朱 莉

（南通職業(yè)大學(xué) 公共教學(xué)部，江蘇 南通 226007）

輪廓儀是一種兩坐標(biāo)測量儀器，其工作原理是：探針接觸被測工件表面并勻速滑行，傳感器針對被測表面的幾何變化，在X（水平）和Z（豎直）方向分別采樣，并轉(zhuǎn)換成電信號，該電信號經(jīng)放大等環(huán)節(jié)處理，轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，以坐標(biāo)的形式儲存在數(shù)據(jù)文件中。在理想狀況下，輪廓曲線應(yīng)是光滑的，但由于接觸式輪廓儀存在探針沾污或缺陷、掃描位置不準(zhǔn)等問題，檢測到的輪廓曲線出現(xiàn)粗糙不平的情況，這給工件形狀的準(zhǔn)確標(biāo)注帶來影響。

為簡化問題，假設(shè)被測工件的輪廓線是由直線和圓弧構(gòu)成的平面曲線。2020高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM）D題要求，建立數(shù)學(xué)模型，針對附件1—附件4[1]所提供的輪廓儀測量數(shù)據(jù)，進(jìn)行建模分析，精準(zhǔn)計算各項參數(shù)，獲取相應(yīng)的輪廓圖，完成文獻(xiàn)[1]的問題1—4的研究。

1 問題1 數(shù)據(jù)定位與測量、擬合模型

問題1要求[1]：針對附件1的工件1在水平狀態(tài)下的測量數(shù)據(jù)，分析其輪廓線，計算其各項參數(shù)。

1.1 用畫圖軟件畫出工件1的輪廓圖

圖1所示工件1的輪廓圖由24段曲（直）線構(gòu)成，A2~A24表示各段的分界點，A1、A25為起訖點，其中A3、A4、A7、A8、A11、A12是斜線與圓弧的切點，不太容易在圖中辨識。

圖1 工件1在水平狀態(tài)下測量的輪廓線

輪廓示意圖并不反映其實際尺度。將附件1表level的數(shù)據(jù)（Xj，Z）j（j是數(shù)據(jù)序號）導(dǎo)入畫圖軟件（AutoCAD[2]或MATLAB），可立即生成反映實際尺度的工件1輪廓線（簡稱真實圖）。為了求得輪廓線的各項參數(shù)值，需要確定A1~A25在表level中的數(shù)據(jù)序號。

設(shè)Ai對應(yīng)的數(shù)據(jù)序號為n（ii=1~25），已知表level中的首尾序號為n1=2，n25=143 044。利用畫圖軟件的測量功能，在真實圖中測得Ai的坐標(biāo)（ai，h）i（i=1~25）。由比例關(guān)系可得

1.2 用畫圖軟件測量、計算各項參數(shù)

利用畫圖軟件的測量功能，可直接測得真實圖中的橫向長度和縱向長度。因此，槽口寬度、水平線段長度x1~x13以及人字形線高度z1都可直接測得，如圖1。人字形斜線長度和斜線夾角∠7、∠8可直接測量，也可按下式計算：

在AutoCAD中，測得的長度即實際長度；在MATLAB中，測得的長度是像素，需要按比例換算成實際長度。換算比例η（每個像素對應(yīng)的實際長度）按下式計算：

其中，Xn1、Xn25為表level中的首末橫坐標(biāo)值，與點A1、A25相對應(yīng)。

對于圖1右邊的4條圓?。▓A弧4—圓弧7），半徑和弧長計算可參看圖2。測得圓弧的橫向?qū)挾?a和縱向高度h后，由勾股定理及弧長公式，可算得半徑R與弧長S：

圖2 待求圓弧的半徑和弧長

注意：由此算得的R與S，還需按式（2）換算為實際長度。同理，下文所得其他長度也要換算。

對于圖1左邊的3個斜槽，需計算斜線長度和夾角、底圓弧的半徑和弧長等。最左邊的斜槽如圖3所示，O1為圓弧的圓心，F(xiàn)為斜線延長線的交點，其各項參數(shù)計算過程如下：

圖3 求斜槽的相關(guān)參數(shù)值示意

鑒于切點A3、A4不易準(zhǔn)確辨識，可在其上方測得點A3′、A4′的坐標(biāo)（a3′，h3′）、（a4′，h4′），由此求得斜線A2A3、A4A5與水平線夾角的正切值：

進(jìn)而求得圖1中的夾角：∠1=π-arctan k1，∠2=π-arctan k2。

另2個斜槽的底圓弧半徑Rt、弧長St（t=2，3）、斜邊夾角∠t、斜邊長度L（tt=3，4，5，6）及槽口寬度的分劃λt、μ（tt=2，3）都可類似求得。

圖1顯示，圓心距c（tt=1~6）等于相鄰槽口的分劃之和（右邊4個圓弧的槽口分劃都是槽口寬度的一半），再加上兩槽口間的水平距離。具體計算式如下：

1.3 用曲線擬合法求各項參數(shù)

