摘? 要：由于初中數(shù)學課程安排和課時的限制，很多數(shù)學知識脈絡隨著年級的升高不斷展開，是一個螺旋式上升的過程. 這就為中考總復習在兼顧深度和廣度方面帶來了一定的困難. 以“中點的復習課”單元設計為例，闡述教師應該關注教學內(nèi)容的整體性，重視單元設計，兼顧內(nèi)容的系統(tǒng)性、容量的適度性、結(jié)構的穩(wěn)定性和學法的多樣性，不斷提高教學效率.

關鍵詞：一題多解;一題多變;單元設計

一、問題提出

在數(shù)學學習中，學生的學習方式被動、學習效率低下、缺乏學習熱情、課業(yè)負擔偏重等現(xiàn)象普遍存在. 而影響學生的學習方式、學習效率和學習熱情的，除了學生智力因素和學習習慣之外，主要是教師的課堂教學設計. 為了在有限的課時內(nèi)為學生創(chuàng)設必要的活動，提供必要的學習經(jīng)歷，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，教師應該如何分解、傳遞和落實課程目標？筆者認為，依據(jù)整體思想，立足單元視角，結(jié)合學生的具體學情，改變以“內(nèi)容”為單一視角設計教學的慣性，強化“對象意識”，對教材進行二次開發(fā)，對教學內(nèi)容進行“結(jié)構化”處理，這樣進行單元設計教學是較好的方式.

二、教學分析及流程

“中點”是初中幾何學習中出現(xiàn)最早、最特殊，也是學生最熟悉的點. 滬教版《九年義務教育課本·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級第二學期（試用本）“14.1 三角形的有關概念”中出現(xiàn)了三角形的中線的概念. 教材七年級第二學期“14.5 等腰三角形的性質(zhì)”一節(jié)主要研究等腰三角形的三線合一. 在教材八年級第一學期“19.4 線段的垂直平分線”一節(jié)出現(xiàn)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理. 在教材八年級第二學期“22.2 平行四邊形”一節(jié)出現(xiàn)了平行四邊形的性質(zhì)定理及平行四邊形對角線互相平分. 教材八年級第二學期“22.6 三角形、梯形的中位線”一節(jié)出現(xiàn)了三角形的中位線概念和三角形中位線定理.

由于學生接觸到這些數(shù)學概念和定理的時間跨度較大，容易遺忘，而在初中數(shù)學中又是幾何和代數(shù)內(nèi)容穿插式教學，因此，在中考復習中有必要將“中點的復習”作為一個單元進行獨立設計.

依照循序漸進原則，在“中點的復習”單元設計中，筆者兼顧各個不同層次的學生的實際情況，對中點的相關知識進行梳理（如圖1），歸納思想方法，使得學生的數(shù)學能力穩(wěn)步提升.

題目1? 如圖2，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，CA的中點.

（1）求證：四邊形AEDF是平行四邊形;

（2）如圖3，若AH是邊BC上的高，連接EH和FH，求證：∠EHF = ∠EDF.

變式1：如圖4，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A[3，5]，[B-1，0，] [C5，0]，若[S△ABP=S△ACP]，求直線AP的解析式.

變式2：如圖4，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為[A3，5]，[B-1，0，] [C5，0]，若[S△ABP=S△ACP=S△BCP]，求點P的坐標.

變式3：如圖5，已知△ABC的面積為1，AD，BE，CF分別是邊BC，CA，AB上的中線，AD = x，BE = y，CF = z，求以x，y，z為三邊長的三角形面積.

在第1小單元，對與中點相關的知識和定理進行回顧和梳理. 題目1第（1）小題主要引導學生從兩個中點的連線聯(lián)想到三角形的中位線定理，得到中位線和第三邊的數(shù)量關系和位置關系，進行進一步證明. 題目1第（2）小題的教學價值主要是引導學生在一題多解的過程中進一步體會簡單和復雜、量變和質(zhì)變的相互轉(zhuǎn)化. 進行一題多解的教學之后，引導學生進行多解歸一，引導學生復習平行四邊形對角相等、全等三角形對應角相等、等邊對等角等證明角相等的方法，從中提煉證明角之間等量關系的一般規(guī)律，從三角形邊和角等量關系的相互轉(zhuǎn)化中逐步感受從不同角度分析、研究同一個問題的多樣性.

