從對(duì)數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的強(qiáng)調(diào)，到課堂中數(shù)學(xué)史的應(yīng)用，短短十余載，中國(guó)的HPM在實(shí)踐與理論的互動(dòng)中，形成了以共同體支持下的HPM課例開發(fā)為核心的教學(xué)實(shí)踐與教師專業(yè)發(fā)展的特色之路。本刊曾在2018年、2019年連續(xù)兩年以專題的形式刊登華東師范大學(xué)、杭州師范大學(xué)HPM團(tuán)隊(duì)有關(guān)HPM研究的專題，引起了數(shù)學(xué)教育學(xué)者、小學(xué)數(shù)學(xué)一線教師的廣泛關(guān)注，產(chǎn)生了極大的反響。近幾年，杭州師范大學(xué)岳增成博士組建了HPM共同體，對(duì)小學(xué)HPM的核心議題進(jìn)行深度研究，取得了可喜的成果。本刊特刊發(fā)他們最新的研究成果以及其他HPM研究者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，以期能為一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師更好地實(shí)踐、研究HPM帶來啟發(fā)。

【摘? ?要】盡管小學(xué)HPM還存在一定的問題，但HPM與教育的互動(dòng)極大地帶動(dòng)了小學(xué)HPM的發(fā)展。小學(xué)HPM在理論輻射、價(jià)值認(rèn)知、使用方式、內(nèi)容載體、實(shí)施空間、理論聯(lián)結(jié)、研究范式等方面涌現(xiàn)出了新的動(dòng)態(tài)，這為小學(xué)HPM的實(shí)踐與研究帶來了新的增長(zhǎng)點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】HPM;新動(dòng)態(tài);增長(zhǎng)點(diǎn)

一、引言

數(shù)學(xué)史向人們呈現(xiàn)的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷程，還有隱藏在數(shù)學(xué)背后的文化內(nèi)涵。因此，在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史不僅能夠呈現(xiàn)知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助，還能展現(xiàn)德育之效、文化之魅，這與四基、四能、核心素養(yǎng)、情感態(tài)度價(jià)值觀等課程改革的理念相吻合，也是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的重要舉措。數(shù)學(xué)史在小學(xué)尤其受到重視：各個(gè)版本教材中均編入了數(shù)學(xué)史素材，有些還開辟了固定欄目，比如人教版教材中的“你知道嗎”;越來越多的教師在課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)史也成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的重要內(nèi)容和小學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的重要載體。盡管，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM）在小學(xué)教學(xué)中還存在一些問題，如教育取向的數(shù)學(xué)史匱乏，實(shí)踐中出現(xiàn)“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”的現(xiàn)狀，實(shí)證研究不足，研究含量不高，但基數(shù)龐大的小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HPM實(shí)踐，新的教育理念和理論的不斷涌現(xiàn)，課程改革的不斷推進(jìn)，極大地促進(jìn)了小學(xué)HPM的發(fā)展，引發(fā)了小學(xué)HPM發(fā)展的新動(dòng)態(tài)。而這些新動(dòng)態(tài)很可能成為未來小學(xué)HPM實(shí)踐與研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行梳理將有助于小學(xué)HPM的實(shí)踐與研究走向深處。

二、小學(xué)HPM新動(dòng)態(tài)

（一）理論輻射

中國(guó)的HPM發(fā)展經(jīng)歷了“自下而上”與“自上而下”兩個(gè)階段：發(fā)軔于中學(xué)，HPM研究者與中學(xué)教師在合作開發(fā)案例的過程中，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，升華理論;發(fā)展于中小學(xué)，將本土化的HPM理論應(yīng)用于中小學(xué)教學(xué)，促進(jìn)了HPM的快速發(fā)展。在小學(xué)階段，HPM理論的輻射主要表現(xiàn)在對(duì)象、形式、地域三個(gè)方面。

