吳廷增,蔚 勇

(青海民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,青海 西寧 810007)

令G是一個圖, 其頂點集為V(G), 邊集為E(G)。 圖G的頂點集和邊集的大小分別為|V(G)|=p, |E(G)|=m。v∈V(G)的鄰集, 記為NG(v), 是指在G中與v相鄰的所有的點組成的集合。 本文考慮的所有圖均為連通圖, 未定義的概念和符號參見文獻[1]。

連通圖G的2個頂點i和j間的電阻距離記作rij或r(vi,vj), 定義為通過用單位電阻來代替G中每條邊而構(gòu)造出的電網(wǎng)絡(luò)N中的節(jié)點i和j之間的有效電阻的阻值，且滿足歐姆定律。 圖G的基爾霍夫指標Kf(G) 定義為G中所有頂點對之間的電阻距離之和[2-4], 即

其中r(vi|G)表示頂點vi與G中所有其他頂點的電阻距離之和。圖的基爾霍夫指標被廣泛研究,參見文獻[5-9]。一個多面骨牌圖(也稱棋盤[10]或正方細胞構(gòu)形[11])是指平面上2個全等且邊長為1的正方形按照要么無公共頂點要么有一條公共邊的規(guī)則排列而得的連通幾何圖形。 多面骨牌圖在統(tǒng)計物理和結(jié)構(gòu)化學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。一個包含n個正方形的多面骨牌鏈Qn是嵌入在多面骨牌圖上的子結(jié)構(gòu)[12]。多面骨牌鏈Qn可以看作是由具有n-1個正方形的多面骨牌鏈Qn-1通過一條割邊連接一個新的正方形而得,見圖1。

圖1 包含n個正方形的多面骨牌鏈Qn

本文探討隨機多面骨牌鏈基爾霍夫指標的數(shù)學(xué)期望以及期望的極值情況。

1 前期準備

令Qn=S1S2…Sn是包含n(≥2)個正方形的多面骨牌鏈, 其中Sk看作是Qn中的Sk-1通過割邊uk-1wk連接的第k個正方形構(gòu)成(k=2,3,…,n),wk=v1是正方形Sk的一個頂點。 對于Sk中的一個頂點v, 如果v和wk的距離為1, 則稱v為鄰位頂點,記作ok;如果v和wk的距離為2, 則稱v為對位頂點, 記作pk; 觀察圖1, 不難發(fā)現(xiàn)Sn中wn=v1,on=v2和v4是鄰位頂點,pn=v3是對位頂點。

圖2 隨機多面骨牌鏈所有的嵌入方式

圖3 多面骨牌鏈中的2種局部排列

一個包含n個正方形的隨機多面骨牌鏈Q(n,t)是通過逐步增加末端正方形得到的多面骨牌鏈。 在每一步k(=3,4,…,n)中, 都有可能隨機選擇下面2種結(jié)構(gòu):

2 主要結(jié)果

下面我們來計算包含n個正方形骨牌的隨機多面骨牌鏈基爾霍夫指標的數(shù)學(xué)期望。

證明由隨機多面骨牌鏈的定義可知,Qn是由Qn-1通過一條割邊連接一個新的正方形骨牌構(gòu)成, 這里設(shè)其末端的正方形頂點集為{v1,v2,v3,v4} 及新增的關(guān)聯(lián)邊記為un-1v1(圖1)。 由電阻距離計算公式得

右邊4個頂點v1,v2,v3,v4與Qn-1中任意一點v關(guān)系如下:

r(v1,v)=r(un-1,v)+r(v1,un-1),

r(v2,v)=r(un-1,v)+r(v2,un-1),

r(v3,v)=r(un-1,v)+r(v3,un-1),

r(v4,v)=r(un-1,v)+r(v4,un-1),

且對于Qn-1中的4(n-1)個頂點，有

r(v1|Qn)=r(un-1|Qn-1)+

(1)

r(v2|Qn)=r(un-1|Qn-1)+

(2)

r(v3|Qn)=r(un-1|Qn-1)+

(3)

r(v4|Qn)=r(un-1|Qn-1)+

(4)

其中, 下面結(jié)果通過觀察圖1是很容易得知的:

r(v1,un-1)=1,

r(v3,un-1)=1+1,

代入式(1)—(4)得

r(v2|Qn)=r(un-1|Qn-1)+

r(v4|Qn)=r(un-1|Qn-1)+

且知道

所以

Kf(Qn-1)+4r(un-1|Qn-1)+26(n-1)+5。

(5)

如圖3,其末端正方形骨牌是通過吸附鄰位頂點或?qū)ξ豁旤c以下2種情形實現(xiàn)。

對于一個隨機多面骨牌鏈Qn(n,t),r(un|Qn)是一個隨機變量，將其數(shù)學(xué)期望記作

Un=E(r(un|Q(n,t,))),

以上2種情形分別以概率t,1-t隨機實現(xiàn)，則

(6)

對于式(6), 由數(shù)學(xué)期望運算性質(zhì)及E(Un)=Un得

Un-1=Un-2+[7t+8(1-t)](n-1)-

Un-2=Un-3+[7t+8(1-t)](n-2)-

……

累加得

(7)

又因為隨機多面骨牌鏈的基爾霍夫指標的期望的遞推式已經(jīng)由式(5)給出，由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)及式(7)得

E(Kf(Q(n,t)))=

E(Kf(Q(n-1,t)))+

E(Kf(Q(n-1,t)))=

E(Kf(Q(n-2,t)))+

E(Kf(Q(n-2,t)))=

E(Kf(Q(n-3,t)))+

……

E(Kf(Q(2,t)))=

E(Kf(Q(1,t)))+

得隨機多面骨牌鏈基爾霍夫指標的數(shù)學(xué)期望為

定理1對于一個隨機多面骨牌鏈Q(n,t)(n≥3), 有

證明由引理1結(jié)果知,

E(Kf(Q(n,t)))=

注意到，當n≥3時,