郜舒竹

【摘? ?要】我國數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中將“比”視為除法運(yùn)算，由此帶來的疑惑是：有了除法，為什么還要學(xué)比？通過古今中外文獻(xiàn)梳理，發(fā)現(xiàn)比具有“關(guān)系”和“運(yùn)算”兩種意義，從這兩種意義得到比與比例和正比例的關(guān)系。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“比是關(guān)系”的意義與“比是除法”的意義的差別和聯(lián)系。進(jìn)而提出在數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)與實(shí)施中應(yīng)將“比是關(guān)系”與“比是除法”綜合對待，讓學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷“比是關(guān)系”的認(rèn)知過程。

【關(guān)鍵詞】比;比例;正比例;除法

“比（Ratio）”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，在我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通常安排在六年級分?jǐn)?shù)乘、除運(yùn)算之后。人教版教材六年級上冊中，對“比”的定義為“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”。這樣的表述是將“比”視為運(yùn)算，運(yùn)算的對象指向“數(shù)”，運(yùn)算的過程等同于“除”，這或許也是將比的認(rèn)識安排在分?jǐn)?shù)乘、除運(yùn)算之后的原因。

按照這樣的認(rèn)識，“12∶4”與“12[÷]4”只是符號和相關(guān)名稱進(jìn)行了更改，除法算式中的“被除數(shù)”改為比的“前項(xiàng)”，除號“[÷]”改為比號“∶”，“除數(shù)”改為比的“后項(xiàng)”，除法的結(jié)果“商”改為“比值”，“12除以4”的讀法改為“12比4”。由此自然帶來教學(xué)中的疑惑：已經(jīng)有了除法，為什么還需要比？

一、“比”的歧義

從歷史的視角看，比最初的意義并不是算術(shù)中的除法運(yùn)算，而是幾何中量之間的“關(guān)系（Relation）”。隨著算術(shù)與幾何的融通，比的想法逐漸從幾何進(jìn)入算術(shù)，開始出現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算的意義。

“比”并不指向類似于高山、河流、石頭、動(dòng)物、桌椅、水杯等客觀存在并且可以感知到的對象，因此比不是一個(gè)自外而內(nèi)，對客觀事物進(jìn)行抽象所形成的“概念（Concept）”，而是人“心智（Mind）”中自內(nèi)而外的主觀“生成（Poietic）”。這種心智生成的對象在英文中通常用詞匯“Idea”表達(dá)，與中文“想法”或“主意”的意義接近。

比的想法與幾何中度量（Measurement）的活動(dòng)密切相關(guān)，度量實(shí)際就是比較，比較自然會出現(xiàn)相同和不同的對象。幾何中的度量對象主要包括線、面、體、角，相應(yīng)的說法為長度、面積、體積和角的大小。比如兩條直線段，如果二者通過移動(dòng)能夠重合，就說二者關(guān)系是相同或等價(jià)。如果不相同，就用短者重復(fù)度量長者，直到短者超過長者，此時(shí)就說二者存在可比性，也就是存在“比（Ratio）”，這里所說的“存在”，不是客觀世界中事物的存在，而是心智中生成的想法。

古希臘歐幾里得的《原本（Elements）》第五卷中，將比定義為“同類量之間的關(guān)系”[1]。其中的“同類量”，指的是長度和長度之間存在比，長度和面積屬于異類量，二者之間不可比，也即不存在比，同樣，長度與角之間也不存在比。

后人在對這一定義解讀的過程中，出現(xiàn)了許多不同的說法。17世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯（John Wallis，1616—1703），認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用算術(shù)的運(yùn)算來認(rèn)識這樣的關(guān)系，理由是幾何中的度量離不開算術(shù)的運(yùn)算，比如將幾何中3英尺的長度和2英尺的長度合并，得到5英尺，就需要算術(shù)中的加法運(yùn)算“3+2=5”。沃利斯反對將幾何視為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，認(rèn)為算術(shù)是所有數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。當(dāng)然這一觀點(diǎn)當(dāng)時(shí)也有許多反對的意見。[2]

