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用同階無窮小判定正項級數(shù)的斂散性

2018-05-14 23:12:18陳彥恒賈松芳
知識文庫 2018年15期
關(guān)鍵詞:散性三峽學(xué)院收斂性

陳彥恒 賈松芳

在高等數(shù)學(xué)課程級數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中,判斷正項級數(shù)斂散性是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容,正項級數(shù)的斂散性定理很多,比如,柯西收斂準(zhǔn)則、比較審斂法、比較審斂法的極限形式、達(dá)朗貝爾判別法等。應(yīng)用比較審斂法的極限形式時,遇到最大的困難是要找到一個可以與所求級數(shù)進行比較的級數(shù)。由級數(shù)收斂的必要條件我們知道,只要級數(shù)的一般項在 時的極限不是0,即一般項不是 的無窮小,級數(shù)必發(fā)散,因此我們所需處理是級數(shù)的一般項是 的無窮小的情形。對于此情形的正項級數(shù),該文利用同階無窮小給出了一種簡單有效的求比較級數(shù)的方法,為利用比較審斂法的極限形式判定正項級數(shù)的斂散性提供了方便,同時也為快捷的判定一般級數(shù)收斂性提供了強有力的支持。該文所使用數(shù)學(xué)符號與文獻保持一致。

下面首先給出利用同階無窮小判定正項級數(shù)的斂散性的定理.

定理 設(shè)正項級數(shù) 與 。若 是 的同階無窮小,則 與 具有相同的斂散性。

證明 由題意, ,且可設(shè) ,所以由比較審斂法的極限形式知,正項級數(shù) 與 具有相同的斂散性。

注:在文獻中定理條件是 是 的等價無窮小,因此本文定理可以看作文獻中定理的推廣。

從上述定理我們知道,在學(xué)習(xí)正項級數(shù)斂散性的過程中,合理地應(yīng)用同階無窮小量,將會為利用比較審斂法的極限形式判定正項級數(shù)的斂散性提供了方便.下面我們將通過具體例題來體現(xiàn)這一便利,這些例題都是節(jié)選自文獻。

例1 判斷下列正項級數(shù)的斂散性。

(1) , (2)

解 (1) 令 , 。 因為 , 且 ,所以由定理知, 和 具有相同斂散性,因此 收斂。

通過例1中的(1)題可以看出,若一般項是關(guān)于 的有理分式函數(shù)

則在 時, 是同階無窮小,從而由p-級數(shù)的結(jié)論和定理知,當(dāng) 時, 收斂,當(dāng) 時, 發(fā)散。

(2)令 。當(dāng) , ,

取 ,從而由p-級數(shù)和定理知,當(dāng) 時, 收斂,當(dāng) 時, 發(fā)散。

例2 判斷下列正項級數(shù)的斂散性。

(1) , (2)

解 (1) 令 。因當(dāng) 時, ,所以可取 ,而由等比級數(shù)的結(jié)論知, 收斂,從而由定理知, 收斂。

(2) 令 , 。由于 時, ,從而據(jù)定理,當(dāng) 時, 與 具有相同的斂散性,所以 發(fā)散。

從例1、例2可以看出,如果正項級數(shù)的一般項含有對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)在 下的同階無窮小,利用本文定理很容易就可以找到與原級數(shù)相比較的級數(shù),從而判別出原級數(shù)的斂散性.若利用一般的思路求解,過程將會非常繁瑣。 但有些正項級數(shù)的一般項的同價無窮小并不那么清楚明顯,需要恒等變形為我們熟知的同階無窮小,請看下例:

例3 判斷正項級數(shù) 的斂散性。

解 令 。因當(dāng) 時, ,而 收斂,從而由定理知, 收斂。

對于一般級數(shù),往往也需要我們將其轉(zhuǎn)化為正項級數(shù),利用正項級數(shù)的斂散性判定定理判別其收斂性。因此本文定理對一般級數(shù)的收斂性的判定也提供了強有力的支持。

例4 判斷級數(shù) 的斂散性。

解 由于 與 是在 下的同階無窮小,但 是收斂的,所以 絕對收斂,從而 收斂。

基金項目:該文由重慶市教委科研資助項目(KJ1710254),重慶三峽學(xué)院重點項目(14ZD16),重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教改項目資助。

(作者單位:重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院)

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