摘 要：目前，多地高中自主招生考試陸續(xù)登場(chǎng)，但對(duì)于自主招生試題的研究卻鳳毛麟角，縱觀多數(shù)招考試卷的試題，大多都是來自全國各地較難的中考試題或者一些來源可靠的競(jìng)賽試題，所以我們建議教師對(duì)擬入選講評(píng)自招考題，要針對(duì)解法進(jìn)行深入思考，包括一題多解、該題深層結(jié)構(gòu)的揭示以及考題出處的檢索與溯源等等，然后基于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)不同層次的學(xué)生的解題理解進(jìn)行研判，以便預(yù)設(shè)恰當(dāng)?shù)闹v評(píng)時(shí)長(zhǎng)，從而獲得較好的教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：自主招考數(shù)學(xué)競(jìng)賽推理教學(xué)經(jīng)驗(yàn);思考

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0075-02

最近幾年，各地?zé)狳c(diǎn)頗高的高中自主招生考試陸續(xù)登場(chǎng)，這也使得初三年級(jí)在師生備考時(shí)又多了所謂“提優(yōu)拓展任務(wù)”，但關(guān)注高中自主招考的教學(xué)研究卻較少，只是偶爾見到（如文[1]、[2]）.多數(shù)招考試卷的試題大多都是來自全國各地較難的中考試題或者一些來源可靠的競(jìng)賽試題.下面筆者將從一道高中自招考題出發(fā)，查找原型并開展“一題一課”微教學(xué)設(shè)計(jì)，提供“高中自主招生輔導(dǎo)”的課例研究.

一、自招考題及原型出處

某高中自招考題：設(shè)x1=1+14，x2=14+19，x3=19+116，…，xn=1n2+1（n+1）2.記Sn=x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1.則S20192019的值為.（答案：20212020）

原型出處1：（2015年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽聯(lián)賽·初二試卷，第5題）

設(shè)A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120142+120152，則不超過A的最大整數(shù)為（）.

A.2017B.2016C.2015D.2014

簡(jiǎn)答：將A化簡(jiǎn)為2015-12015，故不超過A的最大整數(shù)為2014，選D.

原型出處2：（2016年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽聯(lián)賽·初二試卷，第4題）

記Sn=1+112+122+1+122+132+…+1+1n2+1（n+1）2， 則S20162016=（）.

A. 20162017 B.20172016 C.20172018 D.20182017

簡(jiǎn)答：將Sn化簡(jiǎn)為n+1n-1n+1或1+1n-1n+1，再把n=2016代入即可得20182017，選D.

簡(jiǎn)析 可以發(fā)現(xiàn)“自招考題”的原型是前幾年的全國競(jìng)賽卷中的兩道選擇題，這兩道競(jìng)賽選擇題也是互相關(guān)聯(lián)，后一年由前一年的簡(jiǎn)單變式而來.以下我們就圍繞這道考題給出解題教學(xué)的微設(shè)計(jì).

二、圍繞“自招考題”的解題教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：基礎(chǔ)熱身

題組1：計(jì)算下列各題并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，

（1）計(jì)算：1+14=，14+19=，19+116=;

（2）計(jì)算：1-12=，12-13=，13-14=;

（3）計(jì)算：1×12=，12×13=，13×14=;

（4）計(jì)算：1n-1n+1=.

教學(xué)組織：這組練習(xí)比較簡(jiǎn)單，同學(xué)們多能直接口答，這個(gè)題組主要是為后續(xù)研究設(shè)置鋪墊，強(qiáng)調(diào)的是從基礎(chǔ)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生熱身訓(xùn)練.

2.教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：引入開方運(yùn)算

題組2：計(jì)算下列各題并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，

（1）計(jì)算：1+112+122=，1+122+132=;

（2）計(jì)算：1+192+1102=，1+120202+120212=;

（3）計(jì)算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+1102+1112=;

（4）猜想：1+1n2+1（n+1）2=.（用含n的式子表示）

教學(xué)組織：這個(gè)題組在剛剛口算的基礎(chǔ)上，增加了解題層次，學(xué)生需要?jiǎng)庸P運(yùn)算，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但都是以填空的形式呈現(xiàn)，所以還沒有要求學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)推理說明，但成為下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的鋪墊式問題.教學(xué)時(shí)，可以根據(jù)學(xué)生的解答，展開追問做出答案的學(xué)生是如何思考的.

3.教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：“走向一般”進(jìn)行證明

題組3：證明以下命題.