19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家德·摩根（Augustus de Morgan，1806—1871），認(rèn)為歐幾里得《原本》中關(guān)于“比是關(guān)系”的說法過于籠統(tǒng)，是“無意義（Nonsense）”的定義，應(yīng)當(dāng)用“包含（Contain）”表述這樣的關(guān)系。兩條線段長度的比，實(shí)質(zhì)是看較長的線段包含多少次較短的線段，或較短線段含于較長線段多少次[3]。

諸如此類的認(rèn)識，使得比從幾何領(lǐng)域逐漸進(jìn)入了算術(shù)，而且與算術(shù)中除法運(yùn)算的被除數(shù)包含除數(shù)的意義非常接近，因此在算術(shù)中往往把比與除法等同看待?？梢哉f，自古以來關(guān)于比的認(rèn)識就存在爭議，因此其意義也存在歧義。主要表現(xiàn)為兩種，一種是“關(guān)系說（Doctrine of relation）”，即“比是關(guān)系”;另一種是“運(yùn)算說（Doctrine of Operation）”，即“比是除法”。

這樣的歧義也反映在我國算術(shù)教科書中。清朝末期由日本數(shù)學(xué)家樺正董原著，周京翻譯，上?？茖W(xué)編譯書局于1908年印行的《算術(shù)教科書》，在當(dāng)時(shí)流行甚廣，其中是用實(shí)例的方式描述比的意義。

例如求12為4之幾倍或?yàn)閹追种畮讋t以4除12知為3。又例如求12為18之幾倍或?yàn)閹追种畮讋t以18除12知為[1218]即[23]。如斯表一數(shù)當(dāng)他數(shù)之幾倍，或當(dāng)幾分之幾之?dāng)?shù)，謂之一數(shù)對于他數(shù)之比。

其中將比的意義表述為算術(shù)中的除法運(yùn)算，比等同于求一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果。民國時(shí)期，由當(dāng)時(shí)民國教育部審定，商務(wù)印書館1922年印行，駱師曾編著的《新算術(shù)（第六冊）》中，將比定義為：

取甲數(shù)與乙數(shù)比較，而求其為乙數(shù)之幾倍或幾分之幾，此種關(guān)系曰甲數(shù)對于乙數(shù)之比。

這一定義是將“比”視為兩數(shù)之間的關(guān)系，而關(guān)系是用除法運(yùn)算進(jìn)行表達(dá)，綜合了對“比”的兩種認(rèn)識，但仍偏重除法運(yùn)算的意義。新中國成立后，人民教育出版社于1961年出版的十年制小學(xué)課本《算術(shù)（第十冊）》中，對“比的意義”是用長方形長與寬的關(guān)系引出的。

我們常常要比較兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系。例如，一面紅旗，長6分米，寬4分米，要比較長是寬的幾倍或者寬是長的幾分之幾，可以這樣算：

6分米[÷]4分米=[112]

4分米[÷]6分米=[23]

在此基礎(chǔ)上引出比的定義：

有時(shí)我們不說長是寬的幾倍或?qū)捠情L的幾分之幾，只說長和寬的比或?qū)捄烷L的比是多少，例如上面的例子，就說長和寬的比是6比4，記作6∶4，寬和長的比是4比6，記作4∶6。

同樣是將比的意義定位于關(guān)系，表達(dá)關(guān)系的方法是除法運(yùn)算以及運(yùn)算結(jié)果。2006年，人民教育出版社依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，編輯出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（六年級上冊）》中，摒棄了“比是關(guān)系”的意義，明確指出“兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比”，將比等同于算術(shù)中的除法運(yùn)算，這樣的認(rèn)識沿用至今。

綜上，比的意義經(jīng)歷了逐步進(jìn)化的過程，最初的認(rèn)識是幾何中同類量之間的關(guān)系，逐漸發(fā)展為與算術(shù)中的除法運(yùn)算建立聯(lián)系，除法運(yùn)算成為表達(dá)這種關(guān)系的方法。為了進(jìn)一步理解“比是關(guān)系”的意義，再來看看同類量之間的比是如何進(jìn)化為異類量之間的比的。

二、從“同類量”到“異類量”

先看一個(gè)實(shí)例：一條線段AB，其中E點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將線段AB平均分為兩個(gè)部分：AE和EB（如圖1）。

