陳亦文，張錦光

（1.武漢大學(xué)后勤保障部，武漢 430070；2.武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430070）

0 引言

當(dāng)前，工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如火箭、導(dǎo)彈、衛(wèi)星、高鐵、船舶等日趨復(fù)雜，復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)通常由不同形狀的板、梁等結(jié)構(gòu)構(gòu)成主體結(jié)構(gòu)，由大量機(jī)械連接（如螺栓、鉚釘?shù)龋┻M(jìn)行裝配。然而這些機(jī)械連接并非“純”剛性連接，而是剛度較大的彈性連接，為了提高結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性和環(huán)境適應(yīng)性，連接剛度的影響不容忽視［1-2］。文獻(xiàn)［3-4］對(duì)具有彈性連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)采用6 自由度標(biāo)量彈簧對(duì)連接剛度進(jìn)行等效，然而這種方法忽視了連接剛度6 自由度間的耦合作用，等效精度不足。文獻(xiàn)［5-6］指出，空間梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚧嬖?自由度間的剛度耦合，可更為準(zhǔn)確地描述機(jī)械連接剛度。此外，工程中的機(jī)械連接通常有許多參數(shù)（如幾何尺寸、材料參數(shù)等）具有不確定性，這些不確定因素有可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有頻率漂移，因此，在研究彈性連接的動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，應(yīng)充分考慮不確定因素帶來的影響［7-8］。

近年來，區(qū)間分析方法在處理區(qū)間結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題方面的應(yīng)用日益增多，而在處理此類問題的過程中，區(qū)間分析方法的核心問題是有限元控制方程的求解［9］。目前用于求解區(qū)間方程組的常用方法為區(qū)間攝動(dòng)法［10］以及組合求解法［11］，然而，這兩種方法均較難實(shí)現(xiàn)考察結(jié)構(gòu)某一區(qū)間不確定參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性影響的目的，IFM 的提出則可有效地解決這一問題。文獻(xiàn)［12-15］基于IFM 對(duì)區(qū)間結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性以及動(dòng)力響應(yīng)開展了研究工作，并總結(jié)出了IFM 的基本思想和使用步驟，即：1）將結(jié)構(gòu)的區(qū)間參數(shù)寫成其區(qū)間中心值與區(qū)間因子乘積的形式；2）將區(qū)間結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別寫成確定性質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣與結(jié)構(gòu)區(qū)間參數(shù)區(qū)間因子乘積的形式；3）將區(qū)間結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型，以及動(dòng)力響應(yīng)等寫為包含各區(qū)間參數(shù)區(qū)間因子顯式的函數(shù)，并基于區(qū)間分析方法計(jì)算所關(guān)注對(duì)象的區(qū)間上下限和區(qū)間中心值。

此外，對(duì)于日益復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)，其離散后的自由度往往是數(shù)以十萬、百萬計(jì)，因此，直接利用傳統(tǒng)的有限元方法計(jì)算其動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)計(jì)算機(jī)的工作性能帶來了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法是處理分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的高效方法，常用的動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法包括時(shí)域的CMS 和頻域的FBSM。CMS 方法是一種高效計(jì)算理論模型耦合動(dòng)力學(xué)問題的時(shí)域方法，目前已在商業(yè)軟件中得到應(yīng)用［16-17］，但由于該方法對(duì)于處理試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷鸟詈蠁栴}存在限制，因此，F(xiàn)BSM 得到了越來越多的關(guān)注。FBSM 的發(fā)展經(jīng)歷了從最初的阻抗耦合方法到導(dǎo)納耦合方法，再到后來可用于直接處理多個(gè)子結(jié)構(gòu)間耦合問題的廣義導(dǎo)納耦合方法［18-20］，直到形成現(xiàn)有可用于處理考慮彈性連接的多個(gè)子結(jié)構(gòu)間耦合問題的FBSM［21-23］，其計(jì)算精度和計(jì)算效率不斷提高，適用范圍也越來越寬，在工程實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。

