孫晨陽，汪雪琪，徐鑫鑫

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

在集成電路板等電子產(chǎn)品生產(chǎn)中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產(chǎn)過程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產(chǎn)品質(zhì)量至關(guān)重要。目前，這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調(diào)整的。本文旨在通過機理模型對電路板加熱焊接的爐溫曲線以及不同溫區(qū)可能允許的最大傳送帶過爐速度進行分析研究，從而保證合適的溫度減少產(chǎn)品加工時不必要的消耗。

1 數(shù)據(jù)來源與問題假設(shè)

文章數(shù)據(jù)來源是在設(shè)定回焊爐各溫區(qū)溫度和傳送帶的過爐速度后，通過溫度傳感器測試某些位置上焊接區(qū)域中心的溫度得到的爐溫曲線數(shù)據(jù)，各溫區(qū)設(shè)定的溫度分別為175 ℃（小溫區(qū)1～5）、195 ℃（小溫區(qū)6）、235 ℃（小溫區(qū)7）、255 ℃（小溫區(qū)8～9）及25 ℃（小溫區(qū)10～11）；傳送帶的過爐速度為70 cm/min；焊接區(qū)域的厚度為0.15 mm。溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達(dá)到30 ℃時開始工作，電路板進入回焊爐開始計時。另外在回焊爐電路板焊接生產(chǎn)中，爐溫曲線應(yīng)滿足一定的要求，稱為制程界限，具體如表1所示。

表1 制程界限

另外，回焊爐內(nèi)部設(shè)置若干個小溫區(qū)，它們從功能上可分成4個大溫區(qū)：預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū)，如圖1所示。電路板兩側(cè)搭在傳送帶上勻速進入爐內(nèi)進行加熱焊接。其中，該回焊爐內(nèi)有11個小溫區(qū)及爐前區(qū)域和爐后區(qū)域，每個小溫區(qū)長度為30.5 cm，相鄰小溫區(qū)之間有5 cm的間隙，爐前區(qū)域和爐后區(qū)域長度均為25 cm。

圖1 回焊爐截面示意圖

為了方便處理問題，提出以下假設(shè)：（1）焊接區(qū)域溫度分布和焊接區(qū)域所在位置的爐溫分布為均勻正態(tài)分布。（2）假設(shè)在加熱之前，爐內(nèi)的溫度皆為25 ℃。（3）假設(shè)同層內(nèi)溫度是相同的，不同層之間的溫度收到相鄰兩側(cè)溫區(qū)的影響。（4）假設(shè)各層之間的溫度分布是連續(xù)變化的，但溫度梯度是跳躍的。（5）假設(shè)回焊爐內(nèi)部沒有能量的消耗。（6）假設(shè)爐壁的物理性能是均勻和各向同性的，因此回焊爐爐壁導(dǎo)熱系數(shù)近似為常數(shù)。（7）假設(shè)冷卻壁的對流換熱系數(shù)也近似為常數(shù)。

2 模型理論

2.1 傅里葉熱傳導(dǎo)定律

傅里葉定律[1]是熱傳導(dǎo)基本定律，描述溫度差與熱流密度的關(guān)系。

2.2 牛頓冷卻定律

牛頓冷卻定律是溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律。

式中，ω為對流換熱系數(shù)；Δt為溫度差值。對于溫度驟降的熱傳導(dǎo)過程，使用牛頓冷卻定律來建立模型。

2.3 熱傳導(dǎo)方程

通過傅里葉定律推導(dǎo)出的熱量的微元算式如下：

（1）微分方程的近似處理

最終得到解決問題的一種差分格式[2]

（2）初始值、邊界值的處理在對初始值、邊界值進行處理時將定解條件進行離散化處理。

2.4 曲線面積方程

對于求曲線與橫坐標(biāo)軸圍成的面積，可以用陰影面積來替代，如圖2所示。這部分面積被簡化為一個底為Δt，高為ΔT的三角形，即

圖2 曲線面積近似替代圖

但是這樣建立出來的模型計算出的面積比實際小了很多。因此，將建立一個從t1到t2，高為ΔT的正半周期正弦曲線來近似模擬原曲線，這樣面積方程就可以簡化為

2.5 實際問題的數(shù)學(xué)化處理

在實際過程中，對回焊爐的截面區(qū)域示意圖進行了簡化處理，簡化截面圖如圖3所示。

圖3 回焊爐截面簡化圖

由于小溫區(qū)1～5的溫度保持一致，記為區(qū)域①，小溫區(qū)6記為區(qū)域②，小溫區(qū)7記為區(qū)域③，小溫區(qū)8～9的溫度保持一致，記為區(qū)塊④，小溫區(qū)10～11的溫度始終為25 ℃，記為區(qū)域⑤，因此，將這3塊區(qū)域看作3個不同的整體來進行分析。在進行回焊爐的機理分析時，假設(shè)小溫區(qū)1～5之間的4個溫區(qū)間隔始終與區(qū)塊①的溫度一致，小溫區(qū)8～9之間的溫區(qū)間隔始終與區(qū)域④一致，同理，小溫區(qū)10和小溫區(qū)11的區(qū)間間隔始終與區(qū)域⑤的溫度一致。

