【摘? ?要】小學(xué)數(shù)學(xué)教師提升數(shù)學(xué)史素養(yǎng)是理解數(shù)學(xué)學(xué)科育人豐富內(nèi)涵之本，也是提高課堂教學(xué)質(zhì)量、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)踐能力之源。教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)在知識(shí)、史觀、能力三個(gè)方面的內(nèi)涵界定是教學(xué)實(shí)踐的指南與教學(xué)評(píng)價(jià)的依據(jù)。以“豎式乘法”教學(xué)為例，闡述在數(shù)學(xué)史料學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的實(shí)踐、數(shù)學(xué)史育人價(jià)值觀念的形成等方面提升教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的具體實(shí)施路徑。為如何以數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的提升作為教師專業(yè)發(fā)展的抓手提供參考與啟發(fā)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)史素養(yǎng);育人價(jià)值;豎式乘法

近年來，HPM的理論與實(shí)踐探索在我國開創(chuàng)了繁榮發(fā)展的局面，這源于教育界對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科教育的評(píng)價(jià)觀與育人觀念的更新與共識(shí)，認(rèn)可數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)學(xué)科育人方面發(fā)揮的重要且多維度的價(jià)值;在改觀數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的同時(shí)，數(shù)學(xué)史對(duì)于教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升具有明顯的促進(jìn)作用，成為教師專業(yè)發(fā)展穩(wěn)定有向的路徑之一。教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的提升逐漸進(jìn)入教育者的研究視野以及一線教師或顯或隱的需求中。教學(xué)實(shí)踐中，教師需要的數(shù)學(xué)史“是什么，從哪里來，怎樣用”，已成為令人關(guān)注的“靈魂三問”。筆者以數(shù)學(xué)史視野下的“豎式乘法”教學(xué)為例，通過實(shí)踐來嘗試回答上述問題，為教師發(fā)展自身數(shù)學(xué)史素養(yǎng)提供啟發(fā)。

一、教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)內(nèi)涵

教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)包含知識(shí)、史觀、能力三個(gè)方面，具體指：數(shù)學(xué)史知識(shí)的儲(chǔ)備與增長;辯證、聯(lián)系、發(fā)展的數(shù)學(xué)史觀;數(shù)學(xué)史的解讀、提煉能力;數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用、加工、評(píng)價(jià)能力。教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)基本維度與內(nèi)涵如表1所示。

以上從三個(gè)維度界定了教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的內(nèi)涵，這是對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指南與進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)的依據(jù)。

二、提升教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的實(shí)踐

教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)內(nèi)涵對(duì)教師的數(shù)學(xué)史知識(shí)儲(chǔ)備與實(shí)踐提出要求，相應(yīng)地，提升教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的實(shí)踐路徑包含三個(gè)基本環(huán)節(jié)：數(shù)學(xué)史（擴(kuò)展到科學(xué)史）的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的實(shí)踐、數(shù)學(xué)史育人的價(jià)值思考與探索。學(xué)習(xí)實(shí)踐的高效方式是通過研修共同體[1]，在交流分享中互鑒互學(xué)互促。

（一）數(shù)學(xué)史料的選擇與解讀

以“豎式乘法”為例，來談?wù)勥x擇什么樣的數(shù)學(xué)史，怎樣解讀?，F(xiàn)今，“豎式乘法”采用筆算形式，用紙筆為工具、依據(jù)位值原則、數(shù)的組成與分解、運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)，通過阿拉伯?dāng)?shù)字和符號(hào)書寫進(jìn)行演算[2]。教師在了解“豎式乘法”的歷史前，需要確定文獻(xiàn)的尋找范疇：五大文明古國（古巴比倫、埃及、希臘、中國、印度）與阿拉伯的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作（后面隨文介紹）中與主題相關(guān)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的研究文獻(xiàn)，從中考察乘法歷史、乘法筆算歷史、豎式乘法的發(fā)展。因?yàn)楣P算與位值、數(shù)的組成分解、運(yùn)算性質(zhì)密切相關(guān)，所以我們需要關(guān)注的問題有：不同的文化中采用的數(shù)系系統(tǒng)是什么？依據(jù)各自的數(shù)系系統(tǒng)發(fā)展起來的乘法運(yùn)算如何進(jìn)行？采用什么工具、什么方式進(jìn)行乘法運(yùn)算？豎式乘法規(guī)則在目前各個(gè)國家是否統(tǒng)一？

對(duì)于古巴比倫、古埃及的乘法發(fā)展情況只能從數(shù)學(xué)通史類著作中尋找[3-5]，古埃及紙草書中記載了乘法的方法——倍乘法。兩個(gè)數(shù)相乘，先將其中較大的數(shù)加倍，然后根據(jù)較小數(shù)組合不同的倍數(shù)和，得到結(jié)果。比如[32×13=416]的計(jì)算過程如圖1所示。這種算法在幾千年筆算乘法的歷史中體現(xiàn)出旺盛生命力。但如果乘數(shù)很大時(shí)，分解乘數(shù)為倍數(shù)和的技巧就要高，且計(jì)算步驟煩瑣。

