王一敏，孫興華

(東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024)

人們認(rèn)為位值表示法是人類最富創(chuàng)新的發(fā)明之一(1)Ross S H.The Development of Children’s Place-value Numeration Concepts in Grades Two through Five.Concept Formation.1986,p.51.。位值是計(jì)數(shù)系統(tǒng)一個(gè)非常重要的概念，也是小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的基本原理。數(shù)字有兩個(gè)值，即數(shù)字值與位置值，數(shù)字值是數(shù)字本身所表示的值，位置值是數(shù)字本身與其位置結(jié)合起來所表示的值，一個(gè)數(shù)字表示什么數(shù)值，要看它在什么位置上，這就是位值的含義。研究發(fā)現(xiàn)，理解位值概念對(duì)于學(xué)生獲得良好的數(shù)感、估計(jì)和使用數(shù)學(xué)技能以及理解多位運(yùn)算非常重要(2)Ross, S.R.Research, Reflection, Practice: Place Value: Problem Solving and Written Assessment.Teaching Children Mathematics.2002, 8(7),pp.419-423.；早期位值概念理解缺失會(huì)對(duì)未來更復(fù)雜的運(yùn)算過程產(chǎn)生不利影響(3)K.Moellera,S.Pixnerc，J.Zuberb,et al.Early Place-value Understanding as A Precursor for Later Arithmetic Performance—A Longitudinal Study on Numerical Development.Research in Developmental Disabilities.2011，pp.1837-1851.；位值概念還是區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)困難兒童和非數(shù)學(xué)困難兒童的重要因素(4)Becky Mee-yin Chan，Connie Suk-han Hob.The Cognitive Profile of Chinese Children with Mathematics Difficulties.Journal of Experimental Child Psychology.2010,pp.260-279.。因此，探析小學(xué)生對(duì)位值概念的理解與影響因素，有助于發(fā)展其四則運(yùn)算能力，能為教師進(jìn)行位值相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)提供指引。

一、位值的產(chǎn)生、內(nèi)涵及理解

(一)位值的產(chǎn)生

數(shù)，是對(duì)事物存在方式的表達(dá)。當(dāng)要表達(dá)的存在方式變得有限時(shí)，人們就給它們每個(gè)取一個(gè)單獨(dú)的名稱，例如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。然而，存在方式無窮無盡，不可能用無窮無盡的單獨(dú)符號(hào)名稱去表達(dá)它們，于是產(chǎn)生了位值制記數(shù)法。位值制記數(shù)法能用有限的符號(hào)名稱與無限的有序空間位置的組合來表達(dá)無窮多的存在方式。用空間位置的無限性，對(duì)應(yīng)存在方式的無窮盡，從而避免對(duì)無窮多存在方式給出無窮多單獨(dú)命名的麻煩。位值制中，使用的有限符號(hào)名稱在一個(gè)位置上不夠用時(shí)，就把沒有命名的部分記錄在更高一級(jí)的位置上。相鄰的兩個(gè)數(shù)位間，級(jí)別較高的數(shù)位上每增加1，就相當(dāng)于級(jí)別較低的數(shù)位上能容納的最大數(shù)(9)加上這個(gè)級(jí)別較低的數(shù)位上的“1”。例如，十進(jìn)制記數(shù)法中，由于對(duì)超出“9”的部分沒有單獨(dú)的符號(hào)名稱來表達(dá)，所以將“6+7”超出“9”的部分寫在十位上，最終描述為“13”。

現(xiàn)在采用十進(jìn)制是通用的印度—阿拉伯?dāng)?shù)字體系，即“逢十進(jìn)一”，因?yàn)槿擞惺种?，人們?xí)慣于十個(gè)一組，最終十進(jìn)制就形成了。隨著十進(jìn)制的形成，位值逐漸被發(fā)明。一個(gè)數(shù)字表示的數(shù)要根據(jù)它的位置而定，即使較高的單位也不需要去創(chuàng)造新的符號(hào)，僅通過將符號(hào)放在不同的位置上就可以表示不同的含義。完整的位值制要包括0，0不僅是數(shù)字符號(hào)，還表示占位符號(hào)，0的出現(xiàn)使得自然數(shù)體系完備建立，位值記數(shù)法得到廣泛流傳。十進(jìn)位制自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)數(shù)字符號(hào)和數(shù)位，其中的度量單位為“1”，因此，自然數(shù)是一個(gè)一個(gè)累計(jì)起來的。其度量單位還可以為“10”，遵循十進(jìn)制中“滿十進(jìn)一，退一當(dāng)十”的性質(zhì)。省略計(jì)數(shù)單位是阿拉伯記數(shù)法的本質(zhì)特征，如：365(省略計(jì)數(shù)單位)和三百六十五(未省略計(jì)數(shù)單位)，365是阿拉伯記數(shù)法，其特點(diǎn)就是省略計(jì)數(shù)單位。