事實上，熱傳導(dǎo)過程為空間上的三維熱傳導(dǎo)。但是為了簡化計算，將三維空間上的單位體積轉(zhuǎn)化為一維空間上某一點的導(dǎo)熱現(xiàn)象，如圖4所示。

圖4 一維化過程圖

3 基于傅里葉定律的傳熱模型

3.1 模型建立

對于熱傳導(dǎo)現(xiàn)象多用傅里葉定律來解決問題。在熱量傳遞過程中，假設(shè)平行于表面的平面上溫度為相同的數(shù)值，在垂直于表面的切面上才有熱量的變化，因此該過程是一個一維熱量傳遞過程，在此刻熱傳導(dǎo)方程式為

根據(jù)上述列出的公式將該模型轉(zhuǎn)化為差分形式，利用MATLAB對其近似求數(shù)值解。

將該方程運用在分析加熱區(qū)區(qū)間間隔的溫度，以及焊接區(qū)域進入各段加熱區(qū)時溫度的變化上，得出加熱區(qū)各區(qū)間和焊接區(qū)域中心的實時溫度，進而提高數(shù)據(jù)的連續(xù)性。

將牛頓冷卻定律用于分析焊接區(qū)域進入冷卻區(qū)時溫度變化的情況

由此得到在冷卻區(qū)域時焊接區(qū)域中心的實時溫度。

3.2 模型求解和結(jié)果

對于上述建立的二階常系數(shù)偏微分方程傳熱模型，難以求得確解。因此，用差分近似值來代替，通過熱傳導(dǎo)定律將各區(qū)間間隔的溫度求解出來后，進而預(yù)測回焊爐內(nèi)整個的環(huán)境溫度對焊接區(qū)域中心溫度[3]的影響。

根據(jù)小溫區(qū)的區(qū)間長度，區(qū)間間隔長度和爐前區(qū)域長度，以及傳送帶的速度，可以計算出各個溫區(qū)位置和焊接區(qū)域到達(dá)該位置所歷經(jīng)的時間。最后，根據(jù)回焊爐實驗記錄數(shù)據(jù)來確定該時刻焊接區(qū)域的中心溫度，并繪制出了如下爐溫曲線[4]。

如圖5所示，黑色曲線是根據(jù)建立的傳熱模型計算出的每間隔0.5 s時焊接區(qū)域中心溫度的取值的散點構(gòu)成的曲線，紅色虛線是將黑色不連續(xù)的曲線進行平滑后所得的焊接區(qū)域中心溫度的曲線。

圖5 爐溫曲線

4 基于目標(biāo)規(guī)劃的最大速度研究

對于給定的回焊爐中各小溫區(qū)的溫度，進一步通過傅里葉熱傳導(dǎo)定律，建立偏微分方程，進一步求值得到焊接區(qū)域在運動不同位移的情況下的溫度變化[5]曲線，通過對曲線進行分析，求得各邊際情況，進而求得最優(yōu)解。

4.1 模型的建立

Step1：確定目標(biāo)函數(shù)：待求值為被允許的傳送帶最大運行速度，可以使用焊接芯片的速度表示，則可將傳送帶的運行速度[6]表示如下

Step2：分析約束條件：

表2 爐溫曲線滿足的制程界限

首先，根據(jù)制程界限表確定溫度變化曲線的斜率需滿足條件a, b，設(shè)定第一組約束條件：其次，需確保焊接區(qū)域中心溫度在一定范圍內(nèi)的持續(xù)時長滿足條件c, d，設(shè)定第二組約束條件：

最后，第三組約束條件為峰值溫度的限定界限，在處理此處約束條件時，避開約束條件和熱導(dǎo)定律的雙重限制約束，通過調(diào)整熱傳導(dǎo)的微分方程的參數(shù)，將峰值溫度提前控制在[240,250]。

4.2 模型的求解和結(jié)果

根據(jù)對模型內(nèi)各個約束條件的分析，得到完整的單目標(biāo)優(yōu)化模型

式(20)中，Δs為在Δt時間內(nèi)焊接塊移動的距離。首先，假設(shè)處于起始位置（小溫區(qū)1前端點）的焊接中心區(qū)域溫度為30 ℃，對于不同溫區(qū)給定的加熱溫度，通過熱傳導(dǎo)微分方程，在確保約束條件⑤得到有效保證的前提下，借用傅里葉熱傳導(dǎo)定律，得到爐內(nèi)距起始位置k×sΔ（Δs=4 cm，k為正整數(shù)）點的溫度變化率散點圖如圖6所示。

