顧予恒 周艷 王紅權(quán)

摘? 要：數(shù)學(xué)建模活動是基于數(shù)學(xué)思維、運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一. 如何通過有效的數(shù)學(xué)建?；顒幼寯?shù)學(xué)建模素養(yǎng)落地，是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個重要方向. 文章以“體重與脈搏”教學(xué)為例，師生共同親歷發(fā)現(xiàn)問題、收集數(shù)據(jù)、建立模型、計算求解、檢驗?zāi)Ｐ汀⒔鉀Q問題等環(huán)節(jié)，展示中學(xué)數(shù)學(xué)建模的完整過程.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);體重與脈搏

眾所周知，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的描述為：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 它搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.

數(shù)學(xué)建模課的教學(xué)設(shè)計需要引導(dǎo)學(xué)生面對現(xiàn)實問題，經(jīng)歷完整過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，檢驗改進模型. 通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗，從而最終實現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的“四能”、達到“三會”的目的.

數(shù)學(xué)建模課程在大學(xué)階段比較普遍，高中階段還未廣泛、深入地開展. 隨著《標準》的實施和新教材的啟用，必修課程與選修課程中都加入了數(shù)學(xué)建模課的課時安排. 那么，究竟該怎樣開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，如何讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在課堂中落地呢？筆者有幸參加了2019年浙江省杭州市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比活動，課題內(nèi)容是《標準》中的案例28：體重與脈搏. 這是一個與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的案例，筆者借此展開了一次數(shù)學(xué)建模課的全新嘗試.

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自《標準》案例28，結(jié)合體重與脈搏的實例，經(jīng)歷用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型—解釋生物現(xiàn)象—解決實際問題的基本過程.

2. 內(nèi)容解析

函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系及規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具. 結(jié)合對“體重與脈搏的關(guān)系”的數(shù)學(xué)建模，通過分析、比較各種函數(shù)模型的差異，可以引導(dǎo)學(xué)生進一步理解函數(shù)的性質(zhì)，并確定合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

結(jié)合目前所學(xué)，學(xué)生已經(jīng)具備了從現(xiàn)實情境中抽象研究對象、提煉數(shù)量關(guān)系、簡單應(yīng)用等與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的知識經(jīng)驗. 雖然其中蘊涵了豐富的數(shù)學(xué)建模思想，但學(xué)生還未經(jīng)歷過數(shù)學(xué)建模活動的全過程. 本案例要求學(xué)生完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng). 同時，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生還會不斷經(jīng)歷和強化數(shù)學(xué)建模過程，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力和意識.

3. 教學(xué)重點

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，體會每個環(huán)節(jié)的必要性與重要性.

二、目標與目標解析

1. 目標

（1）根據(jù)生物常識找出目標變量間的關(guān)系，構(gòu)建“比例模型”，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提高邏輯推理能力，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）結(jié)合函數(shù)圖象，通過數(shù)據(jù)分析建立合適的數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型并檢驗，提高直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析能力.

（3）通過數(shù)學(xué)建?；顒?，在歸納中掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，理解數(shù)學(xué)模型的多樣性，進一步提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2. 目標解析

達成目標（1）的標志：學(xué)生能通過科普閱讀，了解“血流量”“脈搏率”等生物學(xué)中的專業(yè)術(shù)語，能從素材中找出諸如“消耗能量與血流量”“體重與體積”“表面積和體積”等數(shù)量關(guān)系，初步構(gòu)建“比例模型”，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

達成目標（2）的標志：學(xué)生能結(jié)合收集到的數(shù)據(jù)，求解出具體的函數(shù)模型，并通過圖象直觀和數(shù)學(xué)運算，檢驗數(shù)學(xué)模型是否符合實際問題.

達成目標（3）的標志：學(xué)生能回答“選什么函數(shù)模型”“為什么選這個函數(shù)模型”“這個模型是否合理”等設(shè)問，歸納并掌握數(shù)學(xué)建模的一般步驟，能提出或者理解數(shù)學(xué)模型的多樣性.