(二)位值制的內(nèi)涵

位值制是確定數(shù)字值的一種原則，指計(jì)數(shù)系統(tǒng)中出現(xiàn)多位數(shù)時(shí)，每個(gè)數(shù)字因其所在位置的不同而產(chǎn)生不同的數(shù)值，數(shù)值是由數(shù)字的面值(Face value)和位置所代表的值而定的。位值制即每個(gè)數(shù)字所表示的數(shù)值，不僅取決于這個(gè)數(shù)字本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。比如在十進(jìn)位值制中，同樣是一個(gè)數(shù)字“5”，放在個(gè)位上表示5，放在十位上就表示50(5×10)，放在百位上就表示500(5×102)，放在千位上就表示5000(5×103)。從上面的例子可以看出，記數(shù)極為重要的概念即是位值，位值包含了表記和數(shù)值兩個(gè)原則，表記原則是指在數(shù)字符號(hào)中每個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字所在的位置各有其指定的數(shù)值；數(shù)值原則是指在數(shù)字中，相鄰的兩個(gè)數(shù)字的冪次關(guān)系決定數(shù)字中各個(gè)數(shù)字的位值，所以位值記數(shù)法主要指十進(jìn)位制計(jì)數(shù)法。就小學(xué)學(xué)習(xí)的整數(shù)而言，十進(jìn)位制自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)數(shù)字符號(hào)和數(shù)位，把一個(gè)正整數(shù)從右到左分成個(gè)位、十位、百位、千位等，每個(gè)數(shù)位的計(jì)數(shù)單位分別為一、十、百、千，十進(jìn)位記數(shù)法就是以10為基底位值制記數(shù)法，遵循十進(jìn)制中“滿十進(jìn)一，退一當(dāng)十”的性質(zhì)(5)胡重光:《十進(jìn)位制計(jì)數(shù)法的本質(zhì)特征》,《第一師范學(xué)報(bào)》2000年第2期,第40頁。。

(三)位值概念理解

很多學(xué)者對(duì)位值概念理解進(jìn)行了研究，位值概念理解主要指明確位值制中的數(shù)字構(gòu)成實(shí)質(zhì)。約翰·范德瓦爾(John A.Van De Walle)(6)John A.Van De Walle，張英杰，周菊美譯：《中小學(xué)數(shù)學(xué)科教材教法》,五南出版社2005年版，第308頁。提出對(duì)位值概念理解主要包括三個(gè)方面：知道位值是由以“十”為單位的分群組構(gòu)成；能以口述和書寫相結(jié)合的形式表達(dá)“十”為單位的群組概念；能用“一個(gè)一個(gè)數(shù)”、“十和一”、“群組和個(gè)別的單一數(shù)”三種方式來計(jì)數(shù)。羅杰(Roger H)(7)Roger Howe.Learning and Using our Base Ten Place Value Number System: Theoretical Perspectives and Twenty-first Century Uses.FIZ Karlsruhe.2018，51,pp.57-68.提出位值制中包括加法和乘法。十進(jìn)制隱含著每個(gè)數(shù)都表示為特殊數(shù)之和：如352=300+50+2，各數(shù)字是位置值部分的總和；位值制還具有乘法結(jié)構(gòu)：如300=3×100，50=5×10，2=2×1。羅斯(Ross)(8)Ross, S.R..Place Value: Problem Solving and Written Assessment.Research，Reflection，Practice.2002,pp.419-420.提出阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)理解位值概念可以從四個(gè)方面入手，即：位置性、十進(jìn)制、加法性以及乘法性。巴圖羅(Baturo)(9)Baturo，A.R..Construction of A Numeration Model:A Theoretical Analysis.In J.Bana & A.Chapman, Mathematics Education beyond 2000(Proceeding of the 23rd Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia.Fremantle,WA:MERGA.2000,pp.95-103.也提出位值概念理解主要指從理解位置知識(shí)、基底知識(shí)、次序知識(shí)，逐漸發(fā)展成理解位值的特性，即加法性、乘法性以及單位轉(zhuǎn)換知識(shí)。綜合上述學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn)，位值概念理解主要涉及位置知識(shí)、群組知識(shí)、分割知識(shí)、數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)。如果進(jìn)一步細(xì)化，包括位名認(rèn)識(shí)、位置理解、數(shù)字大小、數(shù)位轉(zhuǎn)化、倍數(shù)關(guān)系、典型分割、非典型分割、具體數(shù)字辨識(shí)、抽象數(shù)字辨識(shí)。