變式1引發(fā)學生思考面積比和線段比之間的轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化過程中啟發(fā)學生添加輔助線，即延長AP，其與BC的交點一定是線段BC的中點. 課堂設計從已知中點深化到尋找中點，從簡單的證明說理發(fā)展為先說理后計算，學生的數(shù)學思維也從知識的回顧和梳理激活為熟練掌握定理，靈活運用相關知識解決問題.

變式2以同樣的三角形作為研究對象，引導學生通過面積相等的條件證明點P是已知三角形的重心. 接下來，已知三角形三個頂點的坐標，教師引導學生在構造基本圖形后進行幾何說理證明，求出重心P的坐標.

變式3通過引導學生添加平行線構造以三邊中線為邊的三角形，尋求新三角形與原三角形面積之間的關系，逐步培養(yǎng)學生的幾何直觀素養(yǎng).

在變式1和變式2增設平面直角坐標系的基礎上，在一題多解和一題多變的過程中體會“變化”與“不變”對立統(tǒng)一的理性精神的基礎上出示變式3，不僅能進一步加深學生對于中線、重心、面積比等問題的理解，而且可以促使學生復習倍長中線法這一常規(guī)的輔助線添加方法. 變式3旨在讓學生體會“截長”和“補短”、“補齊”和“切割”的區(qū)別與聯(lián)系.

2. 第2小單元教學設計和設計意圖分析

題目2? 如圖6，∠ABD = ∠ACE = 90°，∠BAD = ∠CAE，M是DE的中點，求證：MB = MC.

變式1：如圖7，DF = FE，∠ABD = ∠ACE = 90°，F(xiàn)B = FC，求證：∠BAD = ∠CAE.

變式2：已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD = ∠ACE = 90°. 如圖8，連接DE，設M為DE的中點.

（1）說明：MB = MC;

（2）設∠BAD = ∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖9的位置，試問：MB = MC是否仍然成立？并給出證明.

第1小單元主要對連接線段、延長線段和倍長中線進行復習. 第2小單元的題目2主要引導學生根據(jù)已有的知識儲備，尤其是全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理等相關知識，從不同角度思考如何添加輔助線，并進行一題多解. 在課堂上進行交流和分享之后，教師通過設問和追問，引導學生逐步掌握隱藏在各種不同解法之中的數(shù)學知識和所需的基本技能. 在學生體會數(shù)學思維的多樣性之后，進一步引導學生總結(jié)出有關中點的問題添加輔助線的方法.

例如，中線：倍長中線，也就是說遇到中線或者中點，嘗試倍長中線，通過構造全等三角形對線段進行轉(zhuǎn)化;等腰三角形：構造“三線合一”;直角三角形斜邊上的中點：構造斜邊上的中線;兩個或者兩個以上的中點：構造一條或者多條中位線.

對題目2進行一題多解后，引導學生進行小結(jié)，使學生逐漸養(yǎng)成反思解釋和及時總結(jié)的良好學習習慣. 變式1是對題目2進行對稱式變式，將部分已知的條件和求證的結(jié)論進行對換，旨在激活學生數(shù)學思維的多向性，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的靈活性，從而逐步提高學生學習數(shù)學的積極性.

變式2是對題目2進行鎖鏈式變式，再次重復上一個小專題的復習流程——由已知中點深化到尋找中點，讓學生再次認識并體會到中點的特殊性和重要性，體會由一個已知中點去尋找另一個線段中點的過程，逐漸引導學生形成構造中位線的解題策略和對于特殊和一般的關系的思考和認識.

