張永剛

摘? 要：關(guān)于正方體的截面，可以探究其形狀、大小、周長等，內(nèi)容解析中具體分析了可能研究到的問題及研究思路. 在常態(tài)教學中進行完整、大型數(shù)學探究的實踐較少，學生在學習中會在思維和操作方面有所顧忌，需要教師的設計、指導和幫助，為此設計了以學術(shù)真實為情境的項目學習教學方式. 教師設計驅(qū)動問題，學生自主分解任務實施項目，并用評價指引項目的實施，最后形成項目作品——數(shù)學“定理”，并進行展示交流、智慧分享，完善產(chǎn)品和項目報告、積累探究經(jīng)驗.

關(guān)鍵詞：項目學習;數(shù)學探究;正方體截面

一、項目教學內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 項目教學內(nèi)容

探究正方體截面的形狀、面積及周長.

建議使用三課時. 提前布置任務，學生課前獨立自主探究. 第1課時在開題報告中完成問題的提出與成果展示的規(guī)范化;第2課時中期匯報充分掌握正方體截面的形狀特征并進行面積大小的初步探究;第3課時全面展示探究成果，布置課后作業(yè). 最后完成研究報告.

2. 項目內(nèi)容解析

立體幾何研究的是現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系.

本探究活動是在學生學習了空間中點、直線、平面的位置關(guān)系，了解了一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法之后，進一步探究如何全面、準確地認識一個空間幾何體;如何在研究過程中逐步發(fā)現(xiàn)有價值的問題，在解決問題的同時歸納方法、探索規(guī)律，從而揭示數(shù)學研究的本質(zhì)——探索規(guī)律的不變性.

對于正方體來說，用一個平面去截它，最直觀的是截面的形狀. 對此可以按截面邊的數(shù)量進行分類. 截面多邊形的邊是指這個平面與正方體表面的交線. 正方體有六個面，一個平面截一個正方體，該平面最少會與三個面相交，最多會與六個面交，按照邊的數(shù)量可分為：三角形，四邊形，五邊形，六邊形. 在這些多邊形中是否存在特殊的形狀，可以通過觀察、猜想進一步探究，并通過論證與舉反例進行證明或反駁. 截面所在平面的相對位置不同，導致截面形狀的不同，按照某些特殊位置的平面系截正方體，分析各類截面圖形是否存在，更容易了解截面形成的過程，體會分類研究是解決復雜綜合問題的常用方法.

截面的形狀確定之后還可以創(chuàng)設“求面積最值”的情境. 為探究求截面面積，可采取按截面在正方體的一個特定表面的投影形狀進行分類. 為了探究求截面面積的一般方法，以2018年高考全國Ⅰ卷理科第12題為支架問題，發(fā)現(xiàn)六邊形截面的面積可以轉(zhuǎn)化為其在正方體表面的投影面積進行計算，而這種方法又能推廣到截面四邊形、五邊形. 為了控制二面角變化中的變量數(shù)量，將截面圖形中兩條平行的邊所在的正方體表面作為投影面.

體會分類標準的選擇往往是被問題所驅(qū)動的. 當然，對于截面圖形還有更多其他形式的標準. 例如，可以按不同形狀的截面會與正方體哪些位置的棱產(chǎn)生交點進行分類，這樣在給定正方體不同棱上的任意三點后，很快就能判斷出截面的大致形狀.

數(shù)學的學習要掌握解決一類問題的方法.“類”從何而來？當然是根據(jù)我們想要解決的問題而來. 課后作業(yè)以求截面周長為驅(qū)動問題，鼓勵學生繼續(xù)探究對正方體截面新的分類.

綜上，確定本項目的教學重點為：探究正方體的截面形狀，通過研究截面面積，探究對復雜綜合問題的合理分類.

二、項目教學目標及目標解析

1. 項目教學目標

（1）經(jīng)歷探究正方體截面形狀、面積的過程，了解截面的形狀及特殊截面，求得截面面積的最大值.

（2）通過完成關(guān)于正方體截面的探究，讓學生了解探究，經(jīng)歷提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、證明猜想或反駁猜想的過程，積累通過思維碰撞、合作探究進行數(shù)學學習的經(jīng)驗.