三、教學(xué)問題診斷分析

1. 問題診斷

首先，由于涉及跨學(xué)科知識，學(xué)生可能會出現(xiàn)理解偏差，進而在將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的過程中遇到困難. 雖然學(xué)生對應(yīng)用題并不陌生，但直接給出數(shù)學(xué)應(yīng)用問題和讓學(xué)生自己從現(xiàn)實中抽象出數(shù)學(xué)問題還是有較大的差異，學(xué)生缺乏將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗和數(shù)學(xué)抽象的能力.

其次，在分析問題的過程中，學(xué)生對“比例模型”的分析與表述還比較陌生，尤其是幾次比例模型疊加使用，更增加了思維難度.

最后，在利用函數(shù)模型解決實際問題的過程中，學(xué)生還未形成借助信息技術(shù)求解函數(shù)模型的能力.

教學(xué)中，可以采用分步驟啟發(fā)的方式，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題. 先給學(xué)生一個簡單示范性操作，讓學(xué)生模仿與應(yīng)用;引導(dǎo)學(xué)生從定性和定量兩個角度判斷函數(shù)模型是否合理;鼓勵學(xué)生利用信息技術(shù)進行復(fù)雜的運算求解，多維度分析問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生利用信息技術(shù)解決實際問題的意識.

2. 教學(xué)難點

（1）選擇合適的函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型.

（2）借助數(shù)理分析和信息技術(shù)求解模型.

四、教學(xué)支持條件分析

為了幫助學(xué)生克服問題背景的分析困難，啟發(fā)學(xué)生從跨學(xué)科角度思考問題，可以通過視頻播放的形式多渠道獲取素材. 利用信息技術(shù)軟件（如GeoGebra，Excel等）快捷地進行作圖、數(shù)據(jù)處理與運算，讓學(xué)生把主要精力放在定性和定量分析數(shù)學(xué)問題上，幫助學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)模型的變化規(guī)律. 采用希沃授課助手作為輔助技術(shù)，及時分享學(xué)生的研究成果，實時反饋，增強課堂互動效果.

五、教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1：觀察情境，提出問題.

背景情境：視頻展示（1）.

采訪者：今天我們非常有幸請到生物正高級、特級教師方淳老師來到我們的課堂. 首先，我想請教一下方老師，生物學(xué)中怎樣理解動物的脈搏率？

方老師：脈搏是由心臟收縮而引起的血管壁一張一縮的搏動像波浪一樣沿著動脈壁向遠處傳播而形成的. 脈搏率是每分鐘的脈搏數(shù)，正常情況下，脈搏率與每分鐘心跳的次數(shù)是一樣的. 動物的脈搏率與它的體重是密切相關(guān)的.

問題1：方老師說動物的脈搏率與它的體重密切相關(guān)，那么兩者之間究竟具有怎樣的關(guān)系呢？

師生活動：師生共同觀看視頻，了解生物學(xué)基礎(chǔ)概念，明確本節(jié)課要研究的對象和探索的問題.

【設(shè)計意圖】“體重與脈搏”中涉及一些生物學(xué)知識，受興趣和閱歷所限，學(xué)生對跨學(xué)科的概念在理解上存在一定難度. 通過邀請生物教師視頻講解，能夠保證專業(yè)性，并吸引學(xué)生的注意力，幫助和引導(dǎo)學(xué)生盡快從情境中提出問題，明確本節(jié)課的研究對象與任務(wù)，為后續(xù)數(shù)學(xué)建?；顒哟蚝没A(chǔ).

環(huán)節(jié)2：收集數(shù)據(jù)，挖掘關(guān)系.

問題2：觀察表1中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師生活動：師生共同分析數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察表格，尋找規(guī)律—描點繪圖，觀察圖象—提出猜想—初步判斷”的過程. 教師借助GeoGebra軟件，幫助學(xué)生利用已學(xué)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，提出合理猜想與初步判斷.

（1）反比例函數(shù)——積為定值，通過直接運算即可檢驗.