3. 第3小單元教學設計和設計意圖分析

題目3? 如圖10，在△ABC中，[∠ACB=90°]，[O]是[AB]的中點，點[D]是邊[AC]上一點，且AO = AD，BD平分∠ABC，過點D作DF⊥OD，DF與邊BC交于點F，過點F作FE∥OD，F(xiàn)E交BD于點E，連接OE. 求證：（1）四邊形OEFD是正方形;（2）DE = 2BE.

變式1：如圖11，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 4，O是AB的中點，點D是邊AC上一動點，連接OD，過點D作DF⊥OD，DF與邊BC交于點F，過點F作FE⊥DF，過點O作OE⊥OD，兩條垂線相交于點E. 設OD = x，矩形OEFD的面積為y，試求出y與x的函數(shù)關系式.

變式2：在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，D為斜邊AB的中點，點E為邊AC上的一個動點，連接DE，過點E作DE的垂線，與邊BC交于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG.

（1）如圖12，如果矩形DEFG為正方形，且點G在邊AB上時，求AC的長;

（2）如圖13，如果DE∶EF = 1∶2，設AC = x，矩形DEFG的面積為y（其中點G在△ABC的內(nèi)部），求y與x的函數(shù)解析式.

變式3：如圖14，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 4，O是AB的中點，點D是邊AC上一動點，連接OD，BD，過點D作DF⊥OD，與邊BC交于點F，連接OF.

（1）設OD = x，△ODF的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式;

（2）當△ODF與△ABC相似時，求出x的值.

變式4：如圖15，在△ABC中，[∠ACB=90°]，[BC=][3，] [AC=4，] [O]是[AB]的中點，點[D]是邊[AC]上一點，[DE⊥BD，] 交[BC]的延長線于點[E，] [OD⊥DF]，交邊[BC]于點[F，] 過點[E]作[EG⊥AB，] 垂足為點[G，] [EG]分別交[BD，DF，DC]于點M，N，H.

（1）求證：[DEDB=NEOB];

（2）設[CD=x，NE=y]，求[y]關于[x]的函數(shù)關系式及其定義域;

（3）當[△DEF]是以[DE]為腰的等腰三角形時，求線段[CD]的長.

題目3的研究背景是初中生比較熟悉的直角三角形，除了突出本單元的重點——直角三角形斜邊上的中點之外，通過添加一條角平分線將圖形進一步復雜化. 通過幾何畫板軟件的動態(tài)演示，讓學生親眼見證圖形從簡單到復雜、從復雜再回到簡單的過程. 進行類似于從第2小單元到第3小單元的過渡，對圖形的分解和組合進行雙向練習，能夠幫助學生逐漸掌握把復雜圖形分解為簡單圖形和由簡單圖形組成復雜圖形這兩種思維.

另外，由于學生的年齡特點、心理特征和教學內(nèi)容的課時安排，在初中幾何教學中，先學習三角形，研究三角形的性質(zhì)后對特殊的三角形進行研究，再學習特殊四邊形的定義、性質(zhì)和判定等內(nèi)容. 這樣，在學生的腦海中容易形成三角形和四邊形壁壘分明的局面. 通過題目3第（1）小題引發(fā)學生對于三角形和四邊形兩者關系的思考，通過增設平行線，逐步完成一般四邊形、平行四邊形、矩形和正方形之間關系的建設. 題目3第（2）小題是通過特殊平行四邊形的性質(zhì)研究線段之間的數(shù)量關系.

變式2第（1）小題在繼續(xù)保留“直角三角形斜邊上的中點”這一條件的情況下構造矩形，并求證這個矩形是正方形;第（2）小題以研究矩形DEFG的面積與線段AC的長度之間的函數(shù)關系為載體，引發(fā)學生對于圖形變化和不變的規(guī)律之間的思考.

變式3在保留“直角三角形斜邊上的中點”這個條件下，增設“線段垂直”這個條件，引導學生分析三角形的面積和線段長度之間的關系，同時主動對條件不明確的三角形相似進行分類討論.