（3）通過體會合理分類與歸類的過程，提升直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2. 項目目標解析

（1）能通過自主實驗，找出正方體所有可能出現(xiàn)的截面形狀，以合理的形式概括描述，并說出各類多邊形產(chǎn)生的原因;能借助立體幾何初步中給出的基本事實、定理、推論等論證截面多邊形的形狀特征;能夠脫離實驗想象出以與正方體的棱、面對角線、體對角線平行或垂直的平面截正方體可能截出的圖形;能合理選擇正方體表面作為投影面，轉(zhuǎn)化求截面面積，了解為求出截面面積的最大值而對截面投影形狀先進行分類再進行歸類的方法.

（2）能通過實驗探究，對結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)疑. 例如，為什么會有五邊形、六邊形？是否會有直角或鈍角三角形？是否會出現(xiàn)梯形？并且能夠借助已有知識對問題進行論證或反駁;面對逐漸深入的探究，能夠大膽合理猜想，主動駁斥論證，探討解決方案，直至提出新的問題.

（3）能對復雜問題提出合理恰當?shù)姆诸?，再回到問題本身，對散亂多樣的分類加以歸類整理;能夠主動提出新的問題，并對不同問題提出恰當?shù)姆诸悩藴?

三、教學問題診斷分析

本單元教學的難點之一是學生沒有經(jīng)歷過完整的數(shù)學探究活動.“找出一個平面截正方體所有可能的截面”本身是一個結(jié)構(gòu)不良的問題. 尋找截面的目標是什么？借助何種工具找？是按邊的數(shù)量界定，按圖形形狀界定，按內(nèi)角大小界定，還是按平面位置界定？結(jié)果又應當如何表述？為此，將采取教師指導與學生自主探究相結(jié)合的方式：首先，以課前任務的形式啟發(fā)學生主動質(zhì)疑，對實驗結(jié)果收集、整理、分類，從中充分認識截面形狀形成的條件，也可以借助特殊位置的平面截正方體的探究路徑，或探查特殊截面圖形的存在性，引導學生借助已有的空間立體幾何知識解釋截面形狀的成因和分析錯誤等. 同時還需要推理、給出論據(jù). 分析哪一種分類方案更適合當下的情境，解決面臨的問題，并提出新的問題.

本單元教學的難點之二是在求面積時由于截面所在平面位置的多樣性，導致截面形狀的多樣性，如何從變化的截面面積中尋找不變的規(guī)律？為此，可以設置2018年高考全國Ⅰ卷理科第12題為支架問題，發(fā)現(xiàn)只要截面之間相互平行，就能借助二面角大小的不變性將截面面積轉(zhuǎn)化為截面的投影面積進行計算. 再推廣到一般的四邊形、五邊形、六邊形截面中，選取同一個變量，同時建立二面角與最大投影面積的函數(shù)，由于函數(shù)比較復雜，可借助信息技術(shù)尋找函數(shù)最值. 在這一環(huán)節(jié)中，按指定平面尋找截面投影，并按照投影形狀進行分類，然后再根據(jù)“尋找最大投影面積”的目標驅(qū)動問題進行歸類，剔除繁冗情況. 這種歸類決策學生較難提出，教師可適當引導，讓學生借助信息技術(shù)體會合理分類、篩選數(shù)據(jù)、做出決策的必要性.

四、教學支持條件分析

本探究需要多種媒體的綜合應用. 在探索初始階段，可以用實物或者模具進行. 例如，可以利用切蘿卜塊觀察形狀，或者在透明的正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同擺放位置，等等. 在深入探究階段，則需要借助信息技術(shù)手段進行探究. 例如，利用圖形計算器探索特殊圖形的位置、投影及面積最大值時的位置.

此外，教師還可以利用其他技術(shù). 例如，使用GeoGebra軟件進行演示，幫助學生直觀驗證截面形狀，做出復雜函數(shù)圖象尋找函數(shù)最值.

在教師的帶領(lǐng)下，用項目學習的方式進行教學.

五、研究規(guī)劃

教師以“用一個平面截正方體，截面的形狀是什么樣的？對于截面能想到研究哪些問題？”為驅(qū)動問題，開啟學生的數(shù)學探究活動. 學生假定自己是一個從事數(shù)學研究的科研人員，從學術(shù)真實的數(shù)學情境入手，通過實驗或借助信息技術(shù)提出問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學猜想，分小組合作探究、論證反駁，形成具有一定推廣價值的數(shù)學結(jié)論，最終形成項目作品——自己命名的“定理”. 根據(jù)每個階段形成的階段性項目產(chǎn)品，開展現(xiàn)場質(zhì)性評價. 最終在結(jié)題活動中展示項目產(chǎn)品，學生自我評價，教師結(jié)合探究過程分別為項目作品撰寫結(jié)題詞.