中國自漢代起已經(jīng)熟練使用算籌計(jì)算，一直沿用至宋元時(shí)期算盤出現(xiàn)。在擺放算籌時(shí)有橫縱兩種形式，個(gè)位從縱式開始，隨位數(shù)增加縱橫交錯(cuò)擺放，以區(qū)分?jǐn)?shù)位。算籌乘法從高位算起，兩個(gè)乘數(shù)分別放在上位和下位，乘積放中位，0用空位表示。比如[32×13=416]的籌算過程如圖2所示。高位算起，遇有進(jìn)位，增添算籌便捷。

印度的乘法是在一塊覆蓋沙子或面粉的板子或者小黑板上進(jìn)行演算，被冠以不同名稱：格柵（gelosia）算法、格子乘法、四邊形乘法等。格柵算法究竟起源何時(shí)何地還未知，學(xué)者推測(cè)印度是可能的起源地，并傳到中國和阿拉伯。傳至中國時(shí)被稱為“鋪地錦”。兩個(gè)乘數(shù)分別置于格子上方和右側(cè)（也可以是上方和左側(cè)，但內(nèi)部斜格方向與乘數(shù)書寫順序不同），各部分乘積各占一個(gè)方格單元，斜排的數(shù)字相加，結(jié)果從格子的底部和左側(cè)讀出。仍以[32×13=416]為例，格柵算法如圖3所示。

中世紀(jì)時(shí)期（529—1436）的數(shù)學(xué)出現(xiàn)交流傳播融合的局面，隨著中國 “絲綢之路”與中亞乃至歐洲的學(xué)者們進(jìn)行了活躍的知識(shí)交流，中國古代輝煌的數(shù)學(xué)知識(shí)傳至印度獲得發(fā)展后，在中世紀(jì)傳至歐洲。在12世紀(jì)，最重要也最有原創(chuàng)性的歐洲數(shù)學(xué)家集中于意大利，意大利地區(qū)是通向歐洲的絲綢之路的終點(diǎn)，是東西文化的熔爐，代表人物是斐波那契（約1180—1250），他于1202年完成了一部數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典著作《算盤書》（Liber abaci，也稱《計(jì)算之書》《算經(jīng)》），印度-阿拉伯?dāng)?shù)字在此書中被大力提倡。他的這部著作可以說是中國、印度、希臘、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的合金[6]。緊隨中世紀(jì)之后的文藝復(fù)興初期，意大利的帕喬利（1445—1514）在1487年出版的《算術(shù)、幾何、比及比例概要》成為最有名的數(shù)學(xué)材料編撰著作，內(nèi)容涉及算術(shù)、代數(shù)、歐氏幾何、復(fù)式簿記。這兩部經(jīng)典著作中的乘法計(jì)算方法，都可以看到數(shù)學(xué)文化交流融合發(fā)展的痕跡。如果要了解初等數(shù)學(xué)在中世紀(jì)及文藝復(fù)興時(shí)期的發(fā)展情況，這兩部文獻(xiàn)是重要的學(xué)習(xí)資料。《計(jì)算之書》中的乘法計(jì)算既有紙筆算，也有手指算，同時(shí)有2～9的乘法表，仍以[32×13=416]為例，“對(duì)角線法”計(jì)算過程見圖4，進(jìn)位用手指輔助記憶;同時(shí)，也有格柵算法（同圖3，此處略）;帕喬利的著作《算術(shù)、幾何、比及比例概要》中提出了八種筆算乘法的方法，其中六種方法沿襲發(fā)展了斐波那契的方法，另外兩種方法有了豎式形式，但是從乘數(shù)的高位算起，“分解乘數(shù)法”如圖5所示。