二、低年級(jí)小學(xué)生對(duì)位值概念理解的表現(xiàn)及錯(cuò)誤類型

為更好了解低年級(jí)小學(xué)生位值概念的認(rèn)知發(fā)展情況，以及學(xué)生對(duì)位值概念容易產(chǎn)生哪些錯(cuò)誤？本研究以問卷形式對(duì)小學(xué)一、二年級(jí)440名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，有效問卷427份。根據(jù)羅斯(10)Ross, Sharon Hill.The Development of Children’s Place-Value Numeration Concepts in Grades Two through Five.Mathematics Education Research.Mathematics Education Research.1986，p.128.提出的位值概念發(fā)展特征的五個(gè)階段，及凱倫·弗森(Fuson)(11)Karen C.Fuson.Conceptual Structures for Multiunit Numbers: Implications for Learning and Teaching Multidigit Addition, Subtraction, and Place Value.Cognition and Instruction.1990，7(4)，pp.343-403.的位值制理解的發(fā)展模型等設(shè)計(jì)調(diào)查工具。問卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)從“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”兩個(gè)方面入手。在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中主要?jiǎng)澐譃樗膫€(gè)維度，包括位置知識(shí)、群組知識(shí)、分割知識(shí)、數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)，再進(jìn)一步細(xì)化為九個(gè)子維度，包括位名知識(shí)、位置理解、數(shù)字大小、數(shù)位轉(zhuǎn)換、倍數(shù)關(guān)系、典型分割、非典型分割、具體數(shù)字辨識(shí)、抽象數(shù)字辨識(shí)。數(shù)的運(yùn)算測(cè)試分為加減法兩大類型，包括常規(guī)題和非常規(guī)題兩部分內(nèi)容，其中常規(guī)題和非常規(guī)題又包括有無進(jìn)位和借位情況。統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)低年級(jí)小學(xué)生對(duì)位值概念的理解呈現(xiàn)不均衡樣態(tài)，存在不同類型的錯(cuò)誤。

(一)低年級(jí)小學(xué)生對(duì)位值概念理解的表現(xiàn)情況

1.一年級(jí)學(xué)生對(duì)位值概念理解的表現(xiàn)情況

以“數(shù)的認(rèn)識(shí)”為考察內(nèi)容，利用平均值或中位數(shù)來描述學(xué)生對(duì)位值概念理解得分的情況，描述統(tǒng)計(jì)分析見表1所示，四個(gè)維度平均值由大到小排列情況為：位置知識(shí)、群組知識(shí)、分割知識(shí)、數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)，整體平均分有3.66分之差。位置知識(shí)平均值為22.68，正確率為75.6%，正確率較高，大部分學(xué)生位置知識(shí)能夠達(dá)到滿分，學(xué)生對(duì)于個(gè)位、十位、百位的位名認(rèn)識(shí)清晰，并且能夠?qū)?shù)字與數(shù)位進(jìn)行準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)，對(duì)于數(shù)的大小關(guān)系以及數(shù)的組合關(guān)系掌握較好。群組知識(shí)均值為20.24，正確率為67.5%，明顯偏低一些，學(xué)生主要是對(duì)不同計(jì)數(shù)單位之間轉(zhuǎn)換的掌握不佳。分割知識(shí)均值為20.05，正確率為66.8%，學(xué)生典型分割是將“25分割為20和5”，而非典型分割是“將25分割為10和15”。數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)平均值為19.02，均值最低，正確率為63.4%，說明學(xué)生對(duì)于數(shù)的乘法性質(zhì)掌握困難，例如“243=100×2+10×4+1×3”，學(xué)生在具體和抽象數(shù)字對(duì)應(yīng)表現(xiàn)不佳，說明其對(duì)數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)掌握較弱。

