張艷馨 連春興

摘? 要：文章以敘事的方式展現(xiàn)了一節(jié)給基礎(chǔ)薄弱班級講授的二次函數(shù)復習課. 本節(jié)課沒有沿概念、解析式、圖象、性質(zhì)的脈絡展開，而是通過一個簡單的問題情境構(gòu)建二次函數(shù)模型，促進了學生的課堂參與度，為改善基礎(chǔ)薄弱班級的教學、提升復習效率提供了諸多有益的啟示.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);復習課;復習效率

一個特殊的機緣，在海南省支教的連春興老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）走進了三亞市某校九年級的一個特殊班，并為他們上了一節(jié)二次函數(shù)的復習課. 這個班之所以特殊，是因為學生基礎(chǔ)普遍薄弱，課堂教學秩序較亂. 面對這樣的群體應該如何上課，尤其是復習課，該校教師一直在探索. 大家邀請執(zhí)教教師為該班上一節(jié)課，以便學習和交流. 因此，在毫無準備的情況下，一節(jié)“即興課”產(chǎn)生了.

一、課堂概述

由于事出突然，且學生的學習習慣不好、知識基礎(chǔ)薄弱，所以本節(jié)課知識含量較少，課堂上更多的是執(zhí)教教師在組織教學，調(diào)動學生的學習積極性. 為不失真，筆者不忍簡約，以敘事方式呈現(xiàn)這節(jié)二次函數(shù)復習課，并扼要概括.

1. 聯(lián)絡感情，提出問題

當執(zhí)教教師與聽課教師一行數(shù)人進入教室時，只見全班三十余名學生，有趴在桌子上睡覺的，有嬉笑打鬧的，有幾個男生竟躺在椅子上，腳放在桌子上，敲出陣陣聲響，沒有一點上課的意思.

面對此景，執(zhí)教教師省略了“上課起立”環(huán)節(jié)，親切、平靜地說：“同學們，請坐好，睡覺的同學請睜開眼睛，看看我這個來自北京的老頭，今天我想和大家一起幫你們的家長完成一項設計.”

幾句別致的開場白吸引了學生的注意，除幾位進入夢鄉(xiāng)的學生外，大家紛紛坐好，目光集中到執(zhí)教教師身上. 這時，執(zhí)教教師并沒有著急叫醒睡著的學生，而是面帶笑容繼續(xù)說道：“你們都在海邊長大，都熟悉灘涂荒地. 村里領(lǐng)導為改善土質(zhì)，發(fā)給每戶100米扎籬笆墻的材料，扎成平面是矩形的圍欄，圈養(yǎng)雞、鴨，或牛、羊，當然面積越大越好，請同學們探索矩形面積最大時的長和寬.”

執(zhí)教教師邊說邊在黑板上寫出“100米籬笆墻、矩形面積最大、求矩形的長和寬”幾個關(guān)鍵詞.

2. 解決問題，概括猜想

此時，學生面面相覷，不知所云. 為了啟發(fā)學生，執(zhí)教教師在黑板上畫了一個扁長的矩形，標出其長為49米、寬為1米，并問大家這個方案是否可行.

沉寂片刻，一名一直趴在桌子上的學生回答道：“老師，這個方案不行. 您畫的矩形面積是49平方米，我設計了一個長48米、寬2米的矩形，面積是96平方米，比您畫的矩形面積大.”

看著這名對激發(fā)其他學生學習興趣立下大功的學生，執(zhí)教教師高興地說：“你真棒！看來你是裝睡啊.”一句詼諧的話語引發(fā)學生哄堂大笑，教室里沉悶的氣氛一掃而光，學生熱烈爭論起來. 執(zhí)教教師及時寫出大家的意見，將一串面積一個比一個大的矩形邊長先后呈現(xiàn)在黑板上，即1 × 49，2 × 48，3 × 47，…，23 × 27，24 × 26，25 × 25，最后，經(jīng)過師生共同努力，確認當矩形的長和寬都為25米時矩形面積最大. 此時課堂氣氛達到高潮.

執(zhí)教教師高度贊揚了為找到矩形最大面積做出貢獻的學生，表揚他們應用數(shù)學知識為家長排憂解難，提供利益最大化的設計方案. 此話一出，又一次引發(fā)學生會心的笑聲. 只見執(zhí)教教師凝住微笑，向大家發(fā)問：“哪位同學能用一句話概括一下我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.”

又是沉寂片刻，一名坐在前排的學生回答：“正方形面積比長方形面積大.”執(zhí)教教師聽到后，在黑板上畫了兩個面積懸殊的小正方形和大長方形，再次引發(fā)學生哈哈大笑. 執(zhí)教教師說：“從大家的笑聲來看，正方形面積比長方形面積大需要一個前提，誰能把這個前提補充上？”另一名學生補上了“周長不變”的前提.