基于上述闡述，筆者利用具有區(qū)間彈性模量和比例阻尼系數(shù)的零質(zhì)量空間梁?jiǎn)卧?，模擬復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的區(qū)間彈性連接，綜合動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法和區(qū)間因子法，提出了計(jì)算考慮區(qū)間彈性連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的高效時(shí)域和頻域方法，即CMS-IFM 和FBSM-IFM，并通過數(shù)值仿真對(duì)兩種方法進(jìn)行了驗(yàn)證。相比傳統(tǒng)的有限元方法計(jì)算動(dòng)力學(xué)特性，該方法不再受計(jì)算機(jī)工作性能的限制，可大幅提高計(jì)算效率，為大規(guī)模的推廣應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，可廣泛應(yīng)用于飛行器、航天器、船舶以及車輛等的連接結(jié)構(gòu)中。

1 考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率

設(shè)整體結(jié)構(gòu)是由P 和Q 兩個(gè)子結(jié)構(gòu)組成，且兩個(gè)子結(jié)構(gòu)間為n 個(gè)參數(shù)相同但相互獨(dú)立的彈性連接（即pi～qi，i=1，2，…，n），則具有彈性連接的整體結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示。

圖1 整體結(jié)構(gòu)示意圖

通常情況下，根據(jù)CMS 中子結(jié)構(gòu)的劃分原則，可將圖1 所示的整體結(jié)構(gòu)劃分成P 和Q 兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，二者的界面結(jié)點(diǎn)集分別為Pv和Qv，考慮到彈性連接剛度的影響，兩個(gè)子結(jié)構(gòu)界面節(jié)點(diǎn)自由度位移并不連續(xù)，無法直接利用CMS 對(duì)整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行準(zhǔn)確分析。為了解決這個(gè)問題，本研究將圖1 所示整體結(jié)構(gòu)劃分成P、Q 和C 3 個(gè)子結(jié)構(gòu)，其中C 為連接子結(jié)構(gòu)，且令連接子結(jié)構(gòu)C 只有界面結(jié)點(diǎn)，如下頁圖2 所示。連接子結(jié)構(gòu)C 的劃分，則可使界面位移協(xié)調(diào)條件得到滿足。

待子結(jié)構(gòu)劃分完成后，根據(jù)CMS 的工作原理，首先按照內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度u 和界面結(jié)點(diǎn)自由度v 將主子結(jié)構(gòu)P 和Q 的質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行分塊整理，即MP、KP和MQ、KQ，并在此基礎(chǔ)上分別計(jì)算兩個(gè)主子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)集φP和φQ（由保留主模態(tài)和約束模態(tài)組成）［24］。

圖2 子結(jié)構(gòu)劃分示意圖

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在研究機(jī)械連接對(duì)整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響時(shí)，通常忽略連接質(zhì)量的影響，即令連接質(zhì)量為零［22-23］。同時(shí)，上述提到可利用空間梁?jiǎn)卧膭偠染仃噥淼刃椥赃B接的剛度，因此，本研究利用零質(zhì)量空間梁?jiǎn)卧獊韺?duì)彈性連接進(jìn)行等效。

空間梁?jiǎn)卧膭偠染仃嘖b寫為如下形式：

式中，Kb1為確定矩陣，其表達(dá)式參見文獻(xiàn)［1］，E 為彈性模量。

又由于連接子結(jié)構(gòu)C 中的各個(gè)彈性連接相互獨(dú)立，則根據(jù)式（2）可將連接子結(jié)構(gòu)C 的剛度矩陣KC寫為：

此外，由于空間梁?jiǎn)卧挥薪缑娼Y(jié)點(diǎn)自由度而無內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度，故彈性連接的假設(shè)模態(tài)集φC為：

基于上述分析結(jié)果，可獲得整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和模態(tài)矩陣分別如下形式：

設(shè)整體結(jié)構(gòu)的位移列向量為X，即：

引入界面位移協(xié)調(diào)條件為：

式中，LP和LQ為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣。對(duì)式（4）～式（7）進(jìn)行整理可得：

根據(jù)式（8）引入矩陣T對(duì)模態(tài)坐標(biāo)Y 進(jìn)行變換，如下所示：

式中，模態(tài)坐標(biāo)Z 中各分塊元素相互獨(dú)立。與此同時(shí)，可得對(duì)應(yīng)的模態(tài)參數(shù)矩陣分別為：

綜上所述，基于CMS 建立的如圖1 所示整體結(jié)構(gòu)自由度縮減后的振動(dòng)方程為：

則由瑞利商公式可得圖1 所示整體結(jié)構(gòu)的第i階角頻率ωi為：

式中，Φi為式（11）所示振動(dòng)方程的第i 階模態(tài)矩陣，矩陣K1和K2均為確定矩陣，二者的表達(dá)式分別為：

2 考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)