表1 一年級(jí)學(xué)生對(duì)位值概念理解描述統(tǒng)計(jì)分析表

從上述研究結(jié)果看，與巴圖羅(Baturo)所提出的位值概念理解的三個(gè)層次以及羅斯(Ross)提出的位值概念理解的五個(gè)階段的研究結(jié)果具有一致性。同時(shí)基于訪談也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于位值連結(jié)數(shù)字和位置所代表的值，以及有關(guān)位名順序的知識(shí)掌握較好，很少出現(xiàn)錯(cuò)誤；而對(duì)辨識(shí)多位數(shù)個(gè)別數(shù)字所代表數(shù)值的知識(shí)理解困難，存在不同的迷思。另外，如圖1所示，九個(gè)子維度由高到低排序?yàn)閿?shù)字大小(13.29)、位名認(rèn)識(shí)(10.85)、倍數(shù)關(guān)系(10.19)、非典型分割(10.15)、抽象數(shù)值辨識(shí)(10.13)、數(shù)位轉(zhuǎn)換(10.05)、典型分割(9.90)、位置理解(9.89)、具體數(shù)值辨識(shí)(8.89)。

圖1 一年級(jí)學(xué)生位值理解子維度得分折線圖

由上可知，一年級(jí)學(xué)生對(duì)于數(shù)的大小比較、位置名稱認(rèn)識(shí)維度掌握情況較好，能夠較好地對(duì)具體實(shí)物數(shù)量和抽象數(shù)的大小進(jìn)行比較，通過數(shù)的方式來識(shí)別個(gè)、十、百位，能根據(jù)數(shù)位上的數(shù)字提示進(jìn)行組合。對(duì)于常規(guī)分割單位以及具體的數(shù)值辨識(shí)理解存在困難，非典型分割好于典型分割，這是研究未預(yù)期到的結(jié)果，根據(jù)對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談發(fā)現(xiàn)，對(duì)于常規(guī)分割一部分學(xué)生是由于學(xué)習(xí)習(xí)慣不佳，馬虎急于求成作答導(dǎo)致錯(cuò)誤，另外一部分學(xué)生是因?yàn)閷?duì)于分割知識(shí)理解不清晰，對(duì)于知識(shí)的掌握僅停留在死記硬背層面，具體應(yīng)用時(shí)很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。具體數(shù)值辨識(shí)維度，對(duì)于數(shù)與數(shù)量的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換方面，很多學(xué)生分不清“22”顆糖果中的兩個(gè)“2”各代表多少糖果，訪談過程中，給學(xué)生單獨(dú)呈現(xiàn)22，學(xué)生可以說出22是由2個(gè)十和2個(gè)一組成，說明學(xué)生對(duì)于位值內(nèi)容實(shí)際的靈活運(yùn)用表現(xiàn)不佳。

2.二年級(jí)學(xué)生對(duì)位值概念理解的表現(xiàn)情況

二年級(jí)學(xué)生以“數(shù)的運(yùn)算”為主要考察內(nèi)容，包括加法運(yùn)算和減法運(yùn)算兩個(gè)維度，描述分析情況如表2所示：

表2 二年級(jí)學(xué)生對(duì)位值理解描述統(tǒng)計(jì)表

從表中可以看出二年級(jí)學(xué)生對(duì)加法運(yùn)算掌握較好，均值為39.67，正確率較高為79.34%，并且大部分學(xué)生得到滿分，且波動(dòng)較小。說明學(xué)生對(duì)于加法運(yùn)算方面的列式解題以及運(yùn)算方法掌握較好。對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談發(fā)現(xiàn)，其解題思路比較順暢，對(duì)于常規(guī)習(xí)題的錯(cuò)誤能夠主動(dòng)修改。而在減法運(yùn)算中學(xué)生掌握情況相對(duì)存在困難，均值為33.23，正確率為66.46%，大多學(xué)生處于40分左右，在問卷調(diào)查過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生減法運(yùn)算的做題速度明顯偏慢，并且對(duì)于設(shè)未知數(shù)填數(shù)的問題做答困難，基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生解題思路不清晰，整體逆向思維較弱，存在問題也較多。加減運(yùn)算兩個(gè)維度之間平均分存在6.44分的差距，說明學(xué)生對(duì)于加減運(yùn)算掌握差距較大。