此時(shí)可以感知到這兩個(gè)部分線段的長度相等，即AE=EB。如果關(guān)注整體與局部的關(guān)系，那么就可以想到整體AB的長度是一個(gè)部分AE（或EB）長度的2倍。反過來看，其中一個(gè)部分的長度就是整體長度的一半（或[12]），用比的符號表達(dá)就是AB∶AE=2∶1;AB∶EB=2∶1;AE∶AB=1∶2;EB∶AB=1∶2。

如果改變看法，關(guān)注局部與局部的關(guān)系，就得到AE∶EB=1∶1。

這里出現(xiàn)的比都屬于線段“長度與長度”的比，是同類量之間的比。在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步探討長度之間的比與面積之間的比的關(guān)系，也就是比與比的關(guān)系。將一張長方形紙ABCD對折，折痕是線段EF（如圖2）。

這時(shí)視覺中的長方形被折痕EF平均分為兩個(gè)部分，如果把長方形ABCD視為整體，那么長方形AEFD與EBCF就是構(gòu)成這一整體的兩個(gè)局部。此時(shí)相應(yīng)的面積與線段AB的長度之間出現(xiàn)了類似的關(guān)系。

局部與局部的關(guān)系：面積AEFD∶面積EBCF=1∶1

面積之間的比與圖1中線段AB的長度之間的比是一樣的，因此就得到長度之間的比與面積之間比的關(guān)系。

面積ABCD∶面積AEFD=長度AB∶長度AE

面積ABCD∶面積EBCF=長度AB∶長度EB

面積AEFD∶面積EBCF=長度AE∶長度EB

像這樣比與比之間的相等關(guān)系，也叫作“比例（Proportion）”1。因此可以說比例成為溝通兩個(gè)比之間關(guān)系的橋梁，進(jìn)而也成為溝通像長度和面積這兩個(gè)異類量之間關(guān)系的橋梁，使得異類量之間的比成為可能。比如圖2中就出現(xiàn)了面積比與長度比的相等（等價(jià)）關(guān)系。

面積AEFD∶面積EBCF=長度AE∶長度EB

表達(dá)的是面積與面積的比等于長度與長度的比，這樣的關(guān)系也可以表示為面積與長度的比等于面積與長度的比。

面積AEFD∶長度AE=面積EBCF∶長度EB

“面積AEFD∶長度AE”的前項(xiàng)是面積，后項(xiàng)是長度，用整數(shù)除法包含或平分的意義，就難以解釋面積除以長度“[面積AEFD÷長度AE]”的意義。由此表明，“比是關(guān)系”的說法，不能用除法的意義完全取代。

兩個(gè)異類量之間比的出現(xiàn)，是在歐幾里得《原本》中同類量之間存在比的基礎(chǔ)上進(jìn)化的，這樣的進(jìn)化使得表達(dá)異類量之間關(guān)系成為可能，正是這樣異類量之間比的關(guān)系使得“率（Rate）”以及正比例的想法得以生成。

三、率與正比例

“率”是表達(dá)異類量之間關(guān)系的說法，也可以認(rèn)為是異類量之間通過除法運(yùn)算所得到的比值。一個(gè)典型的例子是運(yùn)動(dòng)的“速度（Velocity）”，速度是人的感覺器官無法感知的，如果把一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)視為是一個(gè)變化過程，人能夠感知到的是運(yùn)動(dòng)物體空間位置的變化以及距離遠(yuǎn)近的異同，也能感知到同時(shí)以及先后的差異，也就是經(jīng)過時(shí)間長短的異同，但這些都不是速度，而是運(yùn)動(dòng)物體空間與時(shí)間意義的位置差異與先后順序的不同。

距離的差異無論遠(yuǎn)近，變化前和變化后的屬性不會改變，仍然是距離;時(shí)間也是如此，無論長短如何變化，都是時(shí)間。因此距離和時(shí)間都是具有可加性的量，稱為“延展量（Extensive Quantity）”，延展量具有較強(qiáng)的客觀性，具有易于感知的特點(diǎn)。距離的遠(yuǎn)近屬于空間中的量，先后或長短屬于時(shí)間的范疇，因此距離和時(shí)間不同類，是異類量。