（2）指數(shù)函數(shù)——等間距比值為定值，由于體重的無規(guī)律性，并不能直接觀察出來.

（3）冪函數(shù)——形如[y=xα，] [α]為負數(shù)的情形，但不能確定.

【設(shè)計意圖】從觀察表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律過渡到繪制函數(shù)圖象，使學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程. GeoGebra軟件的應(yīng)用讓學(xué)生體會到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的作用. 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“看數(shù)據(jù)—繪圖象—先猜想—再判斷”的過程，為建立函數(shù)模型打好基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)3：定性分析，選擇模型.

問題3：像這樣觀察兩組數(shù)據(jù)并進行圖象分析，是一種較為直觀的研究體重與脈搏關(guān)系的方式. 那么體重與脈搏之間真的有聯(lián)系嗎？這樣的猜測合理嗎？有沒有科學(xué)依據(jù)？這個聯(lián)系具體又是什么？下面我們繼續(xù)研究.

作為現(xiàn)實問題，我們不能忽略兩者在生物學(xué)上存在的某些內(nèi)在聯(lián)系，為此我們不妨回顧方老師對脈搏率的定義，并思考：在生物學(xué)中，血流量Q表示單位時間（每分鐘）流過的血量，q是心臟每次收縮擠壓出來的血量，f是脈搏率（心跳次數(shù) / 分），試找出這三者間存在的關(guān)系？

師生活動：學(xué)生通過分組討論，易得出[f=Qq.]

追問：事實上，在現(xiàn)實生活中，血流量Q與心臟每次收縮擠壓出來的血量q都不易測量與獲得，因此需要尋找一個常見且容易測量的身體指標，用它來刻畫恒溫動物的脈搏率，于是研究對象的體重W就成了不二之選. 那么，Q，q與W之間又分別存在什么關(guān)系呢？

【設(shè)計意圖】環(huán)節(jié)2通過數(shù)據(jù)分析進行初步判斷，問題3的設(shè)置是從定性分析轉(zhuǎn)向數(shù)理分析. 體重與脈搏之間存在關(guān)系，之前是通過視頻告知學(xué)生的. 作為對現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)建模還需要考慮其科學(xué)性，數(shù)學(xué)模型的確立不能僅僅停留在數(shù)據(jù)分析和擬合上，必須有聯(lián)系實際的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從而增強模型的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.

教師引導(dǎo)：為了研究Q，q與W的關(guān)系，更好地建立數(shù)學(xué)模型，我們還需要了解更多的生物學(xué)常識與假設(shè)，大家繼續(xù)觀看視頻.

視頻展示（2）：生物學(xué)家認為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量，主要是為了維持體溫，消耗的能量與通過心臟的血流量成正比;由于動物體溫為通過身體表面散發(fā)的熱量，故表面積越大，散發(fā)熱量越多，保持體溫所需的能量也就越大，所以動物體內(nèi)消耗的能量與身體表面積成正比.

研究還表明，動物的表面積大約與體積的[23]次方成正比，且動物的體重與體積成正比. 同時，心臟每次收縮產(chǎn)生的血量與心臟的大小成正比，動物心臟的大小與動物的體積也成正比.

問題4：通過專家的講述，我們可以抽象出哪些數(shù)學(xué)關(guān)系？

追問1：為了研究方便，分別將能量與血流量用字母E和Q表示，如何用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示“正比關(guān)系”？

追問2：同理，將這里的表面積、體積等關(guān)鍵詞用字母來表示，這段話中還包含哪些數(shù)學(xué)關(guān)系？試用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達.