1.輻射對(duì)象：從個(gè)體行為走向共同體行動(dòng)

HPM的發(fā)展是一個(gè)團(tuán)隊(duì)不斷壯大的過程，其理論輻射的對(duì)象經(jīng)歷了由少到多、由個(gè)體到共同體的過程。HPM發(fā)展的早期，在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史是教師的個(gè)體行為，或是HPM研究者與少數(shù)幾個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教師間的合作，這種合作就是研究者所說的配合或協(xié)助性合作、互利共棲合作（他們將合作分為三個(gè)層次：配合或協(xié)助性合作、互利共棲合作和有機(jī)一體性合作[1]），小學(xué)數(shù)學(xué)教師配合高校教師的HPM研究，HPM研究者協(xié)助小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行運(yùn)用數(shù)學(xué)史的實(shí)踐。但隨著HPM理論的完善、HPM理念的傳播與數(shù)學(xué)文化受重視程度的加大，越來越多的小學(xué)數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生全面發(fā)展的重要作用，他們開始以學(xué)科組為單位進(jìn)行HPM校本研修，以名師工作室為單位進(jìn)行HPM課題研究，與HPM研究者進(jìn)行有機(jī)一體性合作，合作雙方有著共同的目標(biāo)，切實(shí)促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。近幾年，新型HPM共同體出現(xiàn)，一些地區(qū)與高校HPM研究者、一線名師緊密合作，按照“區(qū)域推進(jìn)、名師領(lǐng)銜與課題引領(lǐng)、課題研究與校本研修”的模式，大范圍、有深度、有層次地借助HPM推動(dòng)地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革，助力教師專業(yè)成長(zhǎng)與學(xué)生深度學(xué)習(xí)之間的雙向互動(dòng)。

2.輻射形式：從線下走向線下、線上相結(jié)合

HPM的發(fā)展也是一個(gè)形式趨于多元的過程，其理論輻射的形式從線下走向了線下、線上相結(jié)合。HPM發(fā)展的初期，相關(guān)人員聚焦課堂教學(xué)，通過課例研究解決教學(xué)難題，驗(yàn)證數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。此時(shí)，HPM的受眾較少，且在小學(xué)階段“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”、知易行難，致使落實(shí)HPM理念陷入困境。此后，HPM研究者通過定期舉行研討會(huì)、創(chuàng)辦相關(guān)刊物、發(fā)表學(xué)術(shù)論文、開展教師培訓(xùn)等常規(guī)形式傳播理念，HPM的受眾逐漸增加，但這些與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)相剝離的形式，并未從本質(zhì)上解決上述困境。理論的輻射形式，既要扎根于教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)，又要增加受眾。2020年新冠疫情的爆發(fā)為輻射形式的創(chuàng)新提供了契機(jī)，網(wǎng)絡(luò)研修與課例研究相結(jié)合成為HPM理論輻射強(qiáng)有力的形式：在HPM研究團(tuán)隊(duì)的支持下，網(wǎng)絡(luò)共同體全員經(jīng)歷課例研究的全過程，但與線下相比，成員需先經(jīng)歷多輪的設(shè)計(jì)與準(zhǔn)備、設(shè)計(jì)與研討、案例教學(xué)，掌握將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的技能，隨后成員分組進(jìn)行HPM課例研究，選題與準(zhǔn)備、設(shè)計(jì)與研討線上進(jìn)行，實(shí)施與反饋環(huán)節(jié)在各個(gè)成員所在學(xué)校開展，最后全員進(jìn)行交流研討。

3.輻射地域：從江浙滬走進(jìn)少數(shù)民族地區(qū)