從圖2可知，無論是加法還是減法運(yùn)算，學(xué)生對(duì)常規(guī)問題的掌握優(yōu)于非常規(guī)問題，并且差距較大，很多教師平時(shí)重視對(duì)學(xué)生常見題目的訓(xùn)練，而很少練習(xí)逆向思維的題目，所以學(xué)生對(duì)于這類題目幾乎沒有思路，也同時(shí)說明學(xué)生對(duì)于知識(shí)本身的掌握不熟練。加減法運(yùn)算兩個(gè)維度之間分?jǐn)?shù)差為11.84分，說明其加減運(yùn)算理解存在的困難并不一致。通過學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算作答情況可以發(fā)現(xiàn)，他們擅長常規(guī)題目的運(yùn)算，而對(duì)變式題目存在較大困難，其逆向思維和位值知識(shí)理解能力有待提高。

圖2 二年級(jí)學(xué)生對(duì)位值理解維度得分柱狀圖

從上述描述統(tǒng)計(jì)分析綜合來看，基于“數(shù)的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容，一年級(jí)學(xué)生對(duì)于位值概念各維度掌握最好的是位置知識(shí)，對(duì)其理解一直保持著較高的水平，說明學(xué)生對(duì)于位名認(rèn)識(shí)、位置理解和數(shù)字大小比較等方面理解相對(duì)深刻，為學(xué)習(xí)其他位值方面內(nèi)容提供了較為扎實(shí)的基礎(chǔ)；其次是群組知識(shí)，大部分學(xué)生能夠熟練掌握“滿十進(jìn)一”的算法，并且知道十進(jìn)制有著“習(xí)慣、便捷、繼承古代計(jì)數(shù)”的優(yōu)點(diǎn)，但大多數(shù)學(xué)生只停留在口中，不明白十進(jìn)制的真正意義，很多學(xué)生都以“2、3、5、9”等進(jìn)行分組；接著是分割知識(shí)，學(xué)生善于抽象數(shù)字的典型與非典型分割，但與實(shí)際問題相結(jié)合容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，說明學(xué)生還不理解這部分內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)意義，大多是靠算法來支撐；最后是數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)，學(xué)生對(duì)于知識(shí)掌握表面化，僅改變問題的形式，就導(dǎo)致考察同樣知識(shí)點(diǎn)的題目有了不同的結(jié)果?；跀?shù)的運(yùn)算內(nèi)容，二年級(jí)學(xué)生對(duì)于位值概念理解各維度均值由高到低排序?yàn)椋杭臃ǔＲ?guī)問題、減法常規(guī)問題、加法非常規(guī)問題、減法非常規(guī)問題，說明學(xué)生對(duì)于加法運(yùn)算掌握較好，而對(duì)于逆運(yùn)算減法掌握存在較多困難，并且更習(xí)慣于常規(guī)問題的呈現(xiàn)方式，對(duì)于非常規(guī)問題并未建立起數(shù)學(xué)思維。

(二)低年級(jí)小學(xué)生對(duì)位值概念理解錯(cuò)誤的類型

通過對(duì)問卷調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，根據(jù)位值內(nèi)容的劃分依據(jù)，低年級(jí)小學(xué)生對(duì)位值概念理解主要出現(xiàn)以下五種類型的錯(cuò)誤：

1.位置知識(shí)錯(cuò)誤

這種類型錯(cuò)誤率相對(duì)較小，主要表現(xiàn)為有很少一部分學(xué)生不能準(zhǔn)確無誤地知道個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、百位數(shù)所代表的數(shù)字，對(duì)于哪個(gè)數(shù)字在個(gè)、十、百數(shù)哪個(gè)數(shù)位上還存在問題，給出位名所代表的數(shù)字，學(xué)生不能準(zhǔn)確寫出組合數(shù)字，對(duì)于數(shù)的大小和排序的比較上還存在問題。學(xué)生對(duì)于數(shù)位、數(shù)字、數(shù)量的對(duì)應(yīng)過程掌握不佳，對(duì)于題目的理解僅停留在表面，并未意識(shí)到位置不同，決定的數(shù)值也不一樣，因而作答錯(cuò)誤較多以及學(xué)生對(duì)組合數(shù)字?jǐn)?shù)位意義的掌握還不夠扎實(shí)。此外，學(xué)生對(duì)于“0”的意義理解不清，“0”不僅可以表示為數(shù)字，意為“沒有”；“0”還可以做占位符號(hào)。雖然十位上為“0”，但并不意味著十位上沒有數(shù)字，很多學(xué)生卻忽視了“0”可以作占位符號(hào)。

