周遠方 張園園 范俊明

摘? 要：正方體截面的探究是一個典型的數學探究活動. 本課例以課題研究和項目學習相結合的方式對正方體的截面特征、作法和性質進行了探究. 學生課前研究深入，計劃制定詳細，探究內容豐富，探究方法多樣，探究成果豐厚，呈現(xiàn)了一個完整的數學探究活動的基本流程、操作要領和研究過程，展示了基于項目學習進行數學探究活動的一個值得借鑒的案例，凸顯了數學探究活動的育人價值.

關鍵詞：正方體截面;數學探究活動;課題研究;項目學習;育人價值

一、課題背景

數學探究是從數學視角對事物進行觀察、思考，發(fā)現(xiàn)結論與規(guī)律的創(chuàng)新認知過程，包括結論開放問題、操作實驗問題、方案設計問題、結構不良問題、合情推理問題等. 數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究，并最終解決問題的過程，也是高中階段數學課程的重要內容. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論.

本課題源于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》附錄的37個案例中的第11個案例，即“正方體截面的探究”. 該案例以“目的、情境、分析”的形式給出數學探究活動的基本要求、具體作法和學習建議. 中國教育學會中學數學教學專業(yè)委員會“第十屆高中青年數學教師課例展示與培訓活動”將其列為8個指定課題之一，并從如何創(chuàng)設探究情境、如何開展探究活動、如何經歷探究過程、如何提煉探究方法、如何提升數學學科核心素養(yǎng)等方面給出了明確的內容要求和教學提示，詳見下表.

二、主要亮點

本課例著力于增強學生探究正方體截面的好奇心、想象力和求知欲，培育學生的探究意識、創(chuàng)新精神和實踐能力，圍繞正方體截面探究的課題要求，在“項目學習之法、探究計劃之詳、探究方法之巧、探究活動之效、探究成果之豐”等方面達到了一個新的高度，令人欣喜. 整個探究活動立足于課題學習“選題、開題、做題、結題”的四個環(huán)節(jié)，采用項目學習的方式分段推進，注重激發(fā)學生的探究興趣、關注學生的個體差異，促使每位學生深度參與探究并都有所收獲，凸顯了數學探究活動的育人價值.

1. 探究過程完整，體現(xiàn)數學探究活動的主題要求

本課題呈現(xiàn)了一個完整的數學探究活動. 教師按照指定課題的內容要求和教學提示，以“項目式學習，讓學生享受完整的數學探究過程”為設計理念，采用“直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算”的探究策略，開展了項目學習與實踐研究. 探究過程遵循課題學習的基本環(huán)節(jié)和項目學習的具體做法，從研究課題的提出，到研究手段與方法的選取，再到具體研究內容的實施，最后到研究成果的匯報（包括中期匯報與結題匯報），整個探究活動過程設計合理、安排得當、實施有序、成果豐厚，展現(xiàn)了正方體截面探究的全過程. 特別是將學生的探究活動設計為“獨立思考—獨立提出問題—按問題分組—小組提出問題—合作探究—問題的再提出—合作交流—形成成果”的系列化項目學習過程，放手讓學生獨立發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，共同合作分析問題和解決問題. 甚至出現(xiàn)錯誤時也讓學生相互討論解決，充分尊重學生，學生全程參與度高，在不同小組內產生的研究對象之間也生成了合適的交叉研究對象，并在中期匯報時對問題進行再篩選，重在落實正方體截面的探究要求，為數學探究活動的教學提供了一條行之有效的實施路徑.

2. 技術融合恰當，呈現(xiàn)數學探究方式的多種途徑

利用信息技術觀察正方體截面的形狀，極大地激發(fā)了學生對探究活動的興趣. 從學生采用的探究方法來看，在遵循研究一個數學對象的一般路徑（事實—發(fā)現(xiàn)—猜想—論證）的基礎上，選用了多種探究的手段和方法，特別是融合手持圖形計算器和GeoGebra幾何動態(tài)軟件等信息技術對正方體截面圖形的完美呈現(xiàn)，有效引導了學生的探究活動. 例如，學生借助GeoGebra幾何動態(tài)軟件，作出正方體六個表面上的等長線段，觀察到各邊不共面，從而獲得猜想：只有連接正方體各棱的中點才會出現(xiàn)六邊形截面，進而利用基本事實進行推理論證. 因此，信息技術的恰當使用和多種探究方式的有效融合，讓學生經歷了“觀察發(fā)現(xiàn)、操作體驗、推理論證、綜合實踐”等不同階段的數學探究活動，呈現(xiàn)了轉變數學探究育人方式、提高數學探究活動質量的策略、途徑和方法.