運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)之間的一種關(guān)系是快與慢的比較，歷史上人們對快與慢最初的認(rèn)識不是量，而是運(yùn)動(dòng)的屬性，屬于“質(zhì)（Quality）”的范疇。無論是快還是慢，是人通過空間意義的距離以及時(shí)間意義的先后進(jìn)行比較而生成的想法。比如，如果看到相同時(shí)間運(yùn)動(dòng)相同距離，自然想到快慢程度相同，即速度相同;如果相同時(shí)間運(yùn)動(dòng)距離較遠(yuǎn)（近）者，那么運(yùn)動(dòng)速度較快（慢）。

因此運(yùn)動(dòng)的快慢程度，是由運(yùn)動(dòng)距離遠(yuǎn)近與運(yùn)動(dòng)時(shí)間長短之間的關(guān)系決定的。因?yàn)榫嚯x的遠(yuǎn)近與時(shí)間的長短是異類量，如果把比視為同類量之間的關(guān)系，那么距離與時(shí)間之間不存在比。中世紀(jì)的歐洲，曾經(jīng)出現(xiàn)了“質(zhì)的量化（Quantification of Quality）”的思潮，將諸如冷與熱、快與慢、亮與暗等質(zhì)性進(jìn)行量化[4]，這樣的量化自然需要運(yùn)用比和比例的想法。

14世紀(jì)法國著名的哲學(xué)家、科學(xué)家尼克爾·奧里斯姆（Nicole Oresme，約1320—1382），用長方形模型（Configuration）表達(dá)勻速運(yùn)動(dòng)各個(gè)量之間比的關(guān)系（如圖3）。

圖3中“橫向線段（Longitude）”DC表示運(yùn)動(dòng)經(jīng)過時(shí)間，“縱向線段（Latitude）”EF表示運(yùn)動(dòng)的快慢程度，也就是速度。這樣一來，運(yùn)動(dòng)距離就可以用時(shí)間與速度所構(gòu)成的長方形AEFD的面積表示[5]。在這個(gè)長方形模型中，運(yùn)動(dòng)的距離、時(shí)間和速度之間的關(guān)系就轉(zhuǎn)化為幾何中量之間的關(guān)系了，這些關(guān)系就可以運(yùn)用幾何中量之間的比和比例表達(dá)了。

利用長方形面積與邊長之間的關(guān)系“長[×]寬=面積”，就可以得到“速度[×]時(shí)間=距離”，同樣從“面積[÷]寬=長”可以得到“距離[÷]時(shí)間=速度”，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)快慢屬性的量化。因而速度也成為一種量，是運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間這兩個(gè)異類量之間的比，這樣的比是通過除法運(yùn)算得到的，表達(dá)的是運(yùn)動(dòng)快慢“程度（Degree）”的質(zhì)性特征。這種表達(dá)程度的比或比值，也叫作“率（Rate）”。區(qū)別于具有可加性的廣延量，這樣表達(dá)變化程度的量，具有自內(nèi)而外的生成性，因此稱之為“‘強(qiáng)度量或‘內(nèi)包量（Intensive Quantity）”。這一說法源于18世紀(jì)德國哲學(xué)家伊曼努爾·康德（Immanuel Kant，1724—1804）[6]。

19～20世紀(jì)英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家、文學(xué)家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970），在論及廣延量和強(qiáng)度量之間的區(qū)別時(shí)指出，人對廣延量的認(rèn)知是依賴感官的“感覺（Sensation）”，對強(qiáng)度量的認(rèn)識是依賴身體和心智的“感受（Feeling）”[7]。前者是自外而內(nèi)的認(rèn)知過程，后者偏向于自內(nèi)而外的認(rèn)知過程。

一個(gè)物體的勻速運(yùn)動(dòng)，距離和時(shí)間協(xié)同變化、可長可短，因此運(yùn)動(dòng)距離和時(shí)間都不能成為運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)屬性?？坍媱蛩龠\(yùn)動(dòng)本質(zhì)屬性的量自然應(yīng)當(dāng)是運(yùn)動(dòng)過程中保持不變的強(qiáng)度量，即速度。有了這個(gè)不變的速度，距離和時(shí)間二者的變化規(guī)律就得以確定，這樣的規(guī)律英文通常表達(dá)為“In Proportion” 或“Proportional”，是“成比例”的意思。這樣的說法在語境中是形容詞的意義，形容兩類變量協(xié)同變化過程中之間的比，也就是率是固定不變的。對于勻速運(yùn)動(dòng)就可以說，運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間是成比例的關(guān)系，意味著二者的比值（速度）是固定不變的，也叫“常量（Constant）”。

