鄭海山

摘? 要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)與提升的關(guān)鍵. 以“平方根”一課為例，從概念形成、特征表述、內(nèi)涵與外延的應(yīng)用等方面闡述平方根的發(fā)生、發(fā)展過程. 在教學(xué)中，教師應(yīng)該盡可能地基于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的視角開展教學(xué)，使學(xué)生既能理解并掌握知識，又能合理地分析與思考，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué).

關(guān)鍵詞：平方根;數(shù)學(xué)思維;概念課教學(xué)

教師往往在解題教學(xué)中強(qiáng)調(diào)邏輯，但是在概念教學(xué)中，卻很少從蘊(yùn)涵于概念知識中的認(rèn)知視角、思想與方法等角度全面解析數(shù)學(xué)知識，故而不能設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的教學(xué)表達(dá)方式，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 在概念課的教學(xué)中，教師要從數(shù)學(xué)知識之間的邏輯性，從符合數(shù)學(xué)思維的角度展開教學(xué)，以便更好地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的過程. 筆者以“平方根”一課為例，對此進(jìn)行探討.

一、數(shù)學(xué)知識要素分析

本節(jié)課選自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“浙教版教材”）第六章“實(shí)數(shù)”的第一節(jié)“平方根”. 教師在開展“平方根”一課的教學(xué)前，要充分認(rèn)識到七年級學(xué)生因平方根概念、符號表示等較為抽象而存在理解上的困難. 要突破教學(xué)難點(diǎn)，教師要認(rèn)識到有關(guān)知識的邏輯基礎(chǔ)和思維過程，將知識發(fā)生、發(fā)展的過程充分展現(xiàn)給學(xué)生. 引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解所學(xué)知識，才是真正意義上的數(shù)學(xué)理解.

1. 數(shù)學(xué)知識邏輯——為什么要學(xué)習(xí)平方根

研究對象的產(chǎn)生有一定的邏輯基礎(chǔ)或源于生活中的真實(shí)情境，四則運(yùn)算和乘方運(yùn)算都有其逆運(yùn)算：加與減，乘與除. 乘方是開方的逆運(yùn)算，在運(yùn)算領(lǐng)域比較容易理解，不容易理解的是為什么要有平方根. 如何理解平方根，以及后續(xù)對無理數(shù)概念的理解，這需要在教學(xué)中給予重點(diǎn)關(guān)注. 浙教版教材中利用“已知正方形的面積求其邊長”的策略來引入平方根，恰好解決了以上的思考，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活和生活數(shù)學(xué)化的過程，其學(xué)習(xí)的必要性彰顯無遺.

2. 數(shù)學(xué)思維角度——如何研究平方根

理解平方根概念：作為運(yùn)算結(jié)果，平方根是冪的底數(shù)，與冪為互逆關(guān)系;作為運(yùn)算過程，開平方是平方的一種逆運(yùn)算，但并不是唯一的，高中階段還有對數(shù)運(yùn)算. 因此，從平方根的生成過程開始，要將思維過程充分展現(xiàn)出來，使學(xué)生認(rèn)識到平方根概念背后的邏輯性和合理性，在知識的產(chǎn)生環(huán)節(jié)多問“為什么”，逐步讓學(xué)生學(xué)會研究作為結(jié)果和運(yùn)算屬性的概念.

3. 數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的視角——為什么這樣研究平方根

數(shù)學(xué)研究有其一定的方式和角度，教師要在教學(xué)中給予體現(xiàn)，使學(xué)生掌握研究的基本套路. 教師可以根據(jù)從特殊到一般的生成策略引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平方根概念，采用“閱讀 + 列表”的形式對比平方根相關(guān)符號的表示方法，運(yùn)用題組變式辨析概念之間的關(guān)系，注重代數(shù)的邏輯推理，從掌握研究方法和完整知識體系的角度幫助學(xué)生理解所學(xué)知識.

二、“平方根”教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：多角度創(chuàng)設(shè)情境，引出概念.

問題1：填空.

（1）[42=]??? ;

（2）[-42=] ?? ;

（3）[??????? 2=16.]

問題2：我們學(xué)過哪些運(yùn)算？填寫表1.

問題3：正方形的邊長為7，則面積是???? ;正方形的面積為100，則邊長為???? ;正方形面積為3，則邊長為???? .

【設(shè)計(jì)意圖】制造易錯點(diǎn)、對比點(diǎn)和沖突點(diǎn)引入教學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣. 問題1以易錯點(diǎn)為后續(xù)尋找平方根做好鋪墊;問題2從運(yùn)算關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果和符號表示進(jìn)行對比，為探究新知、形成完整的運(yùn)算體系做好準(zhǔn)備;問題3設(shè)計(jì)了三個不同層次的填空問題，讓學(xué)生明晰平方根源于實(shí)際，平方根符號的創(chuàng)造更是實(shí)際所需. 上述設(shè)計(jì)符合學(xué)生學(xué)情，知識體系的發(fā)生、發(fā)展也符合學(xué)生的思維過程.