考慮彈性連接的FBSM 是基于廣義導(dǎo)納方法推導(dǎo)獲得，而在廣義導(dǎo)納方法的推導(dǎo)過程中要求把所有的子結(jié)構(gòu)等效成一個(gè)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)來進(jìn)行處理，故由文獻(xiàn)［20］可知，可利用圖3 所示示意圖對(duì)考慮彈性連接的FBSM 進(jìn)行推導(dǎo)。

圖3 考慮彈性連接的頻域子結(jié)構(gòu)方法的推導(dǎo)示意圖

圖3 中，頂標(biāo)“-”和“～”為子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和彈性連接，b 和c 為界面節(jié)點(diǎn)自由度，a 為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度。據(jù)此可知，子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的彈性連接的阻抗矩陣和頻響函數(shù)矩陣為：

式中，x 和f 分別為響應(yīng)和激勵(lì)列向量，H 和Z 分別為頻響函數(shù)和阻抗矩陣，H 為子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，ZC為彈性連接的阻抗矩陣。假設(shè)彈性連接的阻尼為瑞利阻尼，且考慮到MC=0，則可得ZC的表達(dá)式為：

式中，j 為虛數(shù)單位，β 為瑞利阻尼比例系數(shù)。

由于子結(jié)構(gòu)綜合前后其內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度未發(fā)生改變，則有：

引入考慮彈性連接的位移協(xié)調(diào)和力平衡條件如下：

整理式（14）、式（17）和式（18）可得：

整理式（15）、式（17）和式（18）可得：

將式（20）代入式（19）并寫成矩陣形式可得：

此時(shí)，將式（17）、式（18）和式（21）代入式（15），并進(jìn)行整理即可獲得考慮彈性連接整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣H：

上述即為考慮彈性連接FBSM 的推導(dǎo)過程及結(jié)果。此外，文獻(xiàn)［25-26］指出，若上式中的求逆矩陣為奇異矩陣，可利用奇異值分解方法對(duì)其進(jìn)行處理，從而提高該方法的適用性。

3 考慮區(qū)間彈性連接的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性

本研究將空間梁?jiǎn)卧膹椥阅Ａ縀 和比例阻尼系數(shù)β，設(shè)成區(qū)間參數(shù)以模擬彈性連接的區(qū)間不確定性。對(duì)區(qū)間參數(shù)的基本概念進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，設(shè)G為區(qū)間參數(shù)，可寫成如下形式：

式中，Gx和Gs分別表示區(qū)間參數(shù)G 的區(qū)間下限和上限。此時(shí)，根據(jù)IFM 可將區(qū)間參數(shù)G 寫成其區(qū)間中心值Gc與區(qū)間因子Gi乘積的形式，即：

上式中，Gc和Gi的表達(dá)式分別為：

式中，δG 為區(qū)間參數(shù)G 的相對(duì)不確定量，其表達(dá)式為：

式中，ΔG 為區(qū)間參數(shù)G 的區(qū)間半徑，其表達(dá)式為：

故由上述可得：

3.1 考慮區(qū)間彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率

式（12）所示固有頻率的表達(dá)式中，除彈性模量E 外，Φi也為區(qū)間參數(shù)，故可將Φi寫成其區(qū)間中心值與區(qū)間因子乘積的形式，即：

將式（28）和式（29）代入式（12）并進(jìn)行整理可得：

式中，ξi的表達(dá)式為：

3.2 考慮區(qū)間彈性連接的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)

記e=1+jωβ，則e 也為區(qū)間參數(shù)，即可寫為：

將式（2）、式（28）和式（33）代入式（16）并整理可得：

將式（34）代入式（22）并整理可得：

此時(shí)，根據(jù)區(qū)間分析方法，可得考慮區(qū)間彈性連接的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)幅值的區(qū)間下限和區(qū)間上限分別為：

式中，ξ 的表達(dá)式為：

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證CMS-IFM 和FBSM-IFM，本研究設(shè)計(jì)了一個(gè)梁結(jié)構(gòu)，如圖4 所示。其中，矩形截面梁P 和Q 的材料參數(shù)和幾何尺寸相同，阻尼均為瑞利比例阻尼，兩根梁的參數(shù)均為確定參數(shù)；C 為兩根參數(shù)相同的圓形截面梁，其密度設(shè)為0，彈性模量和瑞利阻尼比例系數(shù)為區(qū)間參數(shù)，用來模擬區(qū)間彈性連接。利用空間梁?jiǎn)卧獙?duì)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，并定義單元屬性［27-28］，其中，表1 為連接子結(jié)構(gòu)C 的單元屬性，表2 為主子結(jié)構(gòu)P 和Q 的單元屬性。