用畫圖軟件測量長度和點坐標(biāo)，需將光標(biāo)準(zhǔn)確放到相關(guān)點處，針對鋸齒形線條手動操作，難免產(chǎn)生誤差。

更精確的辦法是直接利用表level的坐標(biāo)數(shù)據(jù)（Xj，Zj）（j=n1~n25）計算各項參數(shù)。具體做法是，將表中143 043對數(shù)據(jù)分為24段，以此為樣本分別擬合各段曲（直）線方程，再通過聯(lián)立方程求出相關(guān)交點，進(jìn)而計算所需的各項參數(shù)。

根據(jù)式（1）求得點Ai對應(yīng)的數(shù)據(jù)序號n（ii=1~25），做出序號分段，第i段序號為：n

i~ni+（1i=1，2，…，24）。

這些號段的序號數(shù)目成千上萬，為避免分界點歸屬的爭議，可掐頭去尾，建立序號集：

Ji=（{ni+c）i~（ni+1-d）i（}i=1，2，…，24），

選定ci，d（ii=1~24），所選數(shù)值以避開分界點為度，一般不超過200。這樣掐頭去尾后，樣本容量仍然成千上萬，不會影響曲線擬合的有效性。

在工件1的輪廓圖中，有9個直線段處于同一水平線上（參看圖1），可予以合并，即令

對第i=3，7，11，17，19，21，23段，以（{Xj，Z）jj∈Ji}為樣本，分別擬合圓（共7個）

曲線擬合可用相關(guān)軟件，也可在MATLAB中編程實現(xiàn)[3]。有了曲（直）線方程（7）、（8）、（9），就可用代數(shù)方法求出交點Ai（i=2，3，…，24）的坐標(biāo)，再加上式（9）確定的7個圓的半徑和圓心坐標(biāo)，不需要1.2節(jié)的復(fù)雜公式，即可方便地計算各項參數(shù)。

2 問題2 水平校正的坐標(biāo)變換模型

同一工件在不同次測量時，由于工件放置的角度和位置不同，輪廓線參數(shù)的計算值也會存在差異。問題2要求，針對附件1給出的工件輪廓線測量數(shù)據(jù)，計算其傾斜角度，并作水平校正后，計算其參數(shù)，比較兩種測量狀態(tài)下工件各項參數(shù)計算值間的差異。

2.1 傾斜輪廓圖的水平校正

將附件1表down的數(shù)據(jù)導(dǎo)入畫圖軟件（AutoCAD或MATLAB），可立即生成工件1的輪廓圖，該輪廓圖是傾斜的，需作水平校正。

運用1.1節(jié)的方法，測量分界點和端點A1~A25的坐標(biāo)，按式（1）確定與表down中數(shù)據(jù)對應(yīng)的序號ni，其中n1=2，n25=141 585。再按式（6）構(gòu)設(shè)斜線指標(biāo)集J，抽取表down中的數(shù)據(jù)（{Xj，Z）jj∈J}作為樣本，擬合成直線z=kx+b。

為了厘清關(guān)系，將表down中序號為j的數(shù)據(jù)（Xj，Zj）記為點Pj（j=n1~n25），其中Pn1=A1是起始點，Pn25=A25是末位點。直線z=kx+b上與Pj橫坐標(biāo)相同的點記為Qj（Xj，kXj+b）。雖然Pj（j∈J）參與直線z=kx+b的擬合，但Pj（j∈J）未必恰在直線上，Qj才在直線上。

擬合所得的斜率k體現(xiàn)工件測量時的傾斜程度，傾斜角為β=arctan k。

水平校正采用旋轉(zhuǎn)法，將直線z=kx+b旋轉(zhuǎn)β角到水平位置（k>0時順時針轉(zhuǎn)β角，k<0時逆時針轉(zhuǎn)β角）。旋轉(zhuǎn)中心的選擇非常關(guān)鍵，必須選取處于直線z=kx+b上的點作為旋轉(zhuǎn)中心，才能將該斜線轉(zhuǎn)平。因為整個圖形都要旋轉(zhuǎn)，所以涉及坐標(biāo)變換。具體操作如圖4所示，設(shè)C（x，z）為

圖4 旋轉(zhuǎn)變換示意

旋轉(zhuǎn)中心并非一定要選起始點Q2，也可選直線z=kx+b上的其他點Q（X，kX+b）（橫坐標(biāo)X可任意選定）。此時只需將式（10）中X2的換成X，即可得到相應(yīng)的坐標(biāo)變換式。

將表down的數(shù)據(jù)（Xj，Z）j代入坐標(biāo)變換式（10）的右邊，得到新的坐標(biāo)（Xj′，Zj′）。再將變換后的全部數(shù)據(jù)（{Xj′，Zj′）j=n1~n25}導(dǎo)入畫圖軟件（AutoCAD或MATLAB），即可生成水平校正后的工件1輪廓圖。

2.2 水平校正后輪廓圖的各項參數(shù)