追問3：借助正比關(guān)系，即可研究Q，q與W的關(guān)系，試將其中的邏輯關(guān)系填入方框中. 可見，Q，q均可用W表示，f是關(guān)于W的函數(shù)，大家能否推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系呢？

師生活動：通過師生互動，從專家的講解中提煉出生物學(xué)知識和假設(shè)，學(xué)生很容易獲取高頻次出現(xiàn)的“正比關(guān)系”. 教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言標記各種研究對象，用數(shù)學(xué)語言刻畫“正比關(guān)系”，逐步應(yīng)用“比例模型”得出Q，q與W的關(guān)系式（含待定系數(shù)）. 同時，借助希沃電子設(shè)備展示學(xué)生自主推導(dǎo)出來的表達式，對于存在困難的小組和個人，教師予以適當(dāng)指導(dǎo)，讓他們通過模仿達到預(yù)期的效果. 最后，讓學(xué)生以小組為單位，通過合作探究得到[f]關(guān)于[W]的表達式. 由于此處研究對象較多，可以借助如圖1所示的方式引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)得出結(jié)果：[Q=mW23;q=nW;][f=Qq=kW-13=kW3]（k為大于0的待定系數(shù)）.

【設(shè)計意圖】在問題3的基礎(chǔ)上，本環(huán)節(jié)提供生物學(xué)的知識背景，讓學(xué)生通過獨立思考解決“建立脈搏率與體重關(guān)系”的核心問題，逐步引領(lǐng)學(xué)生突破“比例模型”的難點. 在數(shù)學(xué)表達式的最終推導(dǎo)環(huán)節(jié)，對學(xué)生的邏輯推理能力有一定的要求，通過框圖幫助學(xué)生梳理信息，得出各對象間的關(guān)系.

環(huán)節(jié)4：科學(xué)計算，求解模型.

問題5：馬是恒溫動物. 根據(jù)上述模型，能否算出一匹體重為450 000 g的馬的脈搏率？

追問1：為什么這個函數(shù)模型不能直接應(yīng)用？

追問2：如何完善這個模型？

追問3：通過代入數(shù)據(jù)計算，可得出不同種類恒溫動物的系數(shù)k，模型中的k如何取值？

師生活動：教師在學(xué)生初步得到數(shù)據(jù)規(guī)律、利用正比關(guān)系推出模型的基礎(chǔ)上，進一步提出追問，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)由系數(shù)k未知帶來的問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)去完善之前的數(shù)學(xué)模型. 在學(xué)生遇到計算問題時，鼓勵學(xué)生使用信息技術(shù)解決復(fù)雜的運算，逐步求解出數(shù)學(xué)模型. 對于模型中k的取值如何確定的問題，讓學(xué)生分組討論后匯報討論結(jié)果，教師與學(xué)生進行互動得出答案. 在求解k的過程中，及時肯定“取平均”這種常見的解決實際問題的方法，同時也可以告訴學(xué)生，統(tǒng)計學(xué)中還有很多“取平均值”以外的計算系數(shù)k的方法，有待課后進一步探究.

以求均值的方式求解[k，] 可得[f=kW-13=2 325W-13.] 由此可得表2. 并求得[k]的平均值為2 325.477 8.

【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生使用信息技術(shù)進行復(fù)雜的運算求解，化解計算中的難題. 在求解k的過程中，肯定學(xué)生提出的方法，同時指明更專業(yè)的方法，讓學(xué)生有更進一步發(fā)展的空間，可以讓不同層次的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中得到不同的發(fā)展.

環(huán)節(jié)5：檢驗?zāi)Ｐ?，初步?yīng)用.

問題6：如何檢驗所求數(shù)學(xué)模型的合理性？

追問：通過表3中馬的體重與脈搏率，你能判斷出模型的合理性嗎？

師生活動：先讓學(xué)生獨立思考，給出檢驗方法. 例如，繪制數(shù)學(xué)模型的函數(shù)圖象，與之前繪制的散點圖進行比對，根據(jù)吻合程度來驗證;代入更多的其他動物的數(shù)據(jù)進行檢驗;等等.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)繪制出函數(shù)模型[f=2 325W-13]的圖象，觀察離散的點與圖象的關(guān)系，直觀判斷擬合程度是否合理.

引入馬的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生借助信息技術(shù)進行計算，檢驗脈搏率的吻合程度. 同時，教師要向?qū)W生指出，統(tǒng)計學(xué)中有更為合適且專業(yè)的檢驗方法，后面將會學(xué)到這些方法.