乘法結(jié)果的檢驗(yàn)方法“棄九法”（也稱“舍九法”），在印度、意大利的著作中均有出現(xiàn)。

從歷史中看出不同文明中的乘法算法與算理的異同之處，以[32×13=416]為例說明其中的原理，如表2所示。

表2顯示，所有算法體現(xiàn)了兩個(gè)共同特點(diǎn)：第一，依據(jù)乘法分配律;第二，乘數(shù)的加法分解（除埃及的乘數(shù)按2倍分解為加數(shù)外，其余均依十進(jìn)制分解）。從乘法計(jì)算的發(fā)展過程中可以看出，計(jì)算的困難在于隨著乘數(shù)位數(shù)增多，進(jìn)位變多容易出錯(cuò)，只有格柵算法保留了計(jì)算過程幫助檢驗(yàn)步驟，但格子本身畫起來十分煩瑣，且每一個(gè)乘數(shù)均要分解，效率不高。在最大程度壓縮步驟和盡可能保留過程的需求中平衡，最終形成現(xiàn)代樣式的豎式乘法，即便是現(xiàn)代豎式也有細(xì)節(jié)上的差別。中國籌算改變乘數(shù)與積的位置，保留過程中隨乘隨減相消的數(shù)，籌算形式直接轉(zhuǎn)化為阿拉伯?dāng)?shù)字筆算形式，遇有進(jìn)位可做標(biāo)注等，這些變化經(jīng)歷了漫長的時(shí)間，而這個(gè)過程是人類數(shù)學(xué)文化的共同創(chuàng)造、交流、借鑒與發(fā)展。即便是現(xiàn)代形式的豎式，計(jì)算中進(jìn)位也是易錯(cuò)之處，但斐波那契明確教導(dǎo)我們：“計(jì)算要用心用腦！”

歷史啟發(fā)我們，自古以來，計(jì)算就是一種人類的活動(dòng)。中國的位值制的書寫方法是計(jì)算的基礎(chǔ)，再輔以印度-阿拉伯書寫數(shù)字系統(tǒng)更加方便計(jì)算并記錄結(jié)果。今天學(xué)校里學(xué)習(xí)用紙筆進(jìn)行加減乘除計(jì)算，是人類計(jì)算發(fā)展到成熟階段的結(jié)果，學(xué)生可能出現(xiàn)的各種計(jì)算錯(cuò)誤與數(shù)學(xué)每一步的發(fā)展是密切相關(guān)的，比如位值思想不清晰、十進(jìn)制轉(zhuǎn)化不靈活、數(shù)的分解與組合策略不熟練等，可以說，這些錯(cuò)誤根源是不同文明中數(shù)學(xué)弊端的體現(xiàn)，如果我們了解漫長曲折的計(jì)算發(fā)展歷史，對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”不會(huì)過分苛責(zé)，輔以“用心用腦”的訓(xùn)練提高計(jì)算力和理解力，以及對(duì)于書寫不規(guī)范的“錯(cuò)誤”無錯(cuò)可言，給予一定的時(shí)間經(jīng)過自己的體會(huì)“慢慢”規(guī)范;另一方面，歷史上不同乘法計(jì)算能在各自民族中通用很久也有其適用的道理，表2呈現(xiàn)的不同算法，可以用作特殊乘法的巧算原理，比如“對(duì)角線法”用來解決[37×37]這類兩位乘數(shù)相同的乘法，比豎式乘法更為便捷，因此可以通過解讀并比較歷史算法的適用性來幫助學(xué)生理解傳統(tǒng)算法蘊(yùn)含的智慧并啟發(fā)靈活應(yīng)用。現(xiàn)今我們筆算的“豎式乘法”帶有中國古代數(shù)學(xué)算法程序化特點(diǎn)的傳承，計(jì)算工具、計(jì)算表、計(jì)算法則使得計(jì)算變得更加便利。當(dāng)歸結(jié)為豎式計(jì)算時(shí)，最終運(yùn)算歸為20以內(nèi)加減法，所有乘法歸結(jié)為表內(nèi)乘法，重要依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律——此為“豎式乘法”的數(shù)學(xué)之“源”;位值制為“豎式乘法”的數(shù)學(xué)之“本”;而將乘數(shù)分解為加數(shù)之和的策略多樣，若乘數(shù)特征突出，選擇數(shù)的分解策略（數(shù)的組成與分解）巧算速算，若乘數(shù)并不突出，乘數(shù)按位值分解（十進(jìn)制數(shù)的構(gòu)成方式），前者可以是歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)的多樣算法，后者是經(jīng)過發(fā)展沉淀為現(xiàn)今豎式乘法的一般形式，更為通用，豎式的重要意義在于算法的程序化、機(jī)械化，數(shù)學(xué)始終在尋找解決問題的一般化、最優(yōu)化——此為數(shù)學(xué)發(fā)展之“流”。

對(duì)教學(xué)的數(shù)學(xué)史進(jìn)行解讀，既要從顯性的史料中尋找“人類曾經(jīng)有什么樣的數(shù)學(xué)”，思考現(xiàn)在所學(xué)的數(shù)學(xué)何以成為這樣，又要挖掘不同文化中數(shù)學(xué)事件蘊(yùn)含的隱性脈絡(luò)，思考“人類發(fā)展的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么，數(shù)學(xué)演進(jìn)的規(guī)律”，關(guān)注歷史中的“人”“事件”，遇到的障礙、做出的創(chuàng)新、對(duì)數(shù)學(xué)的情感及觀點(diǎn)等，納入育人的素材庫。