3. 證明猜想，引出主題

隨后，執(zhí)教教師冷靜地分析道：“剛才同學們通過矩形長、寬的此消彼長，發(fā)現(xiàn)了‘當矩形周長不變時，正方形面積最大’，但這個發(fā)現(xiàn)僅僅建立在計算少數(shù)幾個矩形面積的基礎(chǔ)上. 在周長不變的前提下，矩形的長和寬可以隨意改變，如24.9 × 25.1，24.99 × 25.01等，我們很難憑計算一一驗證核實矩形的長和寬相等時面積最大，所以我們此處的發(fā)現(xiàn)只是個猜想，不能算是正確的命題，而數(shù)學中的真命題是需要經(jīng)過嚴格證明的. 請問，哪位同學能證明周長是100米的矩形，長和寬相等時面積最大？”

大概是執(zhí)教教師預感到學生解決這個問題會有困難，于是在黑板上畫出一個矩形，提示道：“這個矩形的周長是100米，面積隨邊長的變化而變化. 因此，我們可以設矩形的長為x（寬由幾名學生附和著說出是50 - x），那么，矩形的面積[S]能否由[x]來表示？”

當一名學生在黑板上寫出[S=x50-x=-x2+50x]，并識別出[S]是關(guān)于x的二次函數(shù)后，執(zhí)教教師又啟發(fā)道：“利用二次函數(shù)解析式可以證明矩形是正方形時，即當x = 25時，面積[S]取最大值. 那么，誰能來解決這個問題？”

見學生相互對視，無一人回答，執(zhí)教教師解釋道：“解決這個問題時，可能有學生想到利用二次函數(shù)圖象確定頂點坐標，然后直接回答當橫坐標x = 25時，縱坐標[S]的最大值為625.”執(zhí)教教師隨手畫出如下圖所示的示意圖，繼續(xù)說道：“但這涉及如何畫函數(shù)圖象、確定頂點坐標及為什么二次函數(shù)圖象的頂點最高等一系列二次函數(shù)的性質(zhì). 這些知識大家可能遺忘了，我們明天復習. 今天我們解決此題不需要函數(shù)的性質(zhì)，只需要運用八年級學習的配方法就足夠了，即[S=-x2-50x=][-x2-50x+252-252=-x-252+625.]觀察此式，只有當625 - 0時，[S]取最大值. 因為當625減其他正數(shù)時，[S]的值都不是最大的，625減負數(shù)時結(jié)果更大些，但完全平方數(shù)不可能為負，所以當[x-252=][0，] 即當[x=50-x=25，] 矩形為正方形時，矩形面積[S=625，] 為最大值. 于是，命題得證. 利用這種方法尋找最大（小）值，是二次函數(shù)有別于其他函數(shù)的獨有特征. 當二次函數(shù)解析式的系數(shù)a，b，c比較簡單時，大家可以利用配方法解決問題. 如果你們有興趣，不妨仿照此法，推導一下一般二次函數(shù)的頂點坐標公式，為明天的復習課做些準備.”至此，恰好下課.

二、課后反思

課后，筆者與執(zhí)教教師進行了深入交流，當問及他上課的感想時，他表達了兩個意思. 第一，這是一個特殊的班級. 首先，缺乏正常的家庭、學校管理教育，如上課之初許多學生的行為不規(guī)范;其次，數(shù)學基礎(chǔ)薄弱，如課堂上利用配方法解決最值問題時，教師被迫唱了“獨角戲”. 面對這樣的班級，我們要滿腔熱情、想方設法拉近與學生的情感距離，并實時給予恰當?shù)墓膭?，以讓學生擺脫破罐破摔的心態(tài)，增強學好數(shù)學的自信心. 第二，在中考復習課中，基礎(chǔ)薄弱的學生由于遺忘、基礎(chǔ)不牢等原因，可能復習課形同新授課. 這種情況下，憑借概念羅列、例題選講這些傳統(tǒng)做法，學生很難參與其中，效果微乎其微. 而如何促進學生的課堂參與度，提升復習效果，把學科育人的目標落到實處，執(zhí)教教師在課堂教學中似乎給出了回答. 認真回味執(zhí)教教師的話，反思本節(jié)課各個環(huán)節(jié)，除了包括他細膩的精神撫慰在內(nèi)的適切教學行為外，在課堂設計上，至少有如下三個方面值得借鑒.