變式4在保留“直角三角形斜邊上的中點”這個條件的前提下，增設兩個“線段垂直”條件，引導學生通過三角形相似來證明第（1）小題的線段成比例.

在前兩個小單元復習的基礎上，學生能夠獨立完成基礎模型的構建，熟練辨別問題和圖形的類型，逐漸將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的題目類型，將復雜的圖形分解為簡單的圖形，逐步優(yōu)化解題策略，形成相對獨立而正確的數(shù)學觀.

三、對本單元設計的思考

1. 單元設計的優(yōu)勢

一般來說，復習課的教學目的是系統(tǒng)梳理知識，通過分析典型題目加強相關知識的豐富性和靈活性，通過一題多解不斷加深學生對知識理解的準確性和深刻性，通過多解歸一逐漸形成并優(yōu)化解題策略，逐步形成有層次且相對完整的知識結(jié)構. 在研究一題多變的系列問題的過程中，不斷提高學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，并且從中領會“變化”與“不變”的關系和實事求是、理性求真的數(shù)學精神.

針對知識量大、課時緊的教學困局，以本單元設計為例，采用具有整體觀念的單元設計的教學，不僅有利于教學目標的有效達成，而且可以圍繞中位線、線段的垂直平分線等內(nèi)容，循序漸進、螺旋上升地開展復習，避免陷于某一道題目中造成“只見樹木，不見森林”的誤區(qū)，從而極大程度提高復習課的有效性.

基于數(shù)學知識內(nèi)容的整體性，通過研究和了解學生的認知基礎，筆者堅持單元教學設計，將教學設計進行整體性安排，突出部分和部分之間的聯(lián)系、知識和知識之間的關聯(lián)、新課和復習課之間的銜接、口語表達和書面表達之間的鋪墊.

2. 關注數(shù)學表達，重視單元設計的基礎性

通過課堂教學，既能夠使學生養(yǎng)成良好的學習習慣，又能夠了解學生的學習狀態(tài). 學生的學習方式取決于教師的教學方式，學生的學習狀態(tài)取決于教師的教學狀態(tài). 單元設計就是建立在教師對教學內(nèi)容的理解、學生認知的把握和教學方式的整合的基礎上，對教材中的教學內(nèi)容進行二次開發(fā)，進行單元設計.

由于學生接觸中點相關概念的時間跨度較大，因此教師在進行教學設計時可以本著注重核心知識、通性、通法的理解和掌握的原則，在學生主動思考和積極發(fā)言的基礎上，用思維導圖分步驟地對與中點有關的概念進行回顧和梳理. 而在梳理概念的過程中，一方面，要引導學生將數(shù)學口語表達和書面表達相配合;另一方面，要運用多媒體信息技術引導學生對圖形語言、文字語言和符號語言熟練地進行轉(zhuǎn)換以提高復習效率.

3. 構建知識網(wǎng)絡，增加單元設計教學綜合性

數(shù)學學習離不開解題，但是組成一節(jié)課的各個例題和習題并不是孤立存在的. 作為課堂設計的有機組成部分，這些題目之間存在著必然聯(lián)系. 基于這個認識，教師不能把知識梳理、例題分析和習題練習進行孤立教學. 對于“中點的復習”單元，訓練和培養(yǎng)學生對題目的分析能力和解題能力固然重要，但也要注重引導學生發(fā)現(xiàn)和理解題目的背景及組成題目的因素之間的內(nèi)在聯(lián)系，把知識點進行三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化，形成如圖16所示的知識網(wǎng)絡. 這是數(shù)學學習能力的重要體現(xiàn)，甚至是高階思維在數(shù)學學習能力中更高層次的體現(xiàn).

本單元設計著眼于相關數(shù)學知識的聯(lián)系，力求在課堂教學中突出數(shù)學思想方法. 通過單元設計幫助學生認清題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學生把握單元知識的重點和難點，明晰學習目標，逐漸激發(fā)學生數(shù)學學習的主動性、目的性和積極性，慢慢形成對局部與整體、數(shù)字到字母、具體和抽象等問題的思考，不斷完善數(shù)學知識體系，促進數(shù)學思考，提升數(shù)學思維.