HPM的發(fā)展還是一個(gè)區(qū)域不斷擴(kuò)大的過程，其理論輻射的地域從江浙滬逐漸走向少數(shù)民族地區(qū)。HPM的理論與實(shí)踐研究較早在江浙滬地區(qū)展開，華東師范大學(xué)汪曉勤教授領(lǐng)銜的高校HPM研究團(tuán)隊(duì)、江蘇名師蔡宏圣領(lǐng)銜的啟東團(tuán)隊(duì)、浙江名師邵漢民領(lǐng)銜的蕭山團(tuán)隊(duì)在小學(xué)HPM領(lǐng)域進(jìn)行了卓有成效的探索，有力地推動(dòng)了HPM的實(shí)踐與理論的發(fā)展。且隨著研討會(huì)、學(xué)術(shù)論文、教師培訓(xùn)等常規(guī)理念傳播活動(dòng)的開展，線上與線下相結(jié)合創(chuàng)新形式的繼續(xù)推進(jìn)，HPM開始在越來越多的地方生根發(fā)芽。近幾年，云南、新疆、貴州、西藏、四川等地也先后出現(xiàn)了小學(xué)HPM研究團(tuán)隊(duì)?？梢?，HPM理論輻射的地域越來越多，將讓更多的小學(xué)數(shù)學(xué)教師和小學(xué)生受益。

（二）價(jià)值認(rèn)知：從重視數(shù)學(xué)史的工具價(jià)值到工具、目標(biāo)價(jià)值的兼顧

信念與實(shí)踐相互影響。小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)大致經(jīng)歷了三個(gè)階段：第一階段，激勵(lì)因素與人格啟迪。教師認(rèn)為數(shù)學(xué)史能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的民族認(rèn)同感，數(shù)學(xué)家的故事能夠啟迪人格。因此，此階段教師通常以附加的形式介紹數(shù)學(xué)家的事跡，特別是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的成就，將數(shù)學(xué)史作為課堂引入開展教學(xué)，比如祖沖之對(duì)圓周率的計(jì)算，等等。第二階段，認(rèn)知工具。將數(shù)學(xué)史與教學(xué)重點(diǎn)的突出、教學(xué)難點(diǎn)的突破相結(jié)合，將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的理解相結(jié)合，比如出入相補(bǔ)在面積推導(dǎo)中的應(yīng)用，在一定程度上解決了數(shù)學(xué)史與現(xiàn)有考試評(píng)價(jià)關(guān)聯(lián)不強(qiáng)的矛盾。這是HPM發(fā)展的極大飛躍，正是由于數(shù)學(xué)史溝通了課堂教學(xué)與考試評(píng)價(jià)間的聯(lián)系，越來越多的小學(xué)數(shù)學(xué)教師開始認(rèn)可數(shù)學(xué)史、應(yīng)用數(shù)學(xué)史，甚至傳播HPM。第三階段，作為工具（As a Tool）與作為目標(biāo)（As a Goal）的價(jià)值的統(tǒng)一。作為工具的數(shù)學(xué)史和作為目標(biāo)的數(shù)學(xué)史的價(jià)值分類法是詹克韋斯特（Jankvist）提出的，前者包括數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的激勵(lì)因素、是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知工具兩個(gè)方面，后者認(rèn)為數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)的一部分，數(shù)學(xué)在不同時(shí)空的演進(jìn)是學(xué)習(xí)的一個(gè)目標(biāo)，并將作為工具的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)內(nèi)部問題（In-issue，指數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)則、方法等）相關(guān)聯(lián)，將作為目標(biāo)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)元問題（Meta-issue，關(guān)注數(shù)學(xué)的演變與發(fā)展）相關(guān)聯(lián)[2]。對(duì)數(shù)學(xué)史教育價(jià)值認(rèn)識(shí)的前兩個(gè)階段與作為工具的數(shù)學(xué)史教育價(jià)值相對(duì)應(yīng)，目前越來越多的小學(xué)數(shù)學(xué)開始跳出單個(gè)課題的教學(xué)來審視數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，比如從數(shù)系擴(kuò)充（從自然數(shù)到分?jǐn)?shù)、從分?jǐn)?shù)到小數(shù)、從正數(shù)到負(fù)數(shù)）的內(nèi)部動(dòng)因和外部推動(dòng)力來審視數(shù)學(xué)發(fā)展，試圖幫助學(xué)生建立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。因此，越來越多的小學(xué)數(shù)學(xué)教師站在數(shù)學(xué)發(fā)展的高度，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)整，以兼顧數(shù)學(xué)史的工具、目標(biāo)價(jià)值，既立足當(dāng)下，又顧及學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。