（1）若n為正整數(shù)，求證：1n（n+1）=1n-1n+1;

（2）若n為正整數(shù)，求證：1+1n2+1（n+1）2=（n+1n-1n+1）2.

教學(xué)組織：第（1）問比較簡(jiǎn)單，學(xué)生可直接通分計(jì)算等式右邊，即可獲得證明;

第（2）問解法預(yù)設(shè)如下，可以對(duì)右邊展開計(jì)算，整理左邊的形式;也可以從左邊變形出發(fā)，比如，

1+1n2+1（n+1）2=（1+1n）2-2n+1（n+1）2=（n+1n）2-2n+1（n+1）2=（n+1n-1n+1）2.

這樣也就解釋了上面“題組2”的猜想

1+1n2+1（n+1）2=n+1n-1n+1=1+1n-1n+1是正確的.

4.教學(xué)環(huán)節(jié)（四）：出示競(jìng)賽題及變式題組

題組4：先后出示上文提到的2015年競(jìng)賽題、2016年競(jìng)賽題、“某校自招考題”.

教學(xué)組織：先安排學(xué)生獨(dú)立思考，再小組內(nèi)討論，最后安排小組代表進(jìn)行全班講解，特別是對(duì)關(guān)鍵步驟可安排學(xué)生進(jìn)行復(fù)述，這樣可取得更好的教學(xué)效果，讓更多的學(xué)生掌握這類問題的求解.

三、關(guān)于“高中自主招考”解題教學(xué)的進(jìn)一步思考

1.教師要深刻理解考題關(guān)鍵步驟及深層結(jié)構(gòu)

我們建議教師對(duì)擬入選講評(píng)自招考題的備課準(zhǔn)備階段，要針對(duì)解法進(jìn)行深入思考，包括一題多解的思考，包括該題深層結(jié)構(gòu)的揭示，包括對(duì)這道考題出處的檢索與溯源，在對(duì)比同類考題之后對(duì)問題將會(huì)有更深的認(rèn)識(shí)，比如這類問題求解的關(guān)鍵步驟是什么，這類考題深層結(jié)構(gòu)是什么，有哪些條件（或“包裝”）是可以刪減的，問題簡(jiǎn)化到最后是怎樣的問題？然后基于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)不同層次的學(xué)生的解題理解進(jìn)行研判，以便預(yù)設(shè)恰當(dāng)?shù)闹v評(píng)時(shí)長(zhǎng)，從而獲得較好的教學(xué)效果.

2.教師需要精心預(yù)設(shè)題組漸次呈現(xiàn)自招考題

在選定講評(píng)的自招考題之后，教師需要精心設(shè)計(jì)成不同題組，然后漸次呈現(xiàn)，有序推進(jìn)學(xué)程.這時(shí)對(duì)題組改編與歸類重組顯現(xiàn)了教師命題基本功，因?yàn)榻處熜枰谥皩?duì)自招考題的關(guān)鍵步驟的理解，將關(guān)鍵步驟簡(jiǎn)化為絕大多數(shù)學(xué)生都能求解的基礎(chǔ)問題最先呈現(xiàn)給學(xué)生思考，然后再漸次出現(xiàn)增加解題層次的變式題組，最后再讓學(xué)生拾級(jí)而上，自主挑戰(zhàn)較難的自主招考難題，這樣由易到難的題組設(shè)計(jì)是解題教學(xué)獲得較好效益的重要保證.

四、寫在后面

作為教師，應(yīng)有一些責(zé)任擔(dān)當(dāng)，比如教師自己要“先下題海”，在深入鉆研、篩選出一些優(yōu)秀考題之后，歸類呈現(xiàn)、改編題組，研發(fā)成一些主題聚焦的優(yōu)秀教案，然后帶領(lǐng)學(xué)生共同研習(xí)，在“一課一得”的追求下對(duì)相關(guān)主題的理解求深、悟透，促進(jìn)學(xué)生舉一反三、提升學(xué)力.

參考文獻(xiàn)：

[1]張煒鈺.“根的判別式”：無處不在又神通廣大——以一節(jié)高中自招考試專題復(fù)習(xí)課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（10）：33-34.

[2]朱玫瑰.明辨特殊與一般，感悟數(shù)學(xué)小用與大用——由兩道高中自主招考題說起 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2017：69-70.

[3]劉鈺.探究奇妙的“黃金三角形”——基于微課理念下的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（20）：8-9.

[責(zé)任編輯：李 璟]