（二） 數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的實(shí)踐

課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)扎根于對(duì)歷史的深入解讀，正如上文中梳理出豐富的歷史啟發(fā)，教師則需要根據(jù)歷史，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯序、學(xué)生認(rèn)知序進(jìn)行取舍[7]，精心設(shè)計(jì)來凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)與人文性。通過關(guān)鍵性問題設(shè)計(jì)教學(xué)思路，增加數(shù)學(xué)閱讀與審辨性思維和人文情感發(fā)展。教學(xué)中以“豎式乘法的歷史之旅”開展教學(xué)，探究代表性文明中的乘法理解與算理探究，通過方法比較，根據(jù)筆算“盡可能保留步驟又達(dá)到最簡潔”原則來“創(chuàng)造”豎式形式。為將上文中獲得的育人啟發(fā)發(fā)揮于教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生思考以下問題：

（1） 如何理解代表性的古代文明中乘法計(jì)算的算理？

（2） 乘法計(jì)算從古至今發(fā)展到現(xiàn)在豎式形式的過程中，需要哪些數(shù)學(xué)準(zhǔn)備？現(xiàn)在使用豎式乘法是否還有可能再壓縮、簡練步驟？

（3）課中介紹的古代乘法計(jì)算方法現(xiàn)今是否完全棄之不用？除了課中介紹的方法，你還知道乘法計(jì)算的其他方法嗎？

（4）中國的籌算乘法與現(xiàn)代豎式乘法相比，有何不同與相同之處？算法有什么特點(diǎn)？

（5）五個(gè)文明古國出現(xiàn)數(shù)學(xué)著作的年代都發(fā)生了什么重要事件，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有何影響？有哪些代表性的數(shù)學(xué)人物？

當(dāng)然，教師可根據(jù)對(duì)每一主題的歷史的深入解讀，設(shè)計(jì)更能激發(fā)學(xué)生興趣、強(qiáng)化拓展數(shù)學(xué)閱讀、問題解決能力及創(chuàng)新應(yīng)用的問題。

（三）數(shù)學(xué)史育人的價(jià)值思考與探索

教育界學(xué)者與教育實(shí)踐者始終致力于對(duì)新時(shí)代背景下數(shù)學(xué)課程承載育人目標(biāo)與內(nèi)涵的探索，汪曉勤教授指出，數(shù)學(xué)史發(fā)揮的教育價(jià)值體現(xiàn)在知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效六個(gè)維度[8]。上文的歷史解讀可借鑒此六個(gè)維度歸類分析，發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。誠然，這些價(jià)值并非在一節(jié)課中全面覆蓋，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行合理取舍。此外，數(shù)學(xué)史發(fā)揮的育人價(jià)值在新時(shí)代“立德樹人”根本要求下，一線教師仍需在數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)及融入教學(xué)的實(shí)踐中不斷體會(huì)、發(fā)掘數(shù)學(xué)史能夠發(fā)揮的育人價(jià)值維度與內(nèi)涵。

三、提升教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的意義

實(shí)踐后再重新審視教師提升數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的意義，更加深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)與實(shí)踐，對(duì)于提升教師數(shù)學(xué)觀、教育觀及學(xué)生觀發(fā)揮重要的作用和意義。

首先，教師通過數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)，提高自身對(duì)數(shù)學(xué)的洞察力和對(duì)數(shù)學(xué)的了解，增長面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。從數(shù)學(xué)之源中體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的特征：數(shù)學(xué)的抽象形式，追求高度精確可靠知識(shí)、對(duì)宇宙和人類社會(huì)探索中最大限度追求一般性模式或一般性算法的傾向以及數(shù)學(xué)在創(chuàng)造性活動(dòng)中對(duì)美的追求。

其次，教師通過應(yīng)用數(shù)學(xué)史，改善數(shù)學(xué)教學(xué)觀念與行為。從數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的關(guān)鍵片段中了解數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)聯(lián)與本質(zhì)、數(shù)學(xué)與多學(xué)科的聯(lián)系，將學(xué)生帶到歷史經(jīng)典事件中，通過自己的思考與實(shí)踐，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義，創(chuàng)生數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“再創(chuàng)造”。

再次，教師通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)—實(shí)踐—反思，更新數(shù)學(xué)學(xué)科的育人觀。學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)究竟獲得什么？在邏輯思維和理性精神之外，還有對(duì)人類數(shù)學(xué)文化的包容理解與尊重以及對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的人文情感等。

值得說明的是，一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師常常更期待能有直接融入教學(xué)的史料，或有將史料融入教學(xué)的“屠龍之技”，但是，數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)發(fā)揮育人價(jià)值，需要建立在教師自身對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)有豐富的儲(chǔ)備與理解的基礎(chǔ)上。將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)的數(shù)學(xué)史，研究者始終在路上，只有進(jìn)行時(shí)沒有終結(jié)時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的理解將從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中獲得啟迪。

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