（三）使用方式：數(shù)學(xué)史的使用方式更為多樣、靈活

實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的累積升華轉(zhuǎn)化為了實(shí)踐理論。經(jīng)過十余年的本土實(shí)踐，附加式（展示有關(guān)的數(shù)學(xué)家圖片，講述有關(guān)的數(shù)學(xué)家故事等，去掉后對(duì)教學(xué)內(nèi)容沒有太大影響）、復(fù)制式（直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題及解法等）、順應(yīng)式（根據(jù)歷史材料編制數(shù)學(xué)問題或?qū)v史上的思想方法進(jìn)行適當(dāng)改編）、重構(gòu)式（借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展歷史）等數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式[3]已被認(rèn)可，越來越多的小學(xué)數(shù)學(xué)教師運(yùn)用這些方式指導(dǎo)自身的HPM實(shí)踐，并追求重構(gòu)式這一高水平的數(shù)學(xué)史使用方式以及各種方式的靈活運(yùn)用。

作為附加式的一種方式，微視頻以其多元的優(yōu)點(diǎn)逐漸成為呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史素材的重要手段，教師可以在不同的課型、不同的環(huán)節(jié)呈現(xiàn)不同類型的微視頻，創(chuàng)設(shè)情境、重現(xiàn)歷史、介紹思想、展示方法，以引發(fā)學(xué)生思考，體會(huì)動(dòng)態(tài)發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信，展現(xiàn)方法之美。[4]比如，在融入數(shù)學(xué)史的探究活動(dòng)中，學(xué)生探究了多樣的問題解決方案后得到結(jié)論，教師利用微視頻播放歷史上問題的解決方案，學(xué)生在古今對(duì)照中感悟方法之美，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。微課則將微視頻的使用從課內(nèi)延拓到課內(nèi)外相結(jié)合，比如結(jié)合數(shù)學(xué)繪本將長(zhǎng)度單位的產(chǎn)生、發(fā)展歷史及其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化融入微課，學(xué)生在課前通過微課了解長(zhǎng)度測(cè)量從無到有、從多樣走向統(tǒng)一的過程，而課堂上師生只需經(jīng)歷從統(tǒng)一到標(biāo)準(zhǔn)的過程即可。中國(guó)古代著作中的問題及其解法在課堂中的出現(xiàn)，讓復(fù)制式的選材范圍更為廣泛。問題提出與歷史上數(shù)學(xué)問題的解法和思想的結(jié)合，讓順應(yīng)式更為靈活、多樣，更能適應(yīng)不同認(rèn)知能力學(xué)生的發(fā)展需求。局部重構(gòu)，比如將分?jǐn)?shù)部分與整體、除法的起源重構(gòu)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的引入環(huán)節(jié)，讓重構(gòu)的內(nèi)涵更加豐富。