六、教學過程設計

1. 課前啟動項目

引導語：“把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”是研究空間問題的一種重要方法. 用一個平面去截空間幾何體，形成截面圖形，也是將空間問題“平面化”的一種重要方法.

任務1：規(guī)劃可能探究的問題.

用一個平面截正方體，截面的形狀是什么樣的？對于截面你能想到研究哪些問題？

師生活動：教師提出問題，學生自主完成.

預設答案：可以研究截面的形狀，特殊圖形，截面的面積、周長，等等.

【設計意圖】鼓勵學生打開思路、提出問題，為后續(xù)的探究做好鋪墊.

任務2：猜想截面的形狀并予以論證或反駁.

學生以學習小組為單位共同提出實驗策略，利用已有的工具和材料，找出一個平面截正方體可能出現(xiàn)的所有截面形狀. 具體要求如下.

（1）實驗結(jié)果易于觀察、直觀清晰. 匯總所有不同形狀的截面圖形，拍成照片并標注圖形名稱，打包發(fā)送到班級郵箱.

（2）給出猜想：用一個平面去截正方體，可能形成哪些截面圖形，其中又有哪些特殊形狀（如正三角形等）？并論證你得到的結(jié)論.

預設師生活動：學生獨立進行探究. 通過切蘿卜塊觀察;也可以在透明的正方體盒子中注入有顏色的水;在正方體上綁皮筋;還可以借助信息技術(shù)直觀、快捷地展示各種可能的截面. 為課題的開展形成前期的獨立思考與認知.

【設計意圖】闡述課題研究的必要性，激發(fā)學生的研究興趣，學生提前形成自我認知，培養(yǎng)動手能力. 通過觀察和匯總實驗結(jié)果，對截面形狀提出猜想，驗證猜想的成立，為后期合作探究逐漸深入研究做準備，提升學生的直觀想象素養(yǎng).

2. 第1課時——探究正方體截面的形狀與面積開題報告活動

環(huán)節(jié)1：分組展示交流部分研究成果，積累探究經(jīng)驗.

師生活動：以一個問題為目標，為探究目標做出示范，教師做出評價.

學生可能面對的困難.

（1）注重直觀想象，欠缺嚴密的理論推理.

（2）展示的研究成果缺乏系統(tǒng)性，準確性.

教師引導：可以以正方體的三角形截面為范例，引導學生類比研究其他截面圖形.

環(huán)節(jié)2：分組展示交流，確定研究內(nèi)容，形成研究方案.（制定項目作品目標.）

師生活動：學生課前進行探究，課上提出有價值的研究問題、確定研究方向，制定研究計劃并在班級展示.

學生可能面對的困難.

（1）學生沒有探究經(jīng)驗，很難提出有價值、有深度的問題，可能還會把探究問題停留在解題上.

（2）提出的問題過于寬泛、不夠有條理，不易總結(jié)出一般規(guī)律.

教師引導：明確探究任務的實質(zhì)，可示范性地給出一些問題范例;通過協(xié)調(diào)小組之間的合理任務分工，明確研究方向.

【設計意圖】初步了解數(shù)學探究活動的本質(zhì)，掌握必要的研究方法，學會發(fā)現(xiàn)問題、理解問題、解決問題的一般探究思路，激發(fā)學生的研究興趣，培養(yǎng)學生的合作意識，為后期合作探究做準備.

第1課時課下，學生自主開展探究活動，教師隨機參與、交流指導.

3. 第2課時——探究正方體截面的形狀與面積中期成果匯報活動

環(huán)節(jié)1：分組展示交流部分研究成果（階段性項目產(chǎn)品展示），積累探究經(jīng)驗.

師生活動：學生展示，師生制定評價標準.

學生可能面對的困難.

（1）展示的研究成果缺乏系統(tǒng)性、準確性.

（2）可能出現(xiàn)錯誤結(jié)論.

（3）小組間合作不夠充分，對其他小組的研究成果了解不夠充分.

教師引導：引導學生合理分類表述研究成果，形成合理分類意識，對研究成果做出評價，提出下一步的研究建議.

環(huán)節(jié)2：全面匯總前期研究成果，合理分類表述或提出新的問題.

師生活動：小組間相互評價，教師評價提出的新問題，對于較難解決的問題教師可給出合理的問題支架.

學生可能面對的困難：研究成果不夠全面，表述不夠有條理.