1. 教師要準確評估學生的認知水平

一位初來乍到的教師上的“即興課”，難免存在這樣或那樣的遺憾. 但從整體上看，本節(jié)課進行得還是比較順利的，這很大程度上得益于執(zhí)教教師對學生基礎(chǔ)相對準確的預判. 在與執(zhí)教教師的交流中，得知他確信學習是少年兒童的天性，只要遇到感興趣的問題，且沒有超出他們的認知范圍，他們一定會熱衷參與、探究解決. 在本節(jié)課之初，執(zhí)教教師預判這個班的學生不會反感幫家長設計圍欄，應該能計算兩位數(shù)的乘法，知道矩形包括長方形和正方形，矩形面積等于長乘以寬，懂得比較數(shù)的大小，通過試數(shù)運算對比，得到“矩形的長和寬分別為25和25時，矩形面積最大”. 因此，這樣帶有激趣性質(zhì)的問題情境，為本節(jié)課中學生順利進入狀態(tài)、積極參與課堂活動奠定了良好的基礎(chǔ). 當然，一個好的問題情境的創(chuàng)設，不僅要符合學生的認知基礎(chǔ)，更重要的是隨著問題的解決，要逐步揭示知識主題. 正像本節(jié)課中，由“一個矩形周長不變，面積何時最大”的討論，生成猜想及證明，把學習活動一步步推向高潮，順利進入二次函數(shù)的主題，這是課堂教學的重心所在.

2. 盡力追求自然平實、邏輯貫通的教學境界

準確預判學生的認知基礎(chǔ)，只能幫我們確定課堂的思維起點，更重要的是，教師要創(chuàng)造條件，促使學生思維在課堂上合理延伸，而這恰恰是基礎(chǔ)薄弱學生的軟肋. 我們觀察數(shù)學成績不佳者在解決一個陌生問題時的思維狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)其共性特征是對基礎(chǔ)知識理解不到位而造成的思維無序. 最大限度地解決好“思維無序”問題，促成思維的合理延伸，追求自然平實、邏輯貫通的教學境界，是一個重要的教學策略. 反觀執(zhí)教教師的課，從在灘涂荒地上設計定長圍欄開始，到引導學生歸納猜想，發(fā)現(xiàn)正方形面積最大，再到構(gòu)建二次函數(shù)模型，進行論證猜想正確，整個過程自然平實、邏輯貫通，沒有大起大落的思維轉(zhuǎn)換，學生只需沿著問題合理的發(fā)展走向持續(xù)思考，即使遇到二次函數(shù)最值這樣似乎關(guān)聯(lián)函數(shù)性質(zhì)的問題，課堂上也沒有復習性質(zhì)，而是利用二次三項式可以配方變形的獨有特質(zhì)，順利解決問題. 這樣始終沿著一個線索思考問題、訓練解決問題的能力，對那些因基礎(chǔ)知識理解不到位而思維無序的學生來說，可謂“對癥下藥”.

3. 關(guān)于“演繹式”復習與“歸納式”復習效率的思辨

在關(guān)注“思維起點”“思維延伸”等問題后，我們自然進入對復習模式與效率的思辨. 一般而言，在單元復習之初，有的教師習慣先利用PPT展示本單元知識的邏輯結(jié)構(gòu)、思維導圖等，然后再進行例題、練習題的訓練，我們不妨把這種復習方式稱為“演繹式”復習. 這樣做的好處是有利于學生整體把握知識. 對于優(yōu)等生來說有一定的合理性，但對于學困生來說，本就對平時學習的知識理解不到位，現(xiàn)在一起展示出那么多數(shù)量、位置、邏輯關(guān)系，學生對于這些結(jié)論是怎么來的，早已遺忘. 若由學生現(xiàn)場推演，顯然時間不允許，而不知來龍去脈的知識內(nèi)容很難記憶，即便暫時記住，也不可能靈活運用. 因此，這種復習方式將大大減損復習效果. 這可能也是許多教師的教學困惑所在.

觀察本節(jié)課，沒有沿二次函數(shù)的概念、解析式、圖象、性質(zhì)的脈絡展開教學，而是從確定矩形的長和寬、計算面積出發(fā)，不給問題貼任何知識的“標簽”，把學生推至解決問題的前沿，只要求他們利用自己原有的知識經(jīng)驗解決問題，一步步形成猜想. 這種方式解決了“演繹式”復習的知識羅列使學生無從參與的弊端. 當然，與新授課相比，此處的知識生成節(jié)奏要盡量快一些，以學生能承受為主，我們不妨把這種復習方式稱為“歸納式”復習. 這種方式對于優(yōu)等生來說似乎沒有必要，但對于學困生來說，可以彌補平時學習的漏洞，在不斷解決問題中復習概念、歸納知識，在不斷歸納中穿插演繹，最終實現(xiàn)對知識的結(jié)構(gòu)性把握，從而達到復習目的. 兩種復習方式的效率對比，優(yōu)劣立判.

三、結(jié)束語

教育關(guān)系著民族的未來，而數(shù)學教育在提升人的素養(yǎng)方面承擔著獨有的育人功能. 本節(jié)課是為基礎(chǔ)薄弱學生授課的實踐，局限性很大，執(zhí)教教師也無力改變什么，但他在改善基礎(chǔ)薄弱學生的學習狀態(tài)、提升學習效率方面所做的努力，卻給我們留下了一些有益的思考. 衷心希望廣大同行指正，并參與我們的討論.

參考文獻：

[1]連春興. 再論“問題導學”[J]. 中小學數(shù)學（高中版），2015（3）：1-6.