【設(shè)計意圖】檢驗函數(shù)模型是通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題的一個重要環(huán)節(jié)，與建立的模型是否合理、是否能推廣應(yīng)用等相關(guān)，因此必不可少. 模型檢驗的方法不唯一，可以利用代數(shù)運算檢驗，也可以通過幾何直觀檢驗. 最后，通過馬的數(shù)據(jù)，再次驗證模型的合理性，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模源于生活，并最終解決實際問題. 同時，由于馬的體重數(shù)據(jù)與其他動物的差別較大，在用GeoGebra軟件作圖時有意將“很難找到坐標為[450 000，38]的點”的困難呈現(xiàn)出來，引發(fā)學(xué)生的思考，為問題7的提出進行.

問題7：在上述合理性的判斷過程中，無論是計算還是作圖，我們發(fā)現(xiàn)自變量（體重）的數(shù)據(jù)跨度非常大，從25到450 000，縱坐標數(shù)據(jù)也很大，給操作帶來了困難. 有什么數(shù)學(xué)方法或者數(shù)學(xué)運算，可以有效縮小橫坐標和縱坐標的數(shù)據(jù)，從而簡化作圖與研究過程？各小組討論.

師生活動：學(xué)生分組討論，從簡化圖形和計算的角度出發(fā)，思考解決方法. 教師適時鼓勵學(xué)生嘗試不同方法，并利用GeoGebra軟件進行計算與演示，引導(dǎo)學(xué)生對不同方法進行判斷與評價，最終引導(dǎo)學(xué)生選擇兩邊取對數(shù)運算的方法進行簡化和優(yōu)化模型.

【設(shè)計意圖】引入對數(shù)運算簡化模型的思路，它的本質(zhì)是從數(shù)據(jù)處理的角度，將非線性模型進一步變?yōu)榫€性模型，即將[f=kW-13]轉(zhuǎn)化為[lnf=lnk-lnW3]的形式，如圖2和圖3所示，簡化亦是優(yōu)化數(shù)學(xué)模型. 它的產(chǎn)生并不是偶然的，在人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊第四章的閱讀材料“對數(shù)的發(fā)明”中展示的對數(shù)產(chǎn)生的背景與發(fā)展，為這里奠定了基礎(chǔ). 在自主探究的過程中，教師要重視學(xué)生的不同想法，數(shù)學(xué)模型的建立本就不是唯一確定的，唯有經(jīng)過不斷嘗試和對比、檢驗與修正的過程，不斷提高邏輯的嚴密性，才會得到相對滿意與適合的數(shù)學(xué)模型.

環(huán)節(jié)6：總結(jié)歸納，凝練所學(xué).

問題8：回顧探索脈搏率和體重關(guān)系的過程，我們經(jīng)歷了哪些步驟？

師生活動：先讓學(xué)生自己總結(jié)，再進行交流互動，最后得出基本步驟，并利用如圖4所示的框圖表示.

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)建?；顒拥慕虒W(xué)重在帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，明確數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，從而加強學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 學(xué)生先合作總結(jié)研究路徑教師再補充的形式，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主性，也是檢驗和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與綜合能力的好機會.

環(huán)節(jié)7：目標檢測設(shè)計（課后完成）.

釣魚比賽中，出于保護的目的，垂釣俱樂部鼓勵會員釣到魚之后馬上放生. 同時，該俱樂部還希望根據(jù)釣到的魚的總質(zhì)量給予獎勵. 垂釣者怎么確定所釣到的魚的質(zhì)量呢？如果采用便攜秤，一方面稱起來不方便，另一方面對于小魚并不準確. 請你提供一種方案，能夠快速有效地測量魚的質(zhì)量.

根據(jù)材料，模仿上述過程開展一次建立函數(shù)模型解決問題的活動，以小組為單位，撰寫一份研究報告，并進行交流展示.