教師引導：及時評價，對于復雜問題可提供相應的問題支架.

教師講解：數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究，并最終解決問題的過程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索和合作研究論證數(shù)學結(jié)論. 數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容.

【設計意圖】理解數(shù)學課題研究的本質(zhì)，培養(yǎng)學生的合作意識. 通過體會合理分類與歸類的過程，提升學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

第2課時課下，學生進一步深化探究，梳理成果.

4. 第3課時——探究正方體截面的形狀與面積結(jié)題交流活動

環(huán)節(jié)1：分組成果匯報.

師生活動：小組項目負責人匯報成果，其他成員可以補充并做好記錄、認真反思、取長補短，教師記錄對該組的質(zhì)疑，匯報后提問，指出各組優(yōu)、缺點.

環(huán)節(jié)2：項目總結(jié).

師生活動：學生談談對數(shù)學探究活動的體會，以及在活動中的收獲. 師生共同評出優(yōu)勝小組. 教師做出結(jié)題評價.

七、預設項目產(chǎn)品

1. 截面形狀分類

用一個平面截一個正方體，平面最少會與正方體的三個面相交，最多會與正方體的六個面相交，截面按照邊的數(shù)量可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

【設計意圖】通過直觀想象了解截面形狀，初步培養(yǎng)學生的分類表述能力.

項目作品1：特殊截面多邊形存在性論證.

2. 三角形截面的探究

問題1：在三角形的截面中，具體有哪些類型？如何判斷？

預設答案：若用一個平面截正方體，截面只與正方體兩兩相交的三個表面相交，此時截面與正方體表面恰好有三條交線，此為截面多邊形中邊數(shù)最少的圖形. 按照截面與正方體棱的交點位置的不同，可劃分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形.

分別用x，y，z表示截面三角形的三條邊長，再借助余弦定理判定截面不可能出現(xiàn)直角或鈍角三角形，進一步研究截面三角形的形狀.

也可以用反證法證明不會有直角三角形.

與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故假設不成立.

【設計意圖】明確問題的定位，即要借助空間立體幾何中的知識對產(chǎn)生的問題進行合理的論證或駁斥. 進一步深化分類，從截面所在平面位置是否可以截出三角形入手，形成認識截面圖形的一般套路.

3. 四邊形截面的探究

問題2：用一個平面截正方體得到的四邊形截面有哪些類型？如何判斷？

預設答案：由于截面與正方體四個不同的表面（截面過正方體棱時按與一個表面相交計算）相交，才能形成四邊形，而任選正方體四個不同表面，至少會有一對平行平面. 例如，圖2、圖3、圖4都是平面與正方體的兩對平行表面相交，交線對應平行，此時界面必為平行四邊形;圖5是平面與正方體的一對平行表面相交，因此截面四邊形至少有一組對邊平行，即截面四邊形只可能是梯形或矩形（不會出現(xiàn)一般的平行四邊形，可證明）. 類比證明無直角三角形截面的方法，可用反證法證明不存在直角梯形. 在證明的過程中發(fā)現(xiàn)：當截面所在平面與一條側(cè)棱所在直線平行時，截面圖形為矩形，特殊位置時可以是正方形;當截面所在平面過側(cè)棱所在直線時為矩形（如圖3），這一位置也可以看作是截面與兩對平行表面相交產(chǎn)生的截面四邊形.

4. 五邊形截面的探究

五邊形截面是平面與正方體的五個表面產(chǎn)生交線，一個平面是否能夠同時與正方體的五個表面相交？三個不共線的點確定一個平面，可在三條互相平行的棱上各確定一點（確定的平面不與正方體表面平行），利用立體幾何中的基本事實3尋找截面與正方體表面的交線，這樣的截面圖形中可能出現(xiàn)平行四邊形，也可能出現(xiàn)五邊形（不會出現(xiàn)六邊形）. 當截面所在平面與正方體五個面相交時截出的就是五邊形. 而正方體的這五個表面至少會有兩兩平行的兩對平面，由面面平行的性質(zhì)定理可知：截面五邊形必有兩組對邊分別平行.

由于在平面內(nèi)，兩直線平行同旁內(nèi)角互補（如圖6），故[∠1+∠2][=180°].

顯然與正五邊形各內(nèi)角相等，分別為[108°]相矛盾，故不存在正五邊形截面.

5. 六邊形截面的探究

平面所在截面與正方體的每個表面都相交時，截面圖形是六邊形. 由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知，這個六邊形截面必定是由三組兩兩平行的六條邊圍成的幾何體，于是這個六邊形的各內(nèi)角必為[120°].

