振失穩(wěn),管道因此而出現(xiàn)周期振動(dòng)現(xiàn)象.從圖2 還可看出,懸臂管第二階模態(tài)發(fā)生顫振失穩(wěn)的臨界流速約為ucr=5.61.隨著流速的不斷增大,懸臂管的特征值演化曲線與文獻(xiàn)[1]的經(jīng)典結(jié)果是一致的,從而驗(yàn)證了本文方法所獲得解答是可靠的.

若將慣容減振器安裝在懸臂管道ξb=0.9 位置,且減振器各參數(shù)分別取值為bf=0.2,cf=0.5,kl=60和kn=8 000,管道的3 個(gè)關(guān)鍵參數(shù)仍取為α=0,β=0.2 和γ=0,可得到如圖3 所示的Argand 圖.從該圖可以看到,引入減振器后的懸臂管道的臨界流速從5.61 增大到6.94,且仍然是第二階模態(tài)率先發(fā)生失穩(wěn),這顯示本文所提出的減振裝置能提高管道系統(tǒng)的穩(wěn)定性.接下來,本文將進(jìn)一步探討減振器各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性及非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響.

圖3 含減振裝置的懸臂輸流管的Argand 圖Fig.3 Argand diagram of the cantilevered pipe with vibration absorber

4 穩(wěn)定性分析

本節(jié)主要對(duì)帶有減振器的懸臂管穩(wěn)定性進(jìn)行分析,考查不同減振器參數(shù)下管道的臨界流速的變化.從式(10)～式(12) 可以看出,減振器的線性彈簧剛度、阻尼系數(shù)、慣容系數(shù)和安裝位置都可能對(duì)懸臂管的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響.首先,研究不同安裝位置對(duì)臨界流速的影響,取計(jì)算參數(shù)為α=0.001,β=0.142,γ=18.9,bf=0.2,cf=0.5 和kl=60,得到減振器安裝在不同位置時(shí)臨界流速的變化曲線,如圖4 所示.從該圖可以看出,當(dāng)ξb=0 時(shí)相當(dāng)于沒有減振器作用,此時(shí)臨界流速ucr=6.17.隨著安裝位置坐標(biāo)ξb的增大,臨界流速除端部外也都相對(duì)有所增大.在安裝位置坐標(biāo)ξb小于0.5 時(shí),臨界流速不斷增大;當(dāng)ξb在0.5～0.65 之間臨界流速有所減小,但相比無減振器時(shí)還是有所增大;隨著安裝距離的不斷增大,系統(tǒng)的臨界流速出現(xiàn)明顯增大,且大約在ξb=0.9 處取得最大值,此時(shí)ucr=6.84,其對(duì)應(yīng)的Argand 如圖5 所示.由此可見,在安裝減振器時(shí)適當(dāng)接近端部位置安裝能顯著提高管道系統(tǒng)的臨界流速,這同時(shí)也說明不同的安裝位置對(duì)系統(tǒng)臨界流速有較大影響.

圖4 臨界流速隨減振器安裝位置變化曲線Fig.4 Variation curve of the critical flow velocity with vibration absorber installation position

圖5 安裝位置在ξb=0.9 時(shí)系統(tǒng)的Argand 圖Fig.5 Argand diagram for the pipe system when the installation position is ξb=0.9

改變減振器的慣性系數(shù)和線性彈簧剛度,得到系統(tǒng)的臨界流速變化云圖如圖6 所示,顯示了臨界流速的逐漸演化過程.從圖6(a)中可以看出,在安裝位置ξb=0.3 處,當(dāng)線性彈簧剛度較小時(shí),系統(tǒng)的臨界流速隨著慣容系數(shù)的增大而增大;但當(dāng)彈簧剛度較大時(shí),隨著慣容系數(shù)的增大,系統(tǒng)臨界流速有所減小.可見不同的線性彈簧剛度會(huì)使得慣容系數(shù)對(duì)管道系統(tǒng)臨界流速有不同的影響效果.當(dāng)減振器安裝位置在ξb=0.5 時(shí),從圖6(b)可以看出系統(tǒng)的臨界流速隨著慣容系數(shù)的增大而增大,但是增大彈簧剛度反而會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生消極效果,即降低臨界流速.圖6(c)中的結(jié)果顯示,當(dāng)ξb=0.7 時(shí),隨著慣容系數(shù)的增大,系統(tǒng)的臨界流速有所減小;與此同時(shí),線性彈簧剛度越大,則系統(tǒng)的臨界流速越大,故其對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有正面作用,在彈簧剛度在55～100 區(qū)間時(shí)效果更明顯.當(dāng)安裝位置ξb=0.9 時(shí),從圖6(d)可以看出隨著彈簧剛度的增大,管道系統(tǒng)的臨界流速先有所增大,但當(dāng)彈簧剛度繼續(xù)增大后臨界流速有所減小,同時(shí)臨界流速隨著慣性系數(shù)的增大而減小.