圖4 梁結(jié)構(gòu)示意圖

分別利用CMS-IFM 和FBSM-IFM 對(duì)梁結(jié)構(gòu)的固有頻率和指定結(jié)點(diǎn)頻響函數(shù)幅值的區(qū)間下限和上限進(jìn)行了計(jì)算，同時(shí)利用Monte-Carlo 模擬方法開展了相應(yīng)計(jì)算。在利用CMS-IFM 計(jì)算時(shí)，保留子結(jié)構(gòu)P 和Q 的前30 階主模態(tài)參加模態(tài)綜合；在利用FBSM-IFM 開展計(jì)算時(shí)，選用子結(jié)構(gòu)P 和Q 的前30 階模態(tài)進(jìn)行各自頻響函數(shù)矩陣的計(jì)算，計(jì)算方法參見文獻(xiàn)［27］。在利用Monte-Carlo 模擬方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，假設(shè)兩個(gè)區(qū)間參數(shù)E 和β 在其分布區(qū)間內(nèi)都呈均勻分布，然后生成5 000 個(gè)樣本，并分別代入整體結(jié)構(gòu)的有限元模型中進(jìn)行計(jì)算（即共計(jì)算5 000次），最后從5 000 個(gè)計(jì)算結(jié)果中選取固有頻率和頻響函數(shù)的區(qū)間下限和上限。

表1 連接子結(jié)構(gòu)C 的單元屬性

表2 主子結(jié)構(gòu)P 和Q 的單元屬性

表3 給出了利用CMS-IFM 和Monte-Carlo 模擬方法對(duì)算例結(jié)構(gòu)固有頻率區(qū)間下限和上限計(jì)算結(jié)果的對(duì)比情況。圖5 給出了利用FBSM-IFM 和Monte-Carlo 模擬方法，對(duì)算例結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)u 和v 之間3 個(gè)平動(dòng)方向頻響函數(shù)幅值區(qū)間下限和區(qū)間上限的計(jì)算結(jié)果對(duì)比情況。

表3 中，CIx、CIs和MCx、MCs分別為CMS-IFM和Monte-Carlo 模擬方法對(duì)固有頻率計(jì)算結(jié)果的區(qū)間下限和上限，εx和εs分別為CMS-IFM 對(duì)固有頻率區(qū)間下限和上限的相對(duì)計(jì)算誤差。不難發(fā)現(xiàn)，CMS-IFM 對(duì)固有頻率區(qū)間下限和上限的相對(duì)計(jì)算誤差分別在±0.586 %和±0.628 %以內(nèi)，表明CMS-IFM 在保證計(jì)算精度的前提下，可有效提升計(jì)算效率。

表3 CMS-IFM 和Monte-Carlo 模擬方法計(jì)算結(jié)果

圖5 不同平動(dòng)方向兩種方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比情況

由圖5 可知，兩種方法對(duì)圖3 所示算例結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)幅值區(qū)間下限和區(qū)間上限的計(jì)算結(jié)果吻合程度良好，驗(yàn)證了FBSM-IFM 的正確性。

5 結(jié)論

1）筆者利用具有區(qū)間彈性模量和比例阻尼系數(shù)的零質(zhì)量空間梁?jiǎn)卧M復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的區(qū)間彈性連接，基于CMS 和FBSM 對(duì)考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率和頻響函數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)，并結(jié)合IFM 提出了計(jì)算考慮區(qū)間彈性連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的高效方法，即CMS-IFM 和FBSM-IFM。

2）該方法基于IFM 綜合考慮彈性連接結(jié)構(gòu)的區(qū)間不確定性，不僅可以單獨(dú)考察某一區(qū)間不確定參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，而且可以有效地規(guī)避區(qū)間參數(shù)，按照確定參數(shù)進(jìn)行處理時(shí)可能得到矛盾的或很不合理的結(jié)果的問題。

3）算例仿真結(jié)果表明：與Monte-Carlo 模擬方法相比，CMS-IFM 和FