曾赤潔

摘? 要：極限是數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程的研究工具，是貫穿整門(mén)課程的知識(shí)點(diǎn)。其中數(shù)列極限的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，也是各種上崗考試和研究生入學(xué)考試的重要考點(diǎn)。在極限的計(jì)算中，一類帶有“n！”的數(shù)列的極限一直以來(lái)是計(jì)算的難點(diǎn)。該文就這一類帶有“n！”的數(shù)列極限的計(jì)算展開(kāi)討論，從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，給出了幾個(gè)行之有效的計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限? 迫斂性? 級(jí)數(shù)? 定積分? 極限定義

中圖分類號(hào)：O172.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）04（a）-0225-03

The Solution of the Limit of a Kind of Special Sequence of Numbers

ZENG Chijie

（school of mathematiesand physics， west yuman University， Lincang，Yunnan Province， 677000 China）

Abstract： In the course of Mathematical Analysis， the limit is a tool to study problems， and the knowledge about the limit runs through the whole course. The calculation of the limit of a sequence of numbers is an important part of the study of mathematical analysis. It is also an important test point for various post examinations and Postgraduate Admission Test. In the calculation of limit， the limit of a kind of sequence with "n！" has always been a difficulty. In this paper， the calculation of the limit of this kind of sequence with "n！" is discussed. Starting from the students' existing knowledge， several effective calculation methods are given.

Key Words： Limit of sequence; Squeeze theorem; Series; Definite integral; Definition of limit

數(shù)列極限的計(jì)算是極限計(jì)算的重點(diǎn)內(nèi)容，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)。求數(shù)列極限的方法有很多，在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中，教師要善于通過(guò)分析數(shù)列的特點(diǎn)，來(lái)選擇最合適的方法。下面該文將通過(guò)具體例題介紹一類含有“n！”的數(shù)列極限的計(jì)算方法，這一類極限由于其中的“n！”不是初等函數(shù)，在計(jì)算上有一定的難度。

1? 方法探討

1.1 利用迫斂性

定理1（迫斂性[1]）設(shè)收斂數(shù)列都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有則數(shù)列收斂，且[2]。

例1? 求極限。

方法解析：這是一個(gè)的待定型極限，一般想到的常規(guī)方法是先對(duì)數(shù)列取對(duì)數(shù)，然后再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。但是由于“n！”不是初等函數(shù)，無(wú)法求其導(dǎo)數(shù)，所以不能應(yīng)用洛必達(dá)法則。這里可以考慮將n放大成冪指函數(shù)nn，化簡(jiǎn)后再利用迫斂性來(lái)求得極限[3]。

解? 因?yàn)閷?duì)都有

而則由迫斂性可知。

例2? 求極限。

解? 因?yàn)閷?duì)都有

而則由迫斂性可知。

1.2 利用級(jí)數(shù)法

定理2[4]（級(jí)數(shù)收斂的柯西收斂準(zhǔn)則）級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：任給正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N以及對(duì)任意的正整數(shù)p，都有：

推論? 若級(jí)數(shù)收斂，則

由級(jí)數(shù)收斂的柯西收斂準(zhǔn)則的推論可知，若級(jí)數(shù)收斂，則通項(xiàng)數(shù)列的極限為0，從而可以將求數(shù)列極限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論級(jí)數(shù)收斂的問(wèn)題。

例3[5]? 求極限。

解? 令，作級(jí)數(shù)，因?yàn)?/p>

由比式判別法可得級(jí)數(shù)收斂，則由柯西收斂準(zhǔn)則的推論可知：

上述例2也能用此方法來(lái)求解。

1.3 利用定積分的定義

定義1[6]? 設(shè)f是定義在上的一個(gè)函數(shù)，J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在某一正數(shù)δ，使得對(duì)的任何分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集 ，只要，就有

則稱函數(shù)F在區(qū)間上可積，數(shù)J稱為F在上的定積分，記作

特別地，當(dāng)為，分割T為等分，取每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)i/n時(shí)，有

例4? 求極限。

解? 令，則

所以，由復(fù)合函數(shù)的極限可知

1.4 利用施篤茲（Stolz）定理

定理3[7]（施篤茲定理）設(shè)=+∞且從某一項(xiàng)開(kāi)始嚴(yán)格單調(diào)增加，如果

則

。

解? 顯然分母是嚴(yán)格增加的，則由施篤茲定理有

1.5 利用數(shù)列極限的定義

定義2[8]? 設(shè)為數(shù)列，a為定數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)有

則稱數(shù)列收斂于a。

從定義可以看出，數(shù)列若以a為極限，則只需找到一個(gè)正整數(shù)N，使得不等式成立即可[8]。

例6 求極限。

解? 當(dāng)時(shí)，顯然有。

當(dāng)時(shí)，對(duì)取k=[|a|]+1，要使得

≤（其中）成立，

解得，不妨取

則對(duì)

有

成立，由數(shù)列極限定義可知

綜上所述，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，都有

此題也可用級(jí)數(shù)法來(lái)進(jìn)行求解。

2? 結(jié)語(yǔ)

上面介 紹了5種求解含有“n！”的數(shù)列極限的方法及其對(duì)應(yīng)的題型。在實(shí)際操作中，有些題目可以采用多種方法來(lái)進(jìn)行求解，要從中選擇最簡(jiǎn)便易行的方法。

參考文獻(xiàn)

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