（四）內(nèi)容載體：從單課走向內(nèi)容整合

基于數(shù)學(xué)史的內(nèi)容整合具有多重優(yōu)勢(shì)，從設(shè)計(jì)上看，與多主題整合內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史料相對(duì)較多且可能具有一定的發(fā)展脈絡(luò)，史料的豐富性有助于教學(xué)的整體設(shè)計(jì)，有助于數(shù)學(xué)史運(yùn)用層次“從歷史的角度注入數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)的文化意義，在數(shù)學(xué)教育過程中實(shí)踐多元文化關(guān)懷的理想”的開展;從實(shí)施上看，HPM視角下整合內(nèi)容教學(xué)的開展確保學(xué)生有相對(duì)持續(xù)的時(shí)間浸潤(rùn)在融入數(shù)學(xué)史的情境當(dāng)中，有助于多維教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn);從評(píng)價(jià)與研究上看，持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的整合內(nèi)容的實(shí)施會(huì)產(chǎn)生多元的數(shù)據(jù)，多元數(shù)據(jù)的互證能夠保證評(píng)價(jià)的科學(xué)性、研究的有效性。這些優(yōu)勢(shì)引發(fā)了作為數(shù)學(xué)史內(nèi)容載體的單元的變革，HPM共同體從單課的設(shè)計(jì)走向了內(nèi)容的整合。

目前，基于數(shù)學(xué)史的內(nèi)容整合涌現(xiàn)出了新的樣式，除了常規(guī)的單元統(tǒng)整，比如以出入相補(bǔ)原理為主線的“多邊形的面積”單元之外，還有基于共有數(shù)學(xué)史素材的統(tǒng)整，比如歷史上有關(guān)整數(shù)乘除法的素材將“兩位數(shù)乘一位數(shù)”“三位數(shù)乘一位數(shù)”“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“三位數(shù)乘兩位數(shù)”“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”整合在一起;基于相同發(fā)展動(dòng)因及歷程的統(tǒng)整，比如數(shù)系的擴(kuò)充是由現(xiàn)實(shí)需要與已有的數(shù)系不能解決或者解決現(xiàn)有問題比較復(fù)雜引發(fā)的，長(zhǎng)度、重量、角度等測(cè)量體系的建立經(jīng)歷了從無到有、從多元到統(tǒng)一、從統(tǒng)一到標(biāo)準(zhǔn)的過程;基于相同模式的統(tǒng)整，比如平行、三角形內(nèi)角和、圓的周長(zhǎng)等主題學(xué)習(xí)可以參照“直觀幾何→實(shí)驗(yàn)幾何→論證幾何”的模式。

（五）實(shí)施空間：從課內(nèi)外的分離走向課內(nèi)外的融合

數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的現(xiàn)實(shí)性與長(zhǎng)遠(yuǎn)性、課堂容量與課堂數(shù)量的有限性決定了實(shí)施數(shù)學(xué)史教學(xué)的空間需要延拓，從以往課內(nèi)外分離，課上運(yùn)用數(shù)學(xué)史以發(fā)揮數(shù)學(xué)史的激勵(lì)因素、認(rèn)知工具的價(jià)值，課外以閱讀、數(shù)學(xué)文化節(jié)等形式增加學(xué)生的知識(shí)面，發(fā)揮數(shù)學(xué)史作為目標(biāo)的教育價(jià)值，走向課內(nèi)外相融合，將學(xué)生必備品格和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)作為整體目標(biāo)，課前通過資料查找、微課觀看，鏈接課堂，課上以多種方式運(yùn)用數(shù)學(xué)史，升華課前準(zhǔn)備，課后加以拓展，提升課堂，將常規(guī)課程與拓展課程相結(jié)合，課程學(xué)習(xí)與課外拓展相結(jié)合。

以下以“時(shí)間”主題為例來說明HPM實(shí)施空間的延拓（如表1）。在人教版三年級(jí)下冊(cè)“年、月、日” 的學(xué)習(xí)過程中，先以微課的形式幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到時(shí)間單位由時(shí)到分到秒背后的動(dòng)因，以及時(shí)間演變的歷史，課上鏈接微課，借用太陽的東升西落、月亮的圓缺往復(fù)、四季的輪回引出更大的時(shí)間單位“年、月、日”的學(xué)習(xí)，再按照歷史的重構(gòu)由日到月到年依次學(xué)習(xí)，課后學(xué)生查閱“一百年不閏、四百年又閏”的材料，觀看微視頻，了解“年、月、日”背后的規(guī)律性與人為性，升華所學(xué)內(nèi)容。拓展課程學(xué)習(xí)中國(guó)獨(dú)特的歷法——農(nóng)歷，了解農(nóng)歷背后的數(shù)學(xué)以及農(nóng)歷的由來。課外拓展，了解與農(nóng)歷緊密相關(guān)的天干地支與節(jié)氣以及它們的作用，借此了解中國(guó)對(duì)天文歷法的貢獻(xiàn)，以及農(nóng)歷與文學(xué)、農(nóng)歷與風(fēng)俗間的聯(lián)系。