環(huán)節(jié)2：從一般到特殊甄別核心概念，從特殊到一般生成性質(zhì).

問題1：根據(jù)材料回答問題.

材料：如果[x2=a，] 那么[x]叫做[a]的平方根. 例如，[±102=100，] 那么[±10]叫做[100]的平方根，也叫做100的二次方根.

（1）根據(jù)上述材料，檢驗(yàn)表2中的[x]是否為[a]的平方根？為什么？

（2）判斷對錯.

① 5是25的平方根;

② 25的平方根是5.

（3）文字描述平方根的概念.

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)從數(shù)學(xué)模型入手，建立從一般到特殊的概念呈現(xiàn)過程，增強(qiáng)學(xué)生對平方根概念的理解，特別是平方根結(jié)果的完整性，再進(jìn)一步抽象為文字描述，讓學(xué)生掌握抽象概念學(xué)習(xí)的一般方法.

問題2：分別說出49，[125]，0，-4的平方根. 你能發(fā)現(xiàn)[a]的平方根結(jié)果與[a]存在怎樣的關(guān)系嗎？

問題3：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，嘗試舉例驗(yàn)證.

【設(shè)計(jì)意圖】從特殊的例子中有目的地引導(dǎo)學(xué)生歸納一般性的結(jié)論，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行舉例驗(yàn)證，讓學(xué)生掌握運(yùn)用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)過程并驗(yàn)證結(jié)論的一般方法，使邏輯推理落到實(shí)處.

環(huán)節(jié)3：優(yōu)化相關(guān)概念教學(xué)，凸顯符號化.

問題1：3的平方根是多少？如何表示？

問題2：閱讀浙教版教材第68頁和第69頁，確定在不同運(yùn)算背景下給定的數(shù)[a，] 分別有什么要求？完成表3.

問題3：求???????????? 的運(yùn)算叫做開平方，用“[]”是進(jìn)行什么運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)意圖】在問題“3的平方根是多少”的激發(fā)下，學(xué)生閱讀的專注度和有效性得到提高. 采用“閱讀 + 表格 + 討論”的形式展開教學(xué)，從具體的可開方數(shù)到不可開方數(shù)，再到字母討論，逐層表示平方根、正平方根、負(fù)平方根、算術(shù)平方根的異同點(diǎn);充分發(fā)揮表格的層次性、有序性和對比性，強(qiáng)化各類平方根表示法的特征，同時(shí)利用從特殊到一般的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生對[a]進(jìn)行討論，促使學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)易錯點(diǎn)，明晰相關(guān)概念.

環(huán)節(jié)4：知識運(yùn)用與提升，注重集中思維與發(fā)散思維的培養(yǎng).

練習(xí)1：求下列各數(shù)的平方根.

（1）9;????????? （2）0.36;????? （3）[14];

（4）[1916];?? （5）7.

練習(xí)2：先說出下列各式的意義，再計(jì)算.

（1）[2.25;]???????????????? （2）[-121;]

（3）[-52;]???????????? （4）[±-4-9.]

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)習(xí)平方根后，提供集中思維練習(xí)的素材，幫助學(xué)生掌握知識和技能，理清單一或多個知識點(diǎn)，規(guī)范答題，減少錯誤.

練習(xí)3：判斷下列說法的正確性.

（1）5是25的算術(shù)平方根（??? ）;

（2）-5是25的一個平方根（??? ）;

（3）-6是36的算術(shù)平方根（??? ）;

（4）6是36的一個平方根（??? ）;

（5）36的平方根是6（??? ）;

（6）0的算術(shù)平方根是0（??? ）;

（7）0.01是0.1的算術(shù)平方根（??? ）;

（8）-25的平方根是-5（??? ）.

練習(xí)4：正方形的面積為7，它的邊長為多少？

練習(xí)5：填空.

（1）16的平方根是????? ，算術(shù)平方根是???? ;[16=]????? ;[±16=]????? ;[-16=]????? ;[16]的平方根是????? .

（2）11的平方根是????? ，算術(shù)平方根是????? .

（3）根據(jù)平方根的定義，則[±a2]的值是???? .