2.群組知識(shí)錯(cuò)誤

主要指學(xué)生對(duì)于不同數(shù)位之間的單位轉(zhuǎn)換存在問題，尤其是不相鄰單位換算，如1個(gè)百=100個(gè)一。學(xué)生不能明確相鄰單位呈現(xiàn)10的次方關(guān)系，比如對(duì)于10個(gè)一=1個(gè)十，10個(gè)十=1個(gè)百。“1個(gè)十”換成“10個(gè)一”為高階向低階轉(zhuǎn)換，“10個(gè)一”換成“1個(gè)十”為低階向高階轉(zhuǎn)換，學(xué)生不能理解其中數(shù)值不變，單位發(fā)生了改變。學(xué)生對(duì)群組知識(shí)的掌握水平偏低，說明其對(duì)高低單位關(guān)系的轉(zhuǎn)換，以及轉(zhuǎn)換后數(shù)值變化的掌握不佳，群組知識(shí)的學(xué)習(xí)有待加強(qiáng)。訪談過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握僅停留在表面，極容易受題目提問方式和迷惑選項(xiàng)的影響，說明其對(duì)知識(shí)本身并沒真正理解。

3.分割知識(shí)錯(cuò)誤

根據(jù)數(shù)字所在位置，進(jìn)行不同單位之間轉(zhuǎn)換以及數(shù)的分解與組成(非普遍分割模式、最普遍分割模式)出現(xiàn)錯(cuò)誤，說明學(xué)生對(duì)數(shù)位轉(zhuǎn)換并沒有準(zhǔn)確掌握。其中學(xué)生對(duì)非典型分割下的數(shù)字轉(zhuǎn)換為常規(guī)數(shù)字出現(xiàn)錯(cuò)誤率較高，并且與計(jì)數(shù)器相聯(lián)系時(shí)出現(xiàn)困難。

4.數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)錯(cuò)誤

此類錯(cuò)誤率最高，學(xué)生無法辨別多位數(shù)中個(gè)別數(shù)字所代表的數(shù)值的知識(shí)(圖像)，辨別多位數(shù)中個(gè)別數(shù)字所代表的數(shù)值的知識(shí)(文字)能力弱，說明學(xué)生對(duì)于數(shù)字所在位值進(jìn)行單位間的轉(zhuǎn)換，以及進(jìn)行“數(shù)”的分解與組成知識(shí)的整體表現(xiàn)較差。

5.運(yùn)算性錯(cuò)誤

是指在答題過程中，已經(jīng)找出問題與已知條件的邏輯關(guān)系，在列式和進(jìn)行計(jì)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，一方面是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于此類題目不熟悉，另一方面是計(jì)算掌握不佳。學(xué)生運(yùn)算性錯(cuò)誤占較大比例，達(dá)到30.57%，運(yùn)算性錯(cuò)誤主要包括列式錯(cuò)誤、計(jì)算方式出現(xiàn)錯(cuò)誤等方面，說明學(xué)生出現(xiàn)列式困難、無法將題意與問題連結(jié)以及濫用已知條件。計(jì)算方式出現(xiàn)錯(cuò)誤較多，首先口算出現(xiàn)錯(cuò)誤最多，其次是脫式計(jì)算，比較而言，豎式計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤較少，說明學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)運(yùn)算仍然存在一定的問題。

三、影響低年級(jí)小學(xué)生位值概念理解的主要因素

通過調(diào)查顯示，影響低年級(jí)小學(xué)生對(duì)位值概念理解的主要因素包括三個(gè)方面：位值概念結(jié)構(gòu)、教科書內(nèi)容和教師教學(xué)。

(一)位值概念結(jié)構(gòu)

位值是計(jì)數(shù)系統(tǒng)中的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)數(shù)感的重要途徑，它簡化并規(guī)范了數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)和運(yùn)算方式，但其內(nèi)容最初理解相對(duì)抽象，尤其是面對(duì)處于具體形象思維階段的小學(xué)生，這就意味著早期位值內(nèi)容的教學(xué)充滿挑戰(zhàn)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握不具備系統(tǒng)性，因此對(duì)于位值概念的理解也較為模糊?？梢詮挠?jì)數(shù)知識(shí)、數(shù)概念和數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)來看位值概念的對(duì)學(xué)生理解的挑戰(zhàn)性。