（六）理論聯(lián)結(jié)：從HPM視角走向多視角的融合

從屬性上看，盡管數(shù)學(xué)史可以成為課堂教學(xué)的內(nèi)容載體，但它僅是教材這一核心載體的補(bǔ)充性素材;HPM是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)研究領(lǐng)域，但它僅是眾多數(shù)學(xué)教育理論中的一個(gè)。無疑，只有HPM與其他理論相結(jié)合，才能更好地促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。從中國(guó)HPM發(fā)展的歷程看，盡管中國(guó)的HPM發(fā)展是一條融合之路[5]，但這里的融合是中外HPM理論的融合、中國(guó)的HPM實(shí)踐與理論的融合，而不是與其他數(shù)學(xué)教育理論的融合。HPM本土化理論建立后，在用理論指導(dǎo)實(shí)踐的過程中，在研究熱點(diǎn)不斷涌現(xiàn)的過程中，HPM與其他理論的聯(lián)結(jié)走向了多視角。HPM開始與探究式教學(xué)、信息技術(shù)、核心素養(yǎng)、深度學(xué)習(xí)、單元統(tǒng)整、高效課堂等相融合，以更好地指導(dǎo)實(shí)踐。比如HPM與探究式教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)與實(shí)施（如圖1）相結(jié)合，使得“評(píng)估與延伸”環(huán)節(jié)更具操作性。在“平行四邊形的面積”教學(xué)過程中，在“準(zhǔn)備與聚焦”環(huán)節(jié)，從幾何學(xué)的起源——古埃及尼羅河泛濫后的土地分配，引出學(xué)生對(duì)平行四邊形面積的猜想，很多學(xué)生受長(zhǎng)方形面積負(fù)遷移的影響，認(rèn)為面積公式是相鄰兩邊的乘積。接下來，在“探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流”環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，師生共同探討學(xué)生的驗(yàn)證結(jié)果，得到平行四邊形的面積公式。到了“評(píng)估與延伸”環(huán)節(jié)，教師借助圖2引發(fā)學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)不變的平行四邊形面積變化的思考，與猜想相對(duì)應(yīng)，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解平行四邊形的面積公式，并引出如何才能保持平行四邊形面積不變的問題，借此與歐幾里得《幾何原本》中的命題“在同底上且在相同二平行線之間的平行四邊形彼此相等”“在等底上且在相同二平行線之間的平行四邊形彼此相等”相呼應(yīng)，最后呈現(xiàn)古埃及平行四邊形的面積計(jì)算公式，相鄰兩邊的乘積（與學(xué)生的猜想相同），借此引導(dǎo)學(xué)生明白數(shù)學(xué)家也會(huì)犯錯(cuò)，犯錯(cuò)并不可怕，數(shù)學(xué)就是在犯錯(cuò)與糾正的過程中進(jìn)步的。

