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一道2020年高考數(shù)列題的十種證法探究

2021-09-10 18:09:42武增明
關(guān)鍵詞:高考試題

武增明

摘 要:本文給出一道2020年高考數(shù)列題的十種證法,與讀者共賞.

關(guān)鍵詞:高考試題;數(shù)列通項(xiàng);證法探究

中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)10-0063-02

試題 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn .

這是2020年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第17題.

這道考題的第(1)問是以數(shù)列遞推式為背景,求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題,此問題符號(hào)優(yōu)美,題面簡潔,構(gòu)思巧妙,立意新穎,讓人賞心悅目,耐人尋味,回味無窮,涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富,邏輯推理性很強(qiáng),具有很大的探究價(jià)值,具有很高的訓(xùn)練價(jià)值,具有很強(qiáng)的代表性,是一道訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好題,很值得深入探究.于是,引起筆者極大的探究興趣與熱情.下面給出此題第(1)問的十種證法,旨在供同仁在教學(xué)過程中作參考,旨在對(duì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這類問題時(shí)有所幫助和啟示.

證法1 (試驗(yàn)法) a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

若an=2n+1,則an+1=2(n+1)+1=2n+3,

又3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3,

此時(shí)an+1=3an-4n成立,所以an=2n+1.

證法2 (數(shù)學(xué)歸納法) a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

(1)當(dāng)n=1時(shí),由an=2n+1知,a1=3,符合題意,故當(dāng)n=1時(shí),an=2n+1成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),an=2n+1成立,即ak=2k+1成立.

則n=k+1時(shí),因?yàn)閍k+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1,

所以當(dāng)n=k+1時(shí),an=2n+1成立.

由(1),(2)可知,對(duì)于任意正整數(shù)n,an=2n+1成立.

證法3 (正向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

因?yàn)閍n+1=3an-4n,

所以a2-5=3(a1-3),

a3-7=3(a2-5),

a4-9=3(a3-7),

……

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)].

因?yàn)閍1-3=0,

所以an-(2n+1)=0,即an=2n+1.

證法4 (逆向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],

……

a2-5=3(a1-3).

因?yàn)閍1=3,即a1-3=0,

所以an-(2n+1)=0,即an=2n+1.

證法5 (逆向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

因?yàn)閍n+1=3an-4n,①

所以an=3an-1-4(n-1),②

①-②,得an+1-an=3an-3an-1-4,

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2),

所以an-an-1-2=3(an-1-an-2-2),

……

a4-a3-2=3(a3-a2-2),

a3-a2-2=3(a2-a1-2).

因?yàn)閍2-a1-2=0,所以an+1-an-2=0.

于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3,公差d=2的等差數(shù)列,故an=a1+(n-1)d,從而an=3+(n-1)·2,即an=2n+1.

證法6 (逆向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

因?yàn)閍n+1=3an-4n①

所以an=3an-1-4(n-1)②

①-②,得an+1-an=3an-3an-1-4,

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2),

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2)

=32(an-1-an-2-2)=33(an-2-an-3-2)=…=3n-1(a3-a2-2)=3n(a2-a1-2).

因?yàn)閍2-a1-2=0,所以an+1-an-2=0.

于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3,公差d=2的等差數(shù)列,故an=a1+(n-1)d,從而an=3+(n-1)

·2,即an=2n+1.

證法7 (逆向思維迭代遞推法) a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

令bn=an-(2n+1),

因?yàn)閍n+1=3an-4n,所以bn+1=3bn,

從而bn+1=3bn=32bn-1=33bn-2=…=3n-1b2=3nb1.

所以b1=0,故bn=0,即an-(2n+1)=0,于是an=2n+1.

證法8 (逆向思維待定系數(shù)法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

設(shè)an+1+k(n+1)+b=3an+(k-4)n+k+b,則

an+1+k(n+1)+b=3(an+k-43n+k+b3),

所以k=k-43,b=k+b3, 解得k=-2,b=-1.

從而an+1-2(n+1)-1=3(an-2n-1),

所以an-2[(n-1)+1]-1=3[an-1-2(n-1)-1]

……

a4-2(3+1)-1=3(a3-2×3-1),

a3-2(2+1)-1=3(a2-2×2-1),

a2-2(1+1)-1=3(a1-2×1-1),

因?yàn)閍1-2×1-1=0,所以an-2n-1=0,即an=2n+1.

證法9 (待定系數(shù)法) a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1,得

an+13n+1=an3n-4n3n+1,

令an+13n+1-λ(n+1)+μ3n+1=an3n-λn+μ3n,則

an+13n+1=an3n-2λn-λ+2μ3n+1,

故2λ=4,-λ+2μ=0, 所以λ=2,μ=1.

于是an+13n+1-2(n+1)+13n+1=an3n-2n+13n,

從而數(shù)列{an3n-2n+13n}是常數(shù)數(shù)列,

所以an3n-2n+13n=a13-33

=33-33=0.

故而an3n-2n+13n=0,即an=2n+1.

證法10 (迭加法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1,得

an+13n+1-an3n=-4n3n+1.

設(shè)數(shù)列{4n3n+1}的前n項(xiàng)和為Tn,則

Tn=4×132+4×233+4×334+…+4(n-1)3n+4n3n+1①

13Tn=4×133+4×234+…+4(n-1)3n+1+4n3n+2②

①-②,得

23Tn=432+433+434+…+43n+1-4n3n+2=432[1-(13)n]1-13-4n3n+2,

所以Tn=3n+1-2n-33n+1 .

又a232-a13=-4×132,

a333-a232=-4×233,

……

an3n-an-13n-1=-4(n-1)3n,

an+13n+1-an3n=-4n3n+1,

把上述n個(gè)等式相加,得

an+13n+1-a13=-Tn,

所以an+13n+1-1=-3n+1-2n-33n+1,

所以an+1=2n+3,

從而an=2n+1.

作為學(xué)生領(lǐng)路人的教師,一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘,只有潛心研究高考試題,從中探究出更多潛在價(jià)值,才能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中高屋建瓴、有的放矢,才能確保對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)方法得當(dāng)、條理清楚、思路流暢.潛心研究高考試題,在尋求解法的同時(shí),要領(lǐng)略考題的本質(zhì),挖掘其深刻的內(nèi)涵,才能充分發(fā)揮考題的功能和作用.

參考文獻(xiàn):

[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(必修)數(shù)學(xué)5(A版)[M].北京:人民教育出版社,2014.

[2]天利全國高考命題研究中心,北京天利考試信息網(wǎng).2020全國各省市高考試題匯編全解(數(shù)學(xué)·理科)[M].拉薩:西藏人民出版社,2020.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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