1.計(jì)數(shù)知識(shí)。對(duì)于大小、顏色等認(rèn)識(shí)可以通過各種感官進(jìn)行直接感知，但是對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)需要進(jìn)行由具體到抽象、再由抽象返回具體的過程，因?yàn)閿?shù)并不是某個(gè)東西的名稱，而是對(duì)于事物之間的邏輯關(guān)系。在此過程中，學(xué)生在理解對(duì)應(yīng)、系列、包含等邏輯關(guān)系后才能夠進(jìn)行正確的計(jì)數(shù)。通過計(jì)數(shù)的學(xué)習(xí)，逐漸學(xué)會(huì)數(shù)的表示，再通過數(shù)的表示去理解數(shù)的意義，所以理解數(shù)的意義的整個(gè)過程對(duì)于學(xué)生來說較為復(fù)雜。

2.數(shù)概念。皮亞杰認(rèn)為數(shù)作為一種邏輯數(shù)學(xué)知識(shí)，是指利用心智將事物之間的關(guān)系建構(gòu)起來，來源于構(gòu)建式和沉思式的抽象。(12)Jean Piaget.Cognitive Development in Children.Journal of Research in Science Teaching, Research Gate. net.1964,p.428.國內(nèi)有學(xué)者研究認(rèn)為數(shù)概念主要包括數(shù)的前置概念、數(shù)的起始概念、內(nèi)嵌數(shù)概念、合成巢狀數(shù)和測(cè)量單位數(shù)五個(gè)方面的內(nèi)容，因此，首先要處理學(xué)生的合成、分解、比較等問題；其次，注重?cái)?shù)列和分類的特征；再次，更加重視連續(xù)性，明白整體和部分的關(guān)系；最后是強(qiáng)調(diào)學(xué)生由部分向整體的轉(zhuǎn)化，更加清晰“十”與“一”的結(jié)構(gòu)關(guān)系。各個(gè)層面都較為抽象，并且要在前面理解消化后進(jìn)入后一個(gè)層面才能夠有效進(jìn)行，環(huán)環(huán)相扣。

3.數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)。位值概念主要從數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算兩方面來展開，數(shù)與運(yùn)算可以幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)感，從而運(yùn)用靈活的方法去做出數(shù)學(xué)判斷，解決復(fù)雜問題，因此需要間接促進(jìn)學(xué)生對(duì)位值的理解，能夠判定不同的算術(shù)運(yùn)算，有能力進(jìn)行計(jì)算，并具有選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如心算、筆算、使用計(jì)算器)實(shí)施計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)過程比較艱難。

因此根據(jù)對(duì)計(jì)數(shù)知識(shí)、數(shù)概念和數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)三方面的分析，可知位值內(nèi)容本身的難度與抽象程度，是導(dǎo)致學(xué)生解題困難的一大原因，位值內(nèi)容不利于低年級(jí)心智水平較弱的學(xué)生掌握。根據(jù)學(xué)生在解題方面的表現(xiàn)可以看出，學(xué)生對(duì)于計(jì)數(shù)知識(shí)、數(shù)概念和位值概念等概念性理解不佳，大多是通過記憶算法和形式，對(duì)于位值概念和算理的理解有限，并未對(duì)知識(shí)有根本性理解，大多停留在表面記憶的層面。