漢語中所說的“正比例”對應(yīng)的英文是“Direct Proportion”或“Direct Ratio”，意為“直接的比例”，同樣表達(dá)兩類變量協(xié)同變化過程中成比例的關(guān)系，與成比例的說法基本同義。比如商品交易中如果“單價(jià)”確定，那么購買數(shù)量與花費(fèi)金額就是正比例關(guān)系。工程問題中如果“效率”確定，工作量與工作時(shí)間是正比例關(guān)系，等等。

異類量之間正比例關(guān)系的一個(gè)重要應(yīng)用，是將具有正比例關(guān)系的兩類量相互替代。比如對于“角”的度量，也就是如何對角張開的大小程度進(jìn)行描述。

如果把圖4中的角AOB，視為線段OA圍繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OB得到的，這時(shí)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一條圓弧[AOB]，其長度用L表示。直觀可以看出，角AOB張開程度的大小與弧線L的長度具有協(xié)變關(guān)系，而且不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)協(xié)變關(guān)系是正比例關(guān)系。

如圖5所示，如果將90度角擴(kuò)大4倍，成為圓周角360度，那么對應(yīng)的弧長就從圓周長的[14]同時(shí)擴(kuò)大4倍變?yōu)閳A周長。也就是角擴(kuò)大或縮小多少倍，弧線長度也隨之?dāng)U大或縮小多少倍。

因此在中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)的內(nèi)容中，通常用“[2π]”表示圓周角，“[π]”表示平角。事實(shí)上，[2π]原本并不是度量角大小的，而是長度，是單位圓（半徑為1的圓）的周長，[π]是半徑為1的半圓的周長，是用單位圓的弧長替代角的大小的表達(dá)，其原因就是弧線長度與圓心角大小的正比例關(guān)系。

其中所出現(xiàn)的比和比例，比如“2[π]∶[360°=π]∶[180°]”或?qū)憺榉謹(jǐn)?shù)形式“[2π360°=π180°]”，只能通過“比是關(guān)系”進(jìn)行解釋，而無法用“比是運(yùn)算”進(jìn)行理解，無論是“長度除以角度”還是“角度除以長度”，都是難以圓說的。

從比的關(guān)系說和運(yùn)算說的關(guān)系來看，首先應(yīng)當(dāng)承認(rèn)二者的不同。關(guān)系說強(qiáng)調(diào)自內(nèi)而外主觀的看法和想法，追求個(gè)性和多樣。運(yùn)算說強(qiáng)調(diào)自外而內(nèi)的做法和寫法，追求過程的簡潔和結(jié)果的準(zhǔn)確。當(dāng)然二者也不是非此即彼的排斥關(guān)系，而是相互補(bǔ)充、相互依賴的關(guān)系。

關(guān)于比的課程設(shè)計(jì)與實(shí)施，試圖用“比是除法”概括比的意義是不妥當(dāng)?shù)?，?yīng)當(dāng)更加全面地呈現(xiàn)比的意義，讓學(xué)生不僅體會比的運(yùn)算意義，更有機(jī)會認(rèn)識到“比是關(guān)系”。

美國加利福尼亞麥克勞出版社于2008年出版的數(shù)學(xué)教科書《加州數(shù)學(xué)》，其中對“比”的定義為“比是運(yùn)用除法對兩個(gè)量的比較”。[8]這個(gè)定義綜合了比的關(guān)系說和運(yùn)算說兩種意義，將比視為比較的認(rèn)知活動(dòng)，將除法運(yùn)算視為比較的工具或手段。也就是說，比首先不是運(yùn)算，是對事物之間量的比較的過程，比較過程中發(fā)現(xiàn)關(guān)系，而后對關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，運(yùn)算是這一過程中可能使用的工具和方法。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）