圖6 管道無量綱臨界流速隨慣容系數(shù)和線性彈簧系數(shù)變化云圖Fig.6 Contour maps of the dimensionless critical flow velocity for the pipe changing with the inertia coefficient and linear spring coefficient

5 收斂性分析

在進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)分析之前,有必要對(duì)Galerkin 法的模態(tài)截?cái)鄦栴}進(jìn)行收斂性分析,從而確定合適的模態(tài)截?cái)鄶?shù)N.

選取管道參數(shù)α=0.001,β=0.142 和γ=18.9,將減振器安裝在管道ξb=0.5 位置處,減振器各元件參數(shù)分別取為bf=0.3,cf=0.5,kl=60 及kn=8000.Galerkin 法的模態(tài)截?cái)鄶?shù)N分別取為3,4 和5,得到3 種取值下管道自由端響應(yīng)位移幅值的分岔圖,如圖7 所示.該分岔圖的取點(diǎn)規(guī)則為:對(duì)某一給定的流速,當(dāng)管道運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后開始取點(diǎn);每當(dāng)管道自由端運(yùn)動(dòng)速度為0 時(shí),記錄該時(shí)刻管道端點(diǎn)處的位移數(shù)據(jù),以此來得到管道端點(diǎn)位移幅值隨流速變化的分岔圖.從圖7 可以看出:當(dāng)N=3 時(shí),管道響應(yīng)的分岔圖與N=4 或5 時(shí)的相差較大;當(dāng)N取為4 和5時(shí),管道響應(yīng)的分岔圖差異很小,因此可認(rèn)為當(dāng)N取4 時(shí)就已達(dá)到收斂.為減小計(jì)算量,在接下來的分析中,選取N=4 進(jìn)行計(jì)算.

圖7 不同N 時(shí)管道端部位移幅值隨流速變化的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram for the displacement amplitude of the pipe end with various flow velocities,for different N

6 非線性分析

本節(jié)研究不同流速下帶有減振器的懸臂輸流管道的非線性動(dòng)力學(xué)行為.首先,討論當(dāng)減振器安裝位置在ξb=0.5 和ξb=0.9 時(shí)慣容系數(shù)bf對(duì)管道動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.分別選取bf=0.1,0.2 和0.3,同時(shí)固定減振器其余各參數(shù)為cf=0.5,kl=60 及kn=8000,且管道的3 個(gè)主要參數(shù)取值為α=0.001,β=0.142,γ=18.9.這些參數(shù)取值都是無量綱的,這可使得后續(xù)的計(jì)算結(jié)果更具有普遍意義.

圖8 和圖9 分別給出了安裝位置ξb=0.5 和ξb=0.9 時(shí)不同流速下管道端部(ξ=1)的位移響應(yīng)幅值,展示了管道系統(tǒng)在無減振器和有減振器時(shí)管道端部位移幅值隨流速變化的分岔圖.從圖8(a) 中可以看出,當(dāng)慣容系數(shù)bf=0.1 時(shí),管道的臨界流速略有增高,管道振動(dòng)的振幅有所減小.隨著慣容系數(shù)的增大,如圖8(b)和圖8(c)所示,管道系統(tǒng)的臨界流速也會(huì)增高,同時(shí)管道振幅相較無減振器時(shí)也有所減小,這說明減振器對(duì)提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性有一定作用.

圖8 ξb=0.5 時(shí)不同慣容系數(shù)下管道端部位移幅值隨流速變化的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagrams for the displacement amplitude of the pipe end with various flow velocities under different coefficients of inertia when ξb=0.5

圖9 ξb=0.9 時(shí)不同慣容系數(shù)下管道端部位移幅值隨流速變化的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagrams for the displacement amplitude of the pipe end with various flow velocities under different coefficients of inertia when ξb=0.9

圖9 為安裝位置在ξb=0.9 時(shí)的分岔圖,當(dāng)慣容系數(shù)bf=0.1 時(shí),管道系統(tǒng)的臨界流速有明顯增大,當(dāng)管道失穩(wěn)振動(dòng)后,管道振幅也被控制在小范圍內(nèi)振動(dòng),可以看出此時(shí)減振器的振動(dòng)抑制效果比較顯著.但是隨著慣容系數(shù)的不斷增大,如圖9(b) 和圖9(c) 所示,管道的臨界流速卻有所減小.對(duì)于安裝位置在ξb=0.5 和ξb=0.9 時(shí)慣容系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的不同影響,這說明慣容系數(shù)的增大對(duì)管道臨界流速有積極作用,但卻無法在所有位置產(chǎn)生正面的控制效果.