【設(shè)計意圖】在課堂上經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程后，學(xué)生有了初步的認知與感受，學(xué)生只有通過獨立自主的方案設(shè)計與操作，才能夠?qū)⒗碚撧D(zhuǎn)化為能力，讓數(shù)學(xué)建模的思想滲透到學(xué)生的內(nèi)在，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的重要性與實用性.

六、教學(xué)設(shè)計的說明與反思

數(shù)學(xué)建模活動作為一種綜合實踐活動課，與以獲取“四基”為主要目的的課有很大不同，《標準》強調(diào)要以課題研究的方式開展. 但是，就目前我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，課題研究的方式實施難度較大. 本教學(xué)設(shè)計進行了一些新的嘗試，即以數(shù)學(xué)建模的主要環(huán)節(jié)為依據(jù)，設(shè)計探索性問題，引導(dǎo)學(xué)生開展建?；顒?，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的基本要領(lǐng)后，再獨立開展數(shù)學(xué)建?；顒? 本教學(xué)設(shè)計關(guān)注了以下幾個問題.

1. 設(shè)置梯度突破難點

“體重與脈搏”的數(shù)學(xué)建模需要突破的難點較多. 例如，跨專業(yè)背景的理解、“比例模型”的得出、函數(shù)模型的選擇、計算和檢驗等. 如果開門見山直接提出找尋脈搏率與體重關(guān)系的核心問題，學(xué)生很難找到方向、提出明確的想法. 為此，本教學(xué)設(shè)計以問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從背景知識入手，通過幾何直觀提出猜想，利用數(shù)形結(jié)合初步判斷，教師示范比例關(guān)系，借助框圖串聯(lián)變量，初步得出模型，最后進行計算與優(yōu)化模型等過程，這是一個完整的數(shù)學(xué)建模過程，可以讓學(xué)生形成建立函數(shù)模型解決實際問題的完整體驗.

2. 重視課堂生成問題

數(shù)學(xué)建模是一個思維發(fā)散的過程，學(xué)生會因為個人閱歷、知識儲備與思維方式的不同，產(chǎn)生各種不同的想法. 例如，學(xué)生在通過圖象選擇函數(shù)模型時會提出不同的猜測，有反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等，對于容易辨別的要及時引導(dǎo)學(xué)生進行初步的判斷與篩選，對于不易判斷合理性的函數(shù)模型，留作備選，引導(dǎo)學(xué)生在建模成功后進行再認知與判斷. 在求解模型時，參數(shù)的確定方法不唯一，對學(xué)生提出的“求平均”系列方法，要給予及時的肯定. 在檢驗?zāi)Ｐ秃侠硇缘耐瑫r，也允許存在不同的判斷方式，“合理”與“不合理”的思考過程遠比最終結(jié)果重要.

3. 注重知識的延續(xù)性

數(shù)學(xué)建模雖然作為獨立的專題呈現(xiàn)在教材當(dāng)中，但是它的研究內(nèi)容與探究方法不是全新和陌生的，這一點在教材中有很多體現(xiàn). 例如，從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)問題及數(shù)量關(guān)系，這是教材中學(xué)習(xí)新概念、公式等的常用研究方法;對于函數(shù)圖象的觀察與猜測，完全可以借助初、高中學(xué)習(xí)的各類函數(shù)的性質(zhì)展開，既是鞏固，也是應(yīng)用;從一組比例關(guān)系過渡到學(xué)生自主完成所有比例關(guān)系，類比操作在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中屢見不鮮;優(yōu)化函數(shù)模型時的對數(shù)運算，從教材的閱讀材料中即可獲取靈感. 可見，活動過程中用到的知識、技能、思想、經(jīng)驗，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中都已經(jīng)有了大量積累，這里主要是把它們調(diào)動起來進行綜合運用.