對于水平校正后的輪廓圖，可運用1.2節(jié)的方法，求出槽口寬度與水平線段長度x1~x13、人字形線高度z1、圓弧半徑R1~R7、圓弧長度S1~S7、斜線長度L1~L8、夾角∠1~∠8、圓心距c1~c6等各項參數(shù)。

也可運用1.3節(jié)的方法求出各項參數(shù)。因為用于水平校正的坐標(biāo)變換（10）不改變數(shù)據(jù)序號，所以2.1節(jié)中獲得的指標(biāo)集J（ii=1~24）依然有效，且水平線z=z0已經(jīng)得到，只需按式（8）、（9）擬合斜線和圓即可。

計算所得參數(shù)與問題1的結(jié)果基本相同。這是因為圖形的整體旋轉(zhuǎn)不會改變圖形的形狀和尺度，有一些小的差別是由于測量誤差或計算誤差所致。

3 問題3 校平比對模型

在對工件作多次檢測時，每次測量實際是對整個工件中的某一部分進(jìn)行局部檢測。問題3要求針對文獻(xiàn)[1]給出的工件2的10次測量數(shù)據(jù)，計算其傾斜角度和各項參數(shù)，并畫出完整輪廓線。

3.1 工件2輪廓圖的水平校正

附件2有10張表，分別將其數(shù)據(jù)導(dǎo)入畫圖軟件后，生成10張工件2的輪廓線，這些輪廓線大同小異。相同的是左邊都有兩段處于同一直線上的斜線（表明測量時的傾斜度），兩段斜線之間有一段圓弧，右邊是折線狀的角型圖；不同的是輪廓線兩端的缺失有多有少，可相互補充。

接下來利用擬合所得的參數(shù)k、b及自行選定的橫坐標(biāo)X，按式（10）實施坐標(biāo)變換：

其中，每張圖的坐標(biāo)數(shù)據(jù)（Xj，Z）j、擬合直線參數(shù)k和b、末位數(shù)據(jù)序號n等，都各不相同。對于每張表，將變換后的全部數(shù)據(jù)（{Xj′，Zj′）j=2~n}導(dǎo)入畫圖軟件，即可生成各自經(jīng)水平校正的輪廓圖。

3.2 畫出工件2的完整輪廓線

分析上述10張經(jīng)水平校正的輪廓圖，比對其中2張圖（如移動圖形使之盡量重合），便可看出明顯不合理的部分（測量誤差所致）以及兩端缺失情況。

在10張圖中取一張作為基準(zhǔn)（建議取左端起始部分最完整的圖），依次與另9張圖進(jìn)行比對，逐步修正不合理的部分，添補缺失的部分。經(jīng)9次修補，即可得到工件2的完整輪廓線。

然后用1.2節(jié)的測量法或1.3節(jié)的擬合法，求出輪廓線的各項參數(shù)。若用1.3節(jié)的擬合法，擬合前尚需將修補所用的數(shù)據(jù)（點）作適當(dāng)平移，并調(diào)整相應(yīng)的序號集。

4 問題4 局部修正的求解謀劃

為了更準(zhǔn)確地標(biāo)注工件2的各項參數(shù)，問題4要求利用附件3、4提供的工件2關(guān)于圓和角的9次局部測量數(shù)據(jù)，修正問題3的結(jié)論，并進(jìn)一步修正工件2的完整輪廓線。

4.1 圓弧局部的進(jìn)一步修正

附件3有9張表，均為工件2輪廓線中左部兩段直線夾圓弧的局部測量數(shù)據(jù)。對于每張表，分別采用3.1節(jié)的方法，擬合直線z=kx+b，利用獲得的參數(shù)值k和b，實施坐標(biāo)變換，將變換所得數(shù)據(jù)導(dǎo)入畫圖軟件，可生成9張經(jīng)水平校正的兩線夾圓弧局部輪廓圖。

用3.2節(jié)的方法比對上述9張圖，修正明顯不合理的部分，得到最準(zhǔn)確的局部輪廓圖，再用其替換3.2節(jié)所得完整輪廓線中兩線夾圓弧的局部，實現(xiàn)對圓弧局部的進(jìn)一步修正。

4.2 角型局部的進(jìn)一步修正

附件4也有9張表，均為工件2輪廓線中右部折線狀角型局部的測量數(shù)據(jù)。將9張表的數(shù)據(jù)分別導(dǎo)入畫圖軟件，生成9張工件2的角型局部輪廓線。結(jié)果表明，9張圖形狀類似，左部都有一直線段。

和4.1節(jié)一樣，經(jīng)直線擬合、坐標(biāo)變換，生成9張經(jīng)水平校正的角型局部輪廓圖。然后比對這9張圖，修正明顯不合理的部分，得到最準(zhǔn)確的角型局部輪廓圖。再用其替換4.1節(jié)得到的經(jīng)圓弧修正后的完整輪廓線中折線狀的局部，便實現(xiàn)了對角型局部的進(jìn)一步修正。