接下來,研究安裝位置對(duì)管道非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響.為此,安裝位置ξb分別取為0.3,0.5,0.7 和0.9,通過非線性計(jì)算得到不同流速下管道端部處的振動(dòng)位移.數(shù)值計(jì)算時(shí),取各系統(tǒng)參數(shù)值為bf=0.2,cf=0.5,kl=60 和kn=8000.從圖10(a)可以看出,當(dāng)ξb=0.3 時(shí),減振器對(duì)管道振動(dòng)響應(yīng)幅值的影響較小,此時(shí)臨界流速略有提高.關(guān)于這一點(diǎn),從圖4 中給出的臨界流速變化曲線也可得到進(jìn)一步的理解:當(dāng)減振器安裝位置距固定端較近時(shí),減振器對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性幾乎沒有影響.當(dāng)ξb增大到0.5 時(shí),從圖8(b)可以看到,含減振器懸臂管道出現(xiàn)Hopf 分岔的臨界流速變大,同時(shí)減振器使管道系統(tǒng)的振幅也有所減小.隨著安裝位置增大至ξb=0.7 時(shí),從圖10(b) 可以看出,臨界流速相比無減振器控制時(shí)有所增大,當(dāng)管道失穩(wěn)后,減振器的安裝對(duì)管道振動(dòng)控制效果顯著,明顯減小了管道振動(dòng)幅值.值得注意的是,當(dāng)流速在[8.51,8.9]范圍變化時(shí),管道可發(fā)生黏附現(xiàn)象,即管道只出現(xiàn)靜態(tài)變形.當(dāng)流速繼續(xù)增大時(shí),管道振動(dòng)行為可能比較復(fù)雜,分岔圖中表現(xiàn)處較強(qiáng)的非線性特征,管道還出現(xiàn)了復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.當(dāng)ξb=0.9 時(shí),如圖9(b)所示,可以看出臨界流速顯著增大,同時(shí)管道發(fā)生黏附現(xiàn)象的流速范圍變大,整個(gè)流速區(qū)間內(nèi)減振器對(duì)管道振動(dòng)的抑制作用都較為顯著.

圖10 減振器在不同位置時(shí)管道端部位移隨流速變化的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagrams for the displacement amplitude of the pipe end with various flow velocities when the absorber is placed at different positions

為了進(jìn)一步理解ξb=0.7 時(shí)減振器對(duì)管道動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律,圖11 給出了3 種流速下管道中點(diǎn)位移隨時(shí)間變化的歷程曲線.由該圖可以看出,當(dāng)流速u=6.2 時(shí),沒有安裝減振器的管發(fā)產(chǎn)生了周期振動(dòng),而有減振器的管道卻沒有發(fā)生振動(dòng),這說明此時(shí)減振器提高了管道系統(tǒng)的穩(wěn)定性.如圖11(b) 所示,當(dāng)流速u=7.5 時(shí),帶有減振器和無減振器的管道在內(nèi)部流體的激勵(lì)下都發(fā)生了周期振動(dòng),但有減振器的管道振動(dòng)響應(yīng)振幅相對(duì)較小,這說明減振器對(duì)管道的振動(dòng)幅值有抑制作用.圖12(a)顯示了u=7.5 時(shí)帶有減振器管道在不同時(shí)刻的振動(dòng)形態(tài),其中虛線代表該流速下某一時(shí)刻的管道振動(dòng)形狀,可以看到管道形態(tài)主要以第一階模態(tài)和第二階模態(tài)形狀的成分為主.當(dāng)管道流速增大到8.5 時(shí),從圖11(c)可以看到,減振器能將管道振幅控制到較小幅值,而且從圖12(b)還可看到管道的振動(dòng)形態(tài)有更高階模態(tài)參與振動(dòng)的跡象.

圖11 ξb=0.7 時(shí)端部位移隨時(shí)間變化曲線Fig.11 Displacements of the pipe end versus time when ξb=0.7

圖12 ξb=0.7 時(shí)管道振動(dòng)的實(shí)時(shí)形態(tài)圖Fig.12 Oscillation shapes of the pipe for ξb=0.7

圖12 ξb=0.7 時(shí)管道振動(dòng)的實(shí)時(shí)形態(tài)圖(續(xù))Fig.12 Oscillation shapes of the pipe for ξb=0.7(continued)