（七）研究范式：從思辨走向?qū)嵶C

國(guó)際范圍內(nèi)，HPM研究缺少與一般數(shù)學(xué)教育研究框架、理論構(gòu)建和方法論之間的聯(lián)系。我國(guó)小學(xué)HPM研究同樣存在這一問題。事實(shí)上，我們的研究還未涉及上述問題的深度，因?yàn)槟壳靶W(xué)階段的實(shí)證研究并不多見，大部分的HPM研究屬于思辨研究和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，要么對(duì)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值進(jìn)行論述，要么基于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)概括數(shù)學(xué)史的使用方法、策略等[6]。目前，在全國(guó)重視實(shí)證研究與評(píng)價(jià)研究的大背景下，HPM共同體更為注重實(shí)證，已啟動(dòng)一系列實(shí)證研究。比如，已基于數(shù)學(xué)史的單元統(tǒng)整對(duì)學(xué)生知識(shí)的理解與掌握、態(tài)度與信念的改變，進(jìn)行行動(dòng)研究、個(gè)案研究或準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)研究;在新一輪義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的大背景下，各地小學(xué)數(shù)學(xué)教材的修訂已啟動(dòng)，在“多邊形的面積”單元，推導(dǎo)三角形面積、梯形面積時(shí)，出入相補(bǔ)這一中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就及蘊(yùn)含豐富文化內(nèi)涵的方法是否與倍拼法的地位相同？一方面，通過對(duì)群體（高校數(shù)學(xué)教育專家、教材編寫者、教研員、專家型教師、普通教師）的訪談，了解他們的看法;另一方面，專家型教師設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，通過課堂觀察與課后測(cè)試了解學(xué)生是否能夠掌握出入相補(bǔ)法。如果能，再讓普通教師特別是鄉(xiāng)鎮(zhèn)年輕普通教師在專家型教師的指導(dǎo)下創(chuàng)造性地使用已開發(fā)的案例，再次了解學(xué)生對(duì)出入相補(bǔ)法掌握的情況。對(duì)基于數(shù)學(xué)史的教師培訓(xùn)項(xiàng)目的有效性進(jìn)行調(diào)查研究，對(duì)HPM課例研究對(duì)教師專業(yè)發(fā)展的影響進(jìn)行個(gè)案研究。

三、結(jié)語

課程改革的不斷推進(jìn)帶動(dòng)了小學(xué)HPM的快速發(fā)展，引發(fā)了小學(xué)HPM在理論輻射、價(jià)值認(rèn)知、使用方式、內(nèi)容載體、實(shí)施空間、理論聯(lián)結(jié)、研究范式等方面的新動(dòng)態(tài)。這些新動(dòng)態(tài)的交織、互動(dòng)，將進(jìn)一步促進(jìn)小學(xué)HPM的快速發(fā)展，使得小學(xué)HPM未來的發(fā)展道路更為明晰，進(jìn)而更有力地促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容的改革、學(xué)生的學(xué)習(xí)、教師的教學(xué)。在今后的小學(xué)HPM實(shí)踐與研究領(lǐng)域，我們需要更新數(shù)學(xué)史的價(jià)值觀念，在更大的范圍內(nèi)協(xié)同合作，以實(shí)證的方法對(duì)基于內(nèi)容整合和理論聯(lián)結(jié)的課堂內(nèi)外、學(xué)校內(nèi)外的HPM活動(dòng)進(jìn)行深度研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]SCHIECHTY P C，WHITFORD B L. Shared problems as shared vision： Two views of collaboration. In K. Sirotnic（Ed.）， School-university partnership in action： Concepts， cases， and concern[M]. New York： Teachers College Press， 1988：191-204.

[2]JANKVIST U T. A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education[J].Educational Studies in Mathematics， 2009， 71（3）：235-261.

[3]汪曉勤.HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（7/8）：77-83.

[4]李卓忱，韓嘉業(yè).融合信息技術(shù)? ?傳播數(shù)學(xué)文化：小學(xué)HPM微視頻的設(shè)計(jì)與使用案例[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（11）：27-30.

[5]岳增成.中國(guó)HPM發(fā)展之路[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（11）：6-10.

[6]岳增成.數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教育：?jiǎn)栴}與對(duì)策[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（7/8）：166-170.

（杭州師范大學(xué)教育學(xué)院? ?311121）