(二)教科書內(nèi)容

位值內(nèi)容并不是精確地歸結(jié)為某一部分，而是滲透于數(shù)學(xué)的方方面面，教科書編排數(shù)認(rèn)識(shí)這部分知識(shí)時(shí)，主要通過數(shù)的意義、多元表征、大小與排列組合、數(shù)字對(duì)應(yīng)組合來滲透學(xué)生對(duì)于位值內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)應(yīng)了問卷調(diào)查的四個(gè)維度：位置知識(shí)、群組知識(shí)、分割知識(shí)和數(shù)字對(duì)應(yīng)知識(shí)。很顯然教科書暗線滲透的培養(yǎng)目標(biāo)要求學(xué)生掌握數(shù)的不同意義、數(shù)的多元表征方式以及數(shù)與數(shù)位、數(shù)級(jí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系等。教科書作為教師教學(xué)的主要內(nèi)容，其中介作用顯得尤為重要，教科書的目標(biāo)要求過于遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，而對(duì)于教師教學(xué)并非具有可操作性，導(dǎo)致教學(xué)實(shí)施效果不佳；其次不同版本教科書的編排結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)方式不同，因此對(duì)于學(xué)生教學(xué)的側(cè)重也有所不同。例如，人教版“11—20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”在讀數(shù)與寫數(shù)的過程中滲透著數(shù)位“十”和“一”的學(xué)習(xí)，開始引入計(jì)數(shù)器，將小棒、計(jì)數(shù)器與數(shù)字相對(duì)應(yīng)。在學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識(shí)過程中涉及數(shù)的組成，兩位數(shù)中數(shù)的組成就是由幾個(gè)十和幾個(gè)一組成，更進(jìn)一步鞏固了數(shù)位的學(xué)習(xí)。在數(shù)的順序和比較大小中，學(xué)生能夠根據(jù)計(jì)數(shù)器中不同數(shù)位中的個(gè)數(shù)，來判斷大小。在數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容學(xué)習(xí)中，通過數(shù)字在不同數(shù)位上進(jìn)行搭配，可以組成不同的數(shù)，也進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)于位值的理解。北師版教材滲透較多位值內(nèi)容，從一年級(jí)就以古人計(jì)數(shù)的方式去滲透1顆大石頭代表十，一顆小石頭代表一，1根豎條代表十，1根橫條代表一，以找規(guī)律的方式向?qū)W生滲透十進(jìn)制的思想，為以后的正式位值概念學(xué)習(xí)做鋪墊。北師版重視多元表征的展現(xiàn)，除了古人計(jì)數(shù)以外，還呈現(xiàn)珠子、積木、木棒和計(jì)數(shù)器，都在說明共同的特點(diǎn)，即十個(gè)為一組的特征。

不同的編排結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)方式對(duì)于學(xué)生存在影響。比如，教科書結(jié)構(gòu)偏向于縱向型內(nèi)容，每一單元內(nèi)容都是通過單純的知識(shí)點(diǎn)陳列出來，各節(jié)內(nèi)容之間會(huì)呈現(xiàn)孤立狀態(tài)，某種程度上割裂了知識(shí)的整體性；對(duì)于內(nèi)容編排過于緊湊，導(dǎo)致學(xué)生沒有消化的時(shí)間，但也可能存在著很多學(xué)生過渡困難，影響學(xué)生以往認(rèn)知，導(dǎo)致數(shù)的運(yùn)算掌握不佳。在教科書編排內(nèi)容方面，劃分較粗略，一年級(jí)安排較少內(nèi)容，導(dǎo)致二年級(jí)運(yùn)算內(nèi)容過多，教科書內(nèi)容分配使學(xué)生難以達(dá)到最近發(fā)展區(qū)，不利于其對(duì)于運(yùn)算內(nèi)容的掌握等。

(三)教師教學(xué)

凱米(Kamii,C.)(13)Kamii, C..Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget’s Theory.Books.google.com.1999，p.323.認(rèn)為數(shù)概念的理解取決于學(xué)生是否了解數(shù)字位值，即不同數(shù)位的意義，并能夠再構(gòu)建出相似系統(tǒng)。通過數(shù)數(shù)、記數(shù)多少可以抽象出數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,如大小、順序、分解與組合等，概括出數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，對(duì)數(shù)運(yùn)算的意義及運(yùn)算律的理解也需要與實(shí)際背景相聯(lián)系。這些條件的滿足很大程度上取決于教師的知識(shí)水平與教學(xué)策略。

第一，教師的位值認(rèn)知水平具有顯著差異，很多教師知其然不知其所以然。雖然教師在課堂中都能進(jìn)行位值內(nèi)容的教學(xué)，但是對(duì)于位值的理解程度有限，僅限于認(rèn)識(shí)到理解位值能為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，但沒能準(zhǔn)確和清晰地解釋位值含義。

第二，教師在實(shí)際教學(xué)中都普遍重視位值概念的教學(xué)，也認(rèn)識(shí)到位值概念的地位和重要作用，但不同教師的教學(xué)理念和教學(xué)方法也是不同的，大多數(shù)教師按照自己對(duì)于位值知識(shí)的理解和網(wǎng)上教學(xué)資源，以及教師參考用書的輔助，去進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，缺乏對(duì)位值概念本身的求知與探索，以及自身對(duì)于學(xué)科知識(shí)的理解，認(rèn)知水平呈現(xiàn)窄而淺的特點(diǎn)，導(dǎo)致位值內(nèi)容的教學(xué)策略與方法也比較單一。