4. 信息技術(shù)融入教學(xué)

數(shù)學(xué)建模活動必須使用信息技術(shù)，這是由數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的特點所決定的. 本教學(xué)設(shè)計中使用了多樣化的信息技術(shù). 例如，使用Excel軟件存儲和整理數(shù)據(jù)，應(yīng)用多媒體播放視頻素材，利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)圖象、進行數(shù)學(xué)運算，通過希沃授課助手同步學(xué)生的課堂討論成果等. 這對數(shù)學(xué)課堂的推進、學(xué)生思維的拓展起著不可忽視的作用.

七、對數(shù)學(xué)建?；顒拥慕虒W(xué)思考

下面結(jié)合本教學(xué)設(shè)計對數(shù)學(xué)建?；顒拥慕虒W(xué)提出一些思考.

思考1：數(shù)學(xué)建模課要上出數(shù)學(xué)建模的味道.

數(shù)學(xué)建模活動不同于數(shù)學(xué)應(yīng)用或數(shù)據(jù)分析，不局限于數(shù)據(jù)的處理，需要從實際問題出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)，挖掘關(guān)系，定性、定量分析，選擇模型，求解模型，檢驗?zāi)Ｐ偷綉?yīng)用模型的過程.

課堂上對《標準》中給出的各種動物脈搏與體重數(shù)據(jù)的使用處理，顯得尤為重要. 通過將數(shù)表轉(zhuǎn)化為圖表，讓數(shù)據(jù)更直觀地呈現(xiàn)出來，從中容易得出體重越大，脈搏率越低（圖象上單調(diào)遞減）的定性分析結(jié)論，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)體重與脈搏之間具有類似于反比例（冪函數(shù)）的關(guān)系. 這里是根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)進行的合理猜想，從而自然地選擇冪型函數(shù)作為研究本問題的基本數(shù)學(xué)模型. 但是冪型函數(shù)[f=kWα]具體是怎樣的，不能簡單地用信息技術(shù)進行擬合，然后去討論擬合程度的優(yōu)劣，這樣就變成了數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析課. 我們應(yīng)該在有了大致模型方向的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際的生物學(xué)假設(shè)，提取數(shù)學(xué)關(guān)系式，進行數(shù)學(xué)推理，通過數(shù)學(xué)符號和語言來表述與建立數(shù)學(xué)模型，進一步探討選取冪型函數(shù)模型[f=kW-13]的科學(xué)性.

思考2：模型的選擇和求解是兩件事.

模型的選擇是基于數(shù)據(jù)、圖表的大致選擇，而獲得更精確的模型則需要精細的求解. 于是，如何求解系數(shù)[k]的值，就成了求解體重與脈搏關(guān)系模型的關(guān)鍵一環(huán).

學(xué)生依據(jù)現(xiàn)有的知識儲備，可以想到利用已有數(shù)據(jù)給出的8個點分別求出8個對應(yīng)的[k]值，但是8個值之間差異很大. 于是利用“求平均”這一最樸素的統(tǒng)計思想，求8個值的平均數(shù)作為常數(shù)是學(xué)生最容易想到的處理方法. 雖然這個方法較統(tǒng)計學(xué)中擬合回歸的方法精確度低一些，但作為高中生初步接觸統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，求平均的方法應(yīng)該予以充分肯定，并在課堂中予以實施.

思考3：模型的最終確定需要進一步檢驗.

模型的最終確定還需要進一步檢驗，如果符合實際情況才能繼續(xù)下去. 這里要特別注意，不建議使用某個人的數(shù)據(jù)作為檢驗的依據(jù). 因為本問題的研究有一個大前提，是恒溫動物在睡眠狀態(tài)下測得的脈搏率和體重的關(guān)系，如果課堂中使用學(xué)生的心跳和體重的關(guān)系，就背離了研究的假設(shè)，甚至連研究的對象都變了，檢驗就變成了一種假檢驗，科學(xué)性會大打折扣. 從《標準》的案例中給出的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)馬對應(yīng)的數(shù)據(jù)顯得特別突兀，所以建議以前面7種動物的數(shù)據(jù)建立模型，用馬的數(shù)據(jù)進行檢驗. 當(dāng)然，更好的做法是通過查閱資料，找到更多其他動物的相關(guān)數(shù)據(jù)進行檢驗.