練習(xí)6：兩個邊長為1的正方形，能否拼成一個更大的正方形，所得的大正方形的面積是多少？邊長又是多少呢？

【設(shè)計(jì)意圖】對相關(guān)概念符號及其本質(zhì)的掌握需要不斷通過似是而非的情境加以提煉. 練習(xí)3通過判斷題讓學(xué)生辨析各概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，利用發(fā)散性問題激發(fā)學(xué)生的興奮點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理清知識. 練習(xí)4讓學(xué)生感受到平方根在生活中的運(yùn)用，學(xué)會合理選擇算術(shù)平方根和平方根. 練習(xí)5通過填空題組集中展現(xiàn)文字和符號描述，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)符號的簡潔美，同時(shí)進(jìn)行適當(dāng)拓展，讓學(xué)生了解根據(jù)定義解決問題是概念問題解決的常用方法. 練習(xí)6從正方形面積得到[2，] 從形的角度解釋平方根的來源，豐富學(xué)習(xí)平方根的意義，同時(shí)為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

教師要引導(dǎo)學(xué)生從知識技能、思想與學(xué)習(xí)方法三方面進(jìn)行課堂小結(jié). 課堂小結(jié)不僅是要梳理知識，更是為了對今后學(xué)習(xí)類似的概念起到示范引領(lǐng)作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供可借鑒的研究途徑. 師生共同對本節(jié)課進(jìn)行小結(jié)，如下圖所示.

三、教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教育要回歸數(shù)學(xué)本來的面目，著眼于學(xué)生的長足發(fā)展，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的資源，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考.

1. 理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，積累概念教學(xué)表達(dá)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)的目的是使學(xué)生從“學(xué)會”逐步達(dá)到“會學(xué)”，這就需要教師有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)表達(dá)經(jīng)驗(yàn)，而要具備這種經(jīng)驗(yàn)，需要教師對概念體系的形成原因及概念的上、下位知識有清晰的認(rèn)識，具備用高觀點(diǎn)解釋初等數(shù)學(xué)知識的能力. 例如，對于為什么要學(xué)習(xí)平方根，教師不僅需要從源于生活需要的角度思考，還要從數(shù)系擴(kuò)充的角度考慮，充分知曉概念源于哪里、去往何處. 從平方根的本位知識角度考慮，教師需要知道底數(shù)、指數(shù)和冪三個變量之間的辯證關(guān)系，即從求冪（乘方）到求冪的底數(shù)（方根）再到求冪的指數(shù)（對數(shù)），從而從算法的視角理解概念的演變過程. 上述對概念產(chǎn)生理解的視角，能普遍運(yùn)用于教師在概念教學(xué)中所要考慮的因素，使教師善于表達(dá)數(shù)學(xué)知識，使之更源于實(shí)際、更具數(shù)學(xué)味.

2. 理解學(xué)科教學(xué)知識，形成概念教學(xué)之道

學(xué)科教學(xué)知識的核心要素是理解學(xué)生和理解教學(xué)，因此，教師要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與知識儲備. 學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)決定了其有自己理解數(shù)學(xué)知識的角度和方式. 教師在理解學(xué)生和理解教學(xué)上水平的高低決定了其教學(xué)行為的有效性. 教學(xué)必須以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)，深刻思考學(xué)生是怎么學(xué)的，以及教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式與學(xué)生的學(xué)是如何匹配的. 本案例中，從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和矯正學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤兩個角度去實(shí)施教學(xué). 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有序性，就要從生活化和數(shù)系發(fā)展角度闡述平方根的由來和必要性，即從概念模型化（模型—具體—抽象）入手，闡述概念的生成過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于凸顯問題發(fā)現(xiàn)的基本方法和基本途徑，同時(shí)能夠?yàn)榻窈髮W(xué)習(xí)立方根等類似的概念做好思維有序性與方法的鋪墊. 在平方根相關(guān)概念及符號的教學(xué)中，采用讓學(xué)生自主閱讀、表格任務(wù)、討論研究等教學(xué)策略，能夠使零散的知識有序化、對比化，起到引導(dǎo)學(xué)生思辨的作用，以達(dá)到矯正學(xué)生學(xué)習(xí)錯誤的目的. 上述對概念的發(fā)現(xiàn)、相關(guān)衍生概念的處理和概念甄別深化的過程，是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與學(xué)習(xí)內(nèi)容的契合度，最終形成教師對概念教學(xué)的行動策略和模式，使得教學(xué)行為更符合人與知識的共生發(fā)展.

3. 理解課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，促進(jìn)概念教學(xué)的有效性

教學(xué)不能脫離教材，也不能唯教材論. 教師要深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容和要求，以及教材的結(jié)構(gòu)體系，要認(rèn)真思考教學(xué)素材的選擇和呈現(xiàn)方式等. 素材的選擇應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)概念、應(yīng)用概念進(jìn)行推理，以及利用所學(xué)知識解決問題的需要. 教師還要適當(dāng)改編、補(bǔ)充具有挑戰(zhàn)性的題組，推動學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生糾錯、辨錯、對比、內(nèi)化、創(chuàng)新，在解題中構(gòu)建更加穩(wěn)定、清晰、系統(tǒng)化的知識體系，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從低階向高階過渡，使學(xué)生的知識積累和思維能力得以提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐章韜. 面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識：基于數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角[M]. 科學(xué)出版社，2013.

[2]章建躍. 理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（1）：61-63.