從作圖的過程中發(fā)現(xiàn)，六邊形截面與棱的交點不會出現(xiàn)在正方體同一個表面的兩條相互平行的棱上，即：對棱有交點，對面平行線. 這一特點是由正方體的對稱性決定的.

【設計意圖】充分探究正方體截面的形狀，讓學生了解探究，經(jīng)歷提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、證明猜想或反駁猜想的過程，積累探究的經(jīng)驗.

項目作品2：特殊位置的平面截正方體，可能出現(xiàn)的截面形狀規(guī)律.

6. 其他

問題3：在什么條件下會產(chǎn)生三角形、四邊形、五邊形、六邊形截面，或者特殊的多邊形截面？你能找到規(guī)律嗎？用一些特殊位置的平面截正方體試一試.

預設答案：我們發(fā)現(xiàn)截面圖形不但能從邊的數(shù)量上進行分類，而且能夠按截面所在平面的某些特殊位置進行分類. 例如，平面與正方體的一條面對角線垂直截正方體，只可能截面出六邊形或等邊三角形. 通過對抽象的數(shù)學問題進行分類，隨著分類的不斷深化，更容易幫助我們揭示問題的本質(zhì).

具體歸類匯總?cè)缦?

① 與正方體的一條棱平行（或一個面垂直）的平面截正方體，截面一定是矩形. 其中，用與正方體一對平行的面平行的平面截正方體，截面是正方形. 除此之外，圖7的這種特殊位置也可以截出正方形.

② 用與正方體的一條面對角線平行的截面截正方體，可能截出三角形且這些三角形都是等腰三角形，可能截出的四邊形有等腰梯形、矩形、正方形、菱形，還可能截出五邊形、六邊形.

只要一個平面截正方體，使截面與正方體彼此平行的四條棱同時相交，此時截面圖形一定是平行四邊形;如果這個平行四邊形再有一條對角線與正方體的一條面對角線平行，那么這個平行四邊形就是菱形.

③ 用與正方體的一條面對角線垂直的平面截正方體，截面都是矩形.

④ 用與正方體的一條體對角線平行的平面截正方體，可能截出三角形. 如果截面為四邊形，形狀可能是梯形、矩形. 可能截出五邊形，不可能截出六邊形.

⑤ 用與正方體的一條體對角線垂直的平面截正方體，截面為正三角形、六邊形（含正六邊形）.

⑥ 用過正方體的體對角線的平面截正方體，截面形狀可能是平行四邊形、菱形、矩形.

教師可以借助多媒體展示部分截面的形成.

再如，可以按不同形狀的截面會與正方體哪些位置的棱產(chǎn)生交點進行分類，這樣在給定正方體不同棱上的任意三點后，很快就能判斷出截面的大致形狀.

【設計意圖】展示不同的分類思路，拓展學生思考問題的角度，使他們體會問題驅(qū)動下的分類.

問題4：經(jīng)過前面的分析，可以繼續(xù)探究截面圖形是否還有其他形式的分類？

項目作品3：用一個平面截正方體，截面面積最大問題.

探究任務：我們已經(jīng)了解了正方體截面的形狀，那么，不同形狀的截面面積如何計算？什么情況下取得最大值？試結(jié)合你課前的探究進行進一步研究.

問題5：關(guān)于截面面積何時最大，你能想到哪些具體的問題？

預設答案.

① 任意三角形截面面積最大問題.

② 等腰梯形截面面積最大問題.

③ 平行于棱的平面截出的矩形面積最大問題.

【設計意圖】激發(fā)學生的探究興趣，分解復雜問題.

問題6：正方體具有非常完美的對稱性，先來體會一個特殊位置截面面積的最值問題. 通過求解下面的具體問題，你能提煉出求解截面面積的一般方法嗎？

已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值如何尋找？

師生活動：學生完成猜想并加以論證，總結(jié)出轉(zhuǎn)化截面面積的一般套路.

【設計意圖】在四邊形、五邊形、六邊形截面中，將面積轉(zhuǎn)化為投影面較為復雜，通過這個問題的求解為學生的進一步探究搭建支架.

問題7：正方體的所有截面中哪個截面面積最大？最大面積是多少？提出你的猜想，并論證.