在圖10 的分岔圖中,曾注意到當(dāng)安裝位置ξb從0.3 增大至0.7 的過程中,管道還可能誘發(fā)出混沌運(yùn)動(dòng)行為.圖13 描述的是當(dāng)減振器安裝位置在ξb=0.7時(shí)管道內(nèi)流速分別為7.5,8.5 和9.93 時(shí)管道端部處的振動(dòng)相圖曲線,該圖中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示管道中點(diǎn)處的振動(dòng)位移和速度.由圖13 可知,當(dāng)管內(nèi)流速u=7.5 時(shí),管道表現(xiàn)為簡單的周期運(yùn)動(dòng).隨著流速的不斷增大至8.5 時(shí),管道呈現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)流速繼續(xù)增大至9.93 時(shí),管道自由端振動(dòng)的相軌跡如圖13(c) 所示.為更清晰地判斷其運(yùn)動(dòng)狀態(tài),圖14 給出了此時(shí)管道響應(yīng)位移的功率譜圖和龐加萊映射圖,可發(fā)現(xiàn)此時(shí)管道振動(dòng)呈混沌狀態(tài),這種混沌響應(yīng)行為是由于系統(tǒng)的各種非線性因素產(chǎn)生的.

圖13 ξb=0.7 時(shí)不同流速下管道端部的相軌跡圖Fig.13 Phase portraits of the pipe end under different flow velocities when ξb=0.7

圖14 在ξb=0.7 下流速為9.93 時(shí)管道響應(yīng)的(a)功率譜圖和(b)龐加萊映射圖Fig.14 Responses of the pipe end when the flow velocity is 9.93 with ξb=0.7:(a)Power spectra diagram and(b)Poincare map

7 結(jié)論

本文基于哈密頓原理引入了含有接地慣容減振器的懸臂輸流管的振動(dòng)控制模型,得到了非保守懸臂管道系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)控制方程.通過Galerkin 方法對(duì)控制方程進(jìn)行離散化處理,并借助數(shù)值求解方法對(duì)含減振器懸臂管道系統(tǒng)的穩(wěn)定性和非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析,探討了不同參數(shù)下減振器在懸臂輸流管振動(dòng)控制中的應(yīng)用效果.特別地,利用線性分析,探究了慣容系數(shù)、線性彈簧剛度和減振器安裝位置對(duì)管道發(fā)生顫振失穩(wěn)時(shí)臨界流速的影響.利用非線性分析,還探討了減振器對(duì)管道非線性動(dòng)態(tài)行為的影響規(guī)律,揭示了含有接地慣容減振器懸臂管的周期和混沌運(yùn)動(dòng)等動(dòng)力學(xué)行為.

對(duì)于未安裝減振器的懸臂管道,當(dāng)管內(nèi)流速超過某一臨界流值時(shí),系統(tǒng)會(huì)因顫振而失去穩(wěn)定性.當(dāng)安裝減振器后,通過調(diào)節(jié)減振器位置等參數(shù)取值,管道的顫振失穩(wěn)臨界流速可以得到明顯的增大.通過線性分析發(fā)現(xiàn),慣性系數(shù)和線性剛度對(duì)管道穩(wěn)定性的影響與減振器安裝位置不同而有不同的作用效果.還應(yīng)指出的是,通過非線性分析發(fā)現(xiàn):減振器對(duì)管道振幅的抑制效果與流速取值和減振器安裝位置密切相關(guān).在不同的流速區(qū)間,減振器不僅會(huì)使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到較大提高,還會(huì)在較大流速時(shí)會(huì)改變管道的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征,例如產(chǎn)生倍周期和混沌運(yùn)動(dòng)等.總體而言,減振器在接近管道端部位置時(shí)能使得管道系統(tǒng)產(chǎn)生較大的臨界流速,在中高流速區(qū)間取值時(shí)對(duì)管道振幅有較好的抑制作用.

附錄

為了應(yīng)用廣義Hamilton 原理,本附錄給出含接地慣容器懸臂管道系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能及非有勢(shì)力做功項(xiàng)的具體表達(dá)式.

取懸臂管道上任意一點(diǎn)進(jìn)行研究.管道變形時(shí)該點(diǎn)的位置矢量和切向矢量可分別用r和τ 表示[1]

由此可得懸臂管道系統(tǒng)的總動(dòng)能為[1]

其中,vp和vf分別表示管道和流體的運(yùn)動(dòng)速度,可寫為如下形式[1]

系統(tǒng)總勢(shì)能包括管道的應(yīng)變能、管內(nèi)流體的重力勢(shì)能和減振器的彈簧勢(shì)能,可寫成

其中

為管道軸線的曲率,y(sd,t) 表示管道在減振器安裝位置處的橫向位移.

系統(tǒng)非有勢(shì)力做功包括阻尼器和慣容器所做功,可寫成