圖6 爐內(nèi)起始位置點的溫度變化率

借助已知圖表和式(2)，得到滿足上述公式的速度范圍

借助已知圖表和式(3)，得到滿足上述公式的速度范圍

綜合式(4), (5)，得到單目標(biāo)規(guī)劃模型優(yōu)化結(jié)果

5 關(guān)于回焊爐溫度設(shè)定的優(yōu)化模型

5.1 模型的建立

在上述實驗設(shè)定溫度的基礎(chǔ)上，各小溫區(qū)設(shè)定溫度[7]可以進行±10°C范圍內(nèi)的調(diào)整。調(diào)整時要求小溫區(qū)1～5中的溫度保持一致，小溫區(qū)8～9中的溫度保持一致，小溫區(qū)10～11中的溫度保持25°C。五個區(qū)域的溫度有如下初始條件。

由面積方程可得到

式中，Δt,ΔT為時間的變化量和焊接區(qū)域溫度的變化量。

式中，k為溫度的變化率。

5.2 模型的求解和結(jié)果

Step1：利用實驗數(shù)據(jù)、爐內(nèi)環(huán)境溫度和焊接區(qū)域溫度[8]的關(guān)系進行了簡化分析。由因子分析得出在5個區(qū)域內(nèi)環(huán)境溫度T對于焊接區(qū)域峰值溫度t的權(quán)重和影響方向。

根據(jù)權(quán)重計算出五個區(qū)域的環(huán)境溫度如下表所示。

表3 5個區(qū)域的環(huán)境溫度

通過計算出的焊接區(qū)域中心的溫度繪制爐溫曲線如圖7所示。

圖7 初步最優(yōu)爐溫曲線

綜上所述，小溫區(qū)1～5、小溫區(qū)6、小溫區(qū)7、小溫區(qū)8～9以及小溫區(qū)10～11的設(shè)定溫度分別為179.99, 198.07, 237.44, 254.55,25.00 ℃，傳送帶的過爐速度為67.78 m/s，求出相應(yīng)的最小面積為1 242.12cm2。

6 基于熱導(dǎo)-冷卻的最優(yōu)爐溫曲線研究

6.1 模型的建立

在焊接過程中，除滿足制程界限外，還希望以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217 ℃的爐溫曲線[9]應(yīng)盡量對稱，因此在上述優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，采樣同樣分析方法，僅限制條件發(fā)生了改變，而其各小溫區(qū)溫度設(shè)定情況保持不變。

利用左右兩邊面積對稱這一條件來解決問題。在左半部分區(qū)域，我們采用熱傳導(dǎo)方程來計算217 ℃升溫到242 ℃這一過程焊接區(qū)域中心的溫度，求得這段所經(jīng)過的位移Δs左。在右半部分區(qū)，采用牛頓冷卻定律來計算焊接區(qū)域溫度由242 ℃降溫到217 ℃這一過程所歷經(jīng)的時間Δt右。

圖8 定律運用示意圖

由于左右兩邊是對稱的，則傳送帶的速度可視為

6.2 模型的求解和結(jié)果

根據(jù)依賴數(shù)據(jù)，進一步對傳送帶速度完成計算：

經(jīng)驗證，在已給符合制程界限下，傳送帶可以該速度運行。

根據(jù)上述過程求得的傳送帶速度，借用熱傳導(dǎo)微分方程完成對焊接區(qū)域中心溫度[10]隨時間變化的數(shù)據(jù)和優(yōu)化后的曲線如圖9, 10所示。

圖9 最終最優(yōu)爐溫曲線

觀察分析得知，運行速度為86 cm/min，小溫區(qū)1～5設(shè)定179.99 ℃，小溫區(qū)6設(shè)定198.07 ℃，小溫區(qū)7設(shè)定237.44 ℃，小溫區(qū)8～9設(shè)定254.55 ℃，小溫區(qū)10～11設(shè)定25.00 ℃的情況下，爐溫曲線在溫度高于217 ℃的情況下，關(guān)于峰值所在縱向中心線對稱。

圖10 最終最優(yōu)爐溫曲線說明

7 結(jié)論及建議

通過建立基于熱傳導(dǎo)對電路板加熱焊接爐溫曲線的優(yōu)化模型，通過機理模型，針對具體的數(shù)據(jù)得出最優(yōu)爐溫曲線以及不同溫區(qū)可能允許的最大傳送帶過爐速度等，設(shè)定合適的工藝溫度，減少產(chǎn)品加工時不必要的消耗。但本文所構(gòu)建的機理模型還不足以說明達(dá)到最優(yōu)，需要后續(xù)對該模型進行模型檢驗，誤差分析與靈敏度分析，通過改變一定的參數(shù)，觀察結(jié)果變化，確定機理模型的實用性。