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例談高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類壓軸題巧妙解法

2021-09-10 18:09:42侯思路
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

侯思路

摘 要:函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考命題的必考內(nèi)容,而且題目形式新穎,設(shè)計巧妙,對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有較高要求,考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)解題思想方法的掌握.它也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn),只要抓住該類題型的本質(zhì),掌握其解題規(guī)律,無論其命題思路和形式再怎么變化,都可以有效破解.

關(guān)鍵詞:函數(shù)與導(dǎo)數(shù);高中數(shù)學(xué);高考題型

中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0024-02

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,在高考試卷中分值約占22~27分,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識在高考試卷中多以壓軸題的形式出現(xiàn),它也是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容,能否突破函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題是高考得高分的關(guān)鍵.下面結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐,例談破解高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的小妙招.

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是高考命題的常見形式,每年高考命題中都會有所涉及.常見的命題形式包括:

1.判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間;

2.求函數(shù)f(x)的最值;

3.已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值求參數(shù)的值.

典型例題 已經(jīng)函數(shù)f(x)=ax,g(x)=lnx.

(1)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有極值-1,求實數(shù)a的值;

(2)若函數(shù)G(x)=f[sin(1-x)+g(x)]在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

思路分析 (1)求函數(shù)F(x)的解析式,并求導(dǎo),對實數(shù)a進(jìn)行分類討論,判斷F′(x)的符號,利用函數(shù)F(x)有極植-1,求出關(guān)于參數(shù)a的方程,解方程,求出實數(shù)a的值;

(2)求函數(shù)G(x)的解析式,并求導(dǎo),由函數(shù)G(x)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為G’(x)≥0對x∈(0,1)恒成立,再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的取值范圍問題,從而求出實數(shù)a的取值范圍.

解析 (1)因為f(x)=ax,g(x)=lnx且F(x)=f(x)-g(x),所以F(x)=ax-lnx(x>0),

所以F′(x)=a-1x(x>0),當(dāng)a≤0時,F(xiàn)′(x)<0,函數(shù)F(x)在(0,+SymboleB@)上單調(diào)遞減,函數(shù)F′(x)無極值,不符合題意.

當(dāng)a>0時,由F′(x)<0x>0,得0<x<1a;

由F′(x)>0x>0,得x>1a,所以,函數(shù)F(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減,在(1a,+SymboleB@)上單調(diào)遞增,因為函數(shù)F(x)有極值-1,

所以F(1a)=1-ln1a=-1,故a=e-2.(2)因為f(x)=ax,g(x)=lnx,且G(x)=f[sin(1-x)]+g(x),

所以G(x)=asin(1-x)+lnx,

所以G′(x)=-acos(1-x)+1x.

由題意可得,G′(x)=-acos(1-x)+1x≥0對x∈(0,1)恒成立,

記h(x)=1xcos(1-x)(0<x<1),則h′(x)=-cos(1-x)+xsin(1-x)[xcos(1-x)]2<0,

所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以h(x)>h(1)=1,所以a≤1,所以實數(shù)a的取值范圍是(-SymboleB@,1].

破題策略 本題設(shè)計意在考查分類討論和方程思想,檢驗學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.破題關(guān)鍵:(1)方程思想,即對于含有參數(shù)的可導(dǎo)函數(shù)有極值的關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)行分類討論,并尋找其導(dǎo)數(shù)為零的根,以及在根的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號;

(2)轉(zhuǎn)化思想,即可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),則有f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在區(qū)間D內(nèi)恒成立,由此,將求函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題.

二、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)相交匯

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)相交匯的考題在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn),命題考查形式:

1.判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)問題;

2.已知函數(shù)在給定區(qū)間的零點(diǎn)(方程在給定區(qū)間的解)的情況,求參數(shù)的取值范圍或證明不等式成立.

典型例題 已知函數(shù)f(x)=ex-x-m(m∈R).

(1)判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù),并說明理由;(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)x1,x2,證明:x1+x2<0.

思路分析 (1) 求f ′(x),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,得最小值,并對函數(shù)f(x)的最小值進(jìn)行分類討論,

即可判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù);

(2)不妨設(shè)x1<x2,欲證x1+x2<0,只需證x1<-x2,判斷f(x1)-f(x2)的符號,并判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得證.

解析 (1)f ′(x)=ex-1,令f ′(x)<0,得x<0;

令f ′(x)>0,得x>0,所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-SymboleB@,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+SymboleB@),故當(dāng)x=0時,函數(shù)f(x)取得最小值f(0)=1-m.

當(dāng)1-m>0,即m<1時,函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn).當(dāng)1-m=0時,即m=1時,函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn).

當(dāng)1-m<0時,即m>1時,構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-2x(x≥1),則g′(x)=ex-2,

當(dāng)x∈[1,+SymboleB@)時,g′(x)>0,所以,函數(shù)g(x)在[1,+SymboleB@)

上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=e-2>0,因為m>1,所以g(m)=em-2m>0,又f(m)=em-2m(m>1),故f(m)>0.

又f(-m)=e-m>0,所以必存在唯一的x1∈(-m,0),唯一的x2∈(0,m),

使得x1,x2為函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn).故當(dāng)m>1時,f(x)有兩個零點(diǎn).

(2) 若x1,x2為f(x)的兩個零點(diǎn),設(shè)x1<x2,則由(1)知x1<0,x2>0.

因為f(x1)-f(-x2)=f(x2)-f(-x2)=(ex2-x2-m)-(e-x2+x2-m)

=ex2-e-x2-2x2.

令φ(x)=ex-e-x-2x(x≥0),則φ′(x)=ex+1ex-2≥2ex·1ex-2=0,所以,φ(x)在[0,+SymboleB@)上單調(diào)遞增,因此φ(x)≥φ(0)=0.

又x1<0<x2,所以φ(x2)>0,即ex2-e-x2-2x2>0,故f(x1)>f(-x2),又x1<0,-x2<0,且由(1)知f(x)在(-SymboleB@,0)上單調(diào)遞減,所以x1<-x2,所以x1+x2<0.

破題策略 本題重在檢驗考生的推理能力、運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維.破解此類題型的關(guān)鍵是:

(1)牢固掌握函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識,熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性、最值.

(2)轉(zhuǎn)化思想是解決函數(shù)類題目的重要途徑,將判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)求最值問題.

(3)通過構(gòu)造函數(shù),將比較大小問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題.

總之,關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的壓軸題類型很多,而且每年的命題角度都會有所不同,對學(xué)生的邏輯思維能力有較高的要求.但是,只要我們掌握了基本的數(shù)學(xué)解題思想,注重積累和反思,對“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類”壓軸題常見類型心中有數(shù),把握其實質(zhì),掌握其規(guī)律,規(guī)范其步驟,做到“胸中有法”,那么不論高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類”壓軸題的構(gòu)思多么新穎,我們都能做到以不變應(yīng)萬變,此類壓軸題就能迎刃而解.

參考文獻(xiàn):

[1]趙承東.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng) [J].基礎(chǔ)教育研究,2019(10):20-22.

[2]駢吉軍.中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的有效策略 [J].中學(xué)教學(xué)參考,2018(11):8-10.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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