4. 發(fā)展核心素養(yǎng)，提升單元設計的發(fā)展性

本單元教學設計從真實的、系列的數(shù)學情境開始，通過對例題的條件和結(jié)論的順序變式、增減變式、輪換變式和鎖鏈變式，挖掘例題和變式的教學價值，用數(shù)學自身的魅力來激發(fā)學生的學習興趣. 借助例題和變式，為學生搭建積極交流的平臺.

對于題目2，講評結(jié)束后，筆者給學生留出充分的時間進行一題多解. 學生主要有如下解題思路.

思路1：如圖17，延長EC至點N，使得CN = CE. 連接AN和DN，同樣延長DB至點H，使得BH = BD. 連接AH和HE，運用三角形的中位線定理解題.

思路2：如圖18，過點M作MI⊥AB，交AB的延長線于點I，過點M作MJ⊥AC，交AC于點J，運用△BIM ≌ △CJM進行證明.

思路3：如圖19，以點A為圓心、AB為半徑作圓，交線段AC于點H，連接HD，連接HM并延長交CE的延長線于點G. 通過構造△DMH ≌ △EMG，明確MC是直角三角形斜邊上的中線，于是MC = MH = MB.

思路4：如圖20，取AD的中點K，連接BK，取AE的中點L，連接CL，通過證明△MBK ≌ △CML來說明對應線段相等.

思路5：如圖21，在AC上截取AO = AB，取線段OC的中點J，連接DO，MO和MJ，通過證明“△MOC是等腰三角形”說明對應線段相等.

小結(jié)反思部分展示題目2的多種解題思路，多解歸一，引導學生在眾多解法中總結(jié)有關中點問題的數(shù)學本質(zhì). 對于題目3，同樣在講評結(jié)束后留給學生充分的時間進行一題多解.

在分析問題和研究問題時，筆者堅持引導學生在一題多解和多解歸一的基礎上進行一題多變，并在這個過程中呈現(xiàn)特殊和一般、“數(shù)”和“形”之間的相互轉(zhuǎn)化，讓學生在研究問題的過程中不斷體會“變”與“不變”的關系，即在“變”的現(xiàn)象中尋找“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探求“變”的規(guī)律.

通過題目和變式訓練，讓學生運用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想體會條件的細微變化對結(jié)論造成的影響，引導學生逐漸體會數(shù)學學習就是用已知的方法探究未知世界的過程，逐步培養(yǎng)學生靈活多變的思維品質(zhì)，提升應變能力，讓學生的數(shù)學發(fā)散思維得以拓展和提升.

數(shù)學課堂設計的核心任務是提升學生的數(shù)學思維水平和解決問題的能力. 因此，單元設計教學不能一蹴而就，也不能一勞永逸. 數(shù)學單元教學設計是一個不斷改進和完善的動態(tài)發(fā)展過程. 其動態(tài)發(fā)展主要體現(xiàn)在兩個階段：在教學設計的實施過程中;在教學設計實施之后. 在單元設計實施過程中，以單元進行教學，有利于避免課時教學設計因留給教師調(diào)整教學方案的空間相對較小所帶來的教學僵化性與機械性，教師能夠留有充足的時間與空間去調(diào)整教學節(jié)奏，從而針對前期教學中出現(xiàn)的問題或者涌現(xiàn)出的新想法，對原有的教學方案加以調(diào)整、完善. 單元教學設計實施后，需要對教學進行反思. 但并不是反思后棄之不用，而是通過教研團隊進行改進，改進后的設計既可用于自己之后的教學，也可為其他教師的教學服務，這使得教學設計一直處于不斷改進、不斷完善的過程.

參考文獻：

[1]胡素芬. 例說復習課的解題教學設計[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2017（10）：24-27，31.