追問1：正六邊形截面的面積是否為正方體所有截面中面積最大的截面？

預設答案：不妨設正方體棱長為1，如圖8，[S1=6×][12×222×sin 60°=334;S2=1×2=2，] 顯然[S1<S2]. 通過運算發(fā)現(xiàn)，正六邊形截面的面積并不是正方體所有截面中最大的.

追問2：為了尋找截面面積的最大值，你覺得可以將截面問題進行怎樣的轉(zhuǎn)化？

預設答案：截面圖形面積最大的探究.

① 三角形截面圖形中面積最大者為三個兩兩相交表面的對角線圍成的等邊三角形（之前已說明），最大面積為[Smax=32<2，] 一定無法形成最大面積，此處不再進行研究.

② 除三角形截面外，截面面積最大計算方法的探究：當正方體的截面不是三角形時，必然與正方體的一組對面分別有交線[l1，l2]，將這組相對的面作為上、下底面，設截面在下底面上的投影面積為[T]，截面與上、下底面的二面角的大小記為[θ，] 則根據(jù)面積射影定理，得截面面積[S=Tcos θ].

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知交線[l2]在底面上的投影[l2′]與交線[l1]平行. 設這兩條平行線之間的距離為a，則容易求得[cosθ=aa2+1.] 所以[S=T1+1a2，0<][a≤2]. 當[a>1]時，由于[T≤1]（正方形的一個表面面積為1），因此[S≤2.] 則截面面積的最大值為[2.]

當[0<a≤1]時，我們研究當a固定時的投影面面積的最大值T（a）max，再求出當a變化時的截面面積S的最大值S（a）max即可. 記底面為正方形ABCD，下面按投影中平行線與正方形的四邊的相交情況分類討論（設相交得到的線段分別為MN和PQ）：

第一種情況，如圖9，平行線均與正方形的某一組鄰邊相交.

第二種情況，如圖10，平行線中一條與正方形的一組鄰邊相交，另一條與一組對邊相交.

第三種情況，如圖11，平行線分別與正方形的兩組鄰邊相交.

第四種情況，如圖12，平行線均與正方形的某一組對邊相交.

投影面積的最大值不可能在第一種和第二種情況下取得. 因為當我們將平行線向右上方作平行移動時面積總會變大，最終將轉(zhuǎn)化為第三種和第四種情況.

在第三種情況中，可知當MN的方向固定，且MN的長度與PQ的長度相等時，投影面積達到最大. 于是問題轉(zhuǎn)化為以正方形中心為圓心，[a2]為半徑作圓，直線MN與圓相切且分別交AB，AD于M，N，求△AMN的面積何時最小.

【設計意圖】培養(yǎng)學生合理的分類和歸類意識.

八、課后作業(yè)

完成課題研究報告.

項目作品4：與體對角線垂直的平面截正方體，截面周長的變化規(guī)律.（備用）

預設的答案：略.

九、項目反思

通過項目學習的方式開展數(shù)學探究活動，學生從最初的被動“配合”到后來的主動“融入”，最后全面投入到探究活動中來，并真正理解了何為數(shù)學. 例如，學生總結(jié)中談到：通過這次活動，發(fā)現(xiàn)要想“秒殺”數(shù)學題不是要鉆進題海里“刷題”，而是要站在更高的維度去認識數(shù)學.

技術(shù)與數(shù)學探究活動的融合，不但能夠減少繁冗的運算、機械的想象等低級、枯燥的工作;通過增加算法設計、模型構(gòu)建等高級思維，還能夠幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想，縮小學生個體間的差異.

例如，圖16為學生用GeoGebra軟件探究，在正方體相應棱上分別取非中點截取等長線段，使其圍成封閉圖形，發(fā)現(xiàn)得到不是平面圖形，反過來也就獲得了猜想用平面截取正方體得到六邊形截面，一定是取相應棱中點截得的;圖17為學生借助手持圖形計算器獲得大量截面圖形在正方體表面的投影形狀.

學習方式的轉(zhuǎn)變激發(fā)了學生的學習興趣，使學生通過發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、反駁猜想或論證猜想、分析數(shù)據(jù)、建模解模最終提出了自己命名的“定理”. 學科教學目標伴隨著這一過程自然達成. 這些不一樣的“定理”雖然并不完美，但已在學生心中播下了“興趣”的種子，能夠不斷激勵學生主動學習新知識、探索新問題，甚至能夠探索出超越高中知識范圍的項目作品.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]薛紅霞，馬勝利. 在高中數(shù)學教學中開展項目學習的嘗試：以“測量……”為例[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2019（10）：9-13，18.