如果數(shù)據(jù)檢驗偏離非常明顯，則說明可能是模型的選擇出了問題，需要重新選擇模型，或者是求解模型的方式精確度不夠，需要進一步優(yōu)化. 本教學(xué)設(shè)計中的模型選擇沒有問題，但選擇平均數(shù)求[k]值的方法可能不夠精確，于是可以讓學(xué)生在課后繼續(xù)研究有沒有其他求[k]值的方法，鼓勵學(xué)生通過學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)知識，采用方差分析等方法取得相對精確的模型數(shù)據(jù).

思考4：模型及呈現(xiàn)方式可以優(yōu)化，使之更為直觀.

由于本問題所給的數(shù)據(jù)跨度很大，所以在同一個坐標系內(nèi)呈現(xiàn)并不那么“友好”，小數(shù)全擠在一起，大數(shù)又離得太遠. 有什么辦法可以讓這些數(shù)據(jù)的范圍壓縮，使數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)更加直觀呢？對數(shù)函數(shù)的變化特征是“先快后慢”，所以將橫、縱坐標分別取對數(shù)，可以將橫坐標的范圍從25 ～ 450 000壓縮到2 ～ 14，縱坐標的范圍從0 ～ 700壓縮到3.5 ～ 7，而且數(shù)據(jù)的分布近似于線性分布，于是形成了對數(shù)線性模型，使得數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)更加直觀，更加“親切”. 當(dāng)然也可能有學(xué)生會想到轉(zhuǎn)換比例尺，求根號等方式壓縮范圍，這些都是很好的課堂生成.

思考5：數(shù)學(xué)建模過程要完整，盡量避免“縮水”.

顯然，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)不宜采用“講練”的模式，《標準》要求采用課題研究的形式，通過選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)來推進建?；顒? 所以，數(shù)學(xué)建?；顒诱n是不同于日常教學(xué)的課，是在多節(jié)課中圍繞著一個主題開展豐富多彩的數(shù)學(xué)活動，需要課內(nèi)外的結(jié)合，通過多樣化的方式、以“長作業(yè)”的形式完成. 要開好、用足必修課程中的6個課時和選修課程中的4個課時的數(shù)學(xué)建?；顒?，切不可讓數(shù)學(xué)建模課程“縮水”.

思考6：數(shù)學(xué)建模評價宜采取滿意原則和加分原則.

數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)過程有一定難度，因此評價要注重過程評價，而不以最后的結(jié)果作為唯一的評判依據(jù). 教學(xué)過程重在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，如果學(xué)生提出的方法有理有據(jù)、思路清晰、表達準確，就可以給予滿意評價. 如果學(xué)生在分析論證的過程中能有一些創(chuàng)意，那么就適用于加分原則. 同時，數(shù)學(xué)建模是一種將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界緊密聯(lián)系的綜合實踐活動，與育人方式的改革密切相關(guān). 在數(shù)學(xué)建?；顒舆^程中，學(xué)生能力和核心素養(yǎng)的提升將是全方位的.

對比《標準》與教材關(guān)于數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，本次數(shù)學(xué)建模教學(xué)的嘗試才邁出了第一步，與理想的數(shù)學(xué)建模還有很大的距離. 從應(yīng)用問題的教學(xué)出發(fā)，走向適應(yīng)《標準》要求，基于“三用”、指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，實現(xiàn)由教向?qū)W的轉(zhuǎn)型，我們依然任重而道遠.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍，張艷嬌，金克勤. 數(shù)學(xué)建模活動的課程理解、教材設(shè)計與教學(xué)實施[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2020（5）：13-19.

[3]葉根福. 高中數(shù)學(xué)建模的設(shè)計與思考[J]. 天津教育，2019（7）：125-127.

[4]呂增鋒.“縮水”的數(shù)學(xué)建模課[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2020（5）：86-87，90.

[5]張彬，蔣永鴻. 基于高中“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計與評析[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2019（1）：12-16.