3. 問題探究深入，展現(xiàn)數學探究成果的豐富多彩

以研究型、項目化和合作式的學習方式對正方體的截面問題展開探究，充分激活了學生的思維. 從中期匯報與課題結題匯報內容來看，學生的研究不僅內容廣泛，而且還頗有深度，得到了很多有用的結論，甚至出現(xiàn)了一些出乎意料、富有推廣價值的探究結論，非常精妙，充分展現(xiàn)了學生較強的研究能力與創(chuàng)新意識. 依托對正方體截面的深度探究，通過“四基”“四能”到“三會”，展現(xiàn)一條培養(yǎng)學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學運算等素養(yǎng)的主線，有利于學生在直觀中抽象、在探究中發(fā)現(xiàn)、在歸納中提煉、在推理中表述.

4. 主體地位突出，凸顯數學探究活動的育人價值

以課題研究形式和項目學習方式展開探究，有效激發(fā)了學生的探究欲，學生全程參與其中. 特別是讓學生自己提出問題并確定研究課題，自主設計研究思路，自行選擇研究手段與方法，并展示交流研究成果，充分發(fā)揮了學生學習的主觀能動性，突出了學生的主體地位，改變了“滿堂講、滿堂問、滿堂練”的傳統(tǒng)教學模式，使學生真正成為探究學習的主人.

利用項目化學習方式實施探究，既尊重了學生提出問題的多樣化、個性化和開放性，又放手讓學生進行深度探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造. 將探究問題分組聚焦在學生的興趣點上，如正方體截面投影圖形的變化規(guī)律，正方體截面與不同表面所成二面角的大小變化規(guī)律，正方體截面面積大小的變化規(guī)律等，并根據中期匯報情況進行逐步調整、相互借鑒、取長補短、共同提高. 學生參與探究的熱情高，探究活動的實效性強，探究成果具有科學性、嚴謹性和系統(tǒng)性，既讓學生親身體驗到探究的成就感，又讓數學探究活動的育人價值盡顯無遺.

三、改進建議

當然，該課例也有一些不盡如人意之處. 作為一個探究活動的展示課，課堂實錄中過多地注重了學生展示，學生間、師生間缺乏必要的交流與思維碰撞，其層次性、邏輯性、連貫性和完整性都還有改進空間. 尤其是教師的引領功能體現(xiàn)得不夠，畫龍點睛式的點評應該能讓學生更好地得到點撥和反饋. 例如，在學生爭論“平行四邊形是不是梯形”這類常識性問題時應及時給予指導. 基于此，結合指定課題暴露出來的共性問題，提出如下改進建議.

（1）進一步正確處理好“教師講授”與“學生探究”的關系. 由于學生經歷數學探究活動的過程較少，積累的數學探究活動經驗不多. 因此，如何在有限的時間內，按照探究課題的內容和特點，展示好一個完整的數學探究活動;如何正確處理探究活動中“收”與“放”之間的關系，需要進一步探索有針對性的措施.

（2）進一步處理好“少數學生探究”與“多數學生發(fā)展”的關系. 數學探究活動課程無論在探究形式上還是探究方法上都向學生提出了新的挑戰(zhàn). 在展示課例中，課堂的話語權常常集中在班級少數數學優(yōu)等生身上. 因此，只有科學地設置探究問題，才能做到讓更多學生參與到數學探究活動中來，落實“四基”、提高“四能”、發(fā)展素養(yǎng)，真正實現(xiàn)讓學困生有獲得感，讓中等生有提升感，讓優(yōu)等生有成就感.

參考文獻：

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