應(yīng)希源 薩彬含

[摘? ? ? ? ? ?要]? 以高職院校高等數(shù)學(xué)曲線上一點處的切線定義教學(xué)為例，引入嫦娥五號探月工程視頻片段創(chuàng)設(shè)問題情境，增強學(xué)生的民族自豪感和文化自信感。通過返回器的半彈道跳躍式再入返回方式，讓學(xué)生了解科學(xué)家精益求精、科學(xué)嚴謹?shù)膽B(tài)度。通過研究軌道曲線一點處的切線，激發(fā)學(xué)生發(fā)揚先輩們勇于探索、不斷創(chuàng)新的精神。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 高職;課程思政;高等數(shù)學(xué);探討

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）32-0090-02

一、引言

切線問題是導(dǎo)致微積分誕生的最重要問題之一，切線斜率作為導(dǎo)數(shù)概念的引例，已出現(xiàn)在今天的任何一本微積分教材中[1]，但曲線上一點處切線的定義往往在教材中直接給出，部分高職學(xué)生因缺乏對該定義歷史背景的了解，對理解該定義存在一定的困難，從而在學(xué)習導(dǎo)數(shù)概念前就產(chǎn)生畏難情緒。應(yīng)用課堂教學(xué)，引入課程思政元素，讓高職學(xué)生了解曲線上一點處切線定義的演變，認識該定義背后的歷程及艱辛，對提高高職學(xué)生學(xué)習興趣、消除畏難情、培養(yǎng)堅強的毅力具有重要的意義。

學(xué)者任衛(wèi)兵[2]以曲線上一點處的切線為例，從數(shù)學(xué)史視角出發(fā)，提出了基于HPM視角的概念、教學(xué)實踐與思考。學(xué)者鄧迎春[3]用發(fā)生教學(xué)法設(shè)計和實施“曲線上一點處的切線”的教學(xué)。本文在此基礎(chǔ)上，針對高職學(xué)生，以嫦娥五號返回器的一段軌跡為例，引入課程思政元素，對曲線一點處的切線定義進行教學(xué)探討。

二、教學(xué)設(shè)計思路

本節(jié)課將課程思政元素融入教學(xué)中，以“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—分析問題—解決問題”為主線，進行曲線上一點處的切線定義的教學(xué)探討。通過嫦娥五號探月升空視頻片段，介紹嫦娥五號取得的舉世矚目的成就，并從返回器“打水漂”的半彈道跳躍式再入返回軌跡提出問題，探討曲線上一點處切線的定義。教學(xué)內(nèi)容和思政元素的聯(lián)系和邏輯關(guān)系如圖1所示。

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

以嫦娥五號發(fā)射的視頻片段作為引例，簡要介紹嫦娥五號發(fā)射的意義，嫦娥五號返回器采用“打水漂”的半彈道跳躍式再入返回方式安全著陸，劃出了優(yōu)美的曲線，返回器著陸前的一段軌跡如圖2所示的曲線?；诖吮尘霸O(shè)計問題：如何描述軌跡上一點處返回器的運動方向？學(xué)生思考后，根據(jù)已有的知識，回答可由軌道上該點處的切線方向來確定。接著追問：那如何確定軌道上一點處的切線呢？

（二）分析、解決問題

如何確定曲線上一點處的切線？部分學(xué)生利用已有圓的切線定義可得出，在曲線上一點處直線與曲線只有一個公共交點，則該直線為曲線在該點處的切線。教師引導(dǎo)學(xué)生舉出反例如圖2（a）所示，曲線在A點處，直線與曲線均只有一個交點，但不是曲線在該點處的切線。因此，圓的切線定義不能直接應(yīng)用于任意的曲線。

教師再引導(dǎo)學(xué)生回顧高中所學(xué)的圓錐曲線的切線定義：圓錐曲線的切線與圓錐曲線只有一個公共點，且全部在圓錐曲線之外的直線。該定義是否適用于任意曲線呢？學(xué)生思考后可舉出反例如圖2（b）所示，直線是曲線在B點處的切線，但該切線與曲線有兩個交點，且不在曲線之外，因此，不能將圓錐曲線的切線定義直接應(yīng)用于本問題提出的曲線，那曲線任意點處的切線又該如何定義呢？

因高職高等數(shù)學(xué)教材省略了切線概念的歷史背景，直接給出了曲線切線的定義，學(xué)生難以理解，因此，教師引導(dǎo)學(xué)生簡要回顧曲線一點處切線定義的歷史演變[4-5]，從圓錐曲線切線定義到高等數(shù)學(xué)教材曲線一點處切線的定義，經(jīng)歷了約2000年的演變，其中較為典型的有阿基米德切線定義、笛卡爾“等根法”求切線、費爾馬“極值法”求切線、巴羅的“特征三角形法”求切線、牛頓的“流數(shù)法”和萊布尼茲的“坐標差分法”求切線、達蘭貝爾切線定義等。其中阿基米德將螺旋線的切線看作與螺旋線只有一個公共點，且落在螺旋線之外的直線，仍從公共點的個數(shù)角度來研究切線。直到17世紀，笛卡爾、費爾馬、巴羅等才給出求曲線切線的一般方法。牛頓的“流數(shù)法”和萊布尼茲的“坐標差分法”是在沒有建立極限理論的基礎(chǔ)上提出的，在歐洲大陸流傳了半個多世紀。隨著極限理論的逐步發(fā)展，達蘭貝爾給出了曲線一點處切線的定義：割線與曲線的兩個交點變成一個點時割線的極限，但該定義仍然沒有把“兩點變成一點”這一過程形象化描述出來。

隨著極限理論的逐步完善，約在19世紀才產(chǎn)生了現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材上的定義，目前高等數(shù)學(xué)教材中曲線一點處切線的定義為：設(shè)有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN，當點N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線，這里極限位置的含義是：只要弦長|MN|趨于0，∠NMT也趨于0[6]，根據(jù)該定義，如果當點N沿曲線C趨于點M時，如果極限k=存在，則該極限就是切線MT的斜率。

學(xué)生了解曲線一點處切線定義的歷史演變后，根據(jù)高等數(shù)學(xué)教材所給的定義，便可做出嫦娥五號返回器著陸前的一段軌跡曲線上點M的切線，如圖3所示，直線MT即為曲線在點M處的切線。

（三）定義的應(yīng)用及探討

例1.如何根據(jù)定義找出曲線在M點處的切線？

部分學(xué)生根據(jù)“切線是割線的極限位置”很難理解具體哪條直線才是割線的具體位置。如當N點沿著曲線跨過M點過程中，當M點與N點完全重合時，直線與曲線只有一個交點，而過一點的直線有無數(shù)條，究竟哪一條才是曲線在M點處的切線呢？此時可引導(dǎo)學(xué)生緊扣定義，學(xué)生可根據(jù)定義中的當弦長|MN|趨于0時，∠NMT也趨于0，則可判斷MT就是所求的切線，求出極限k=，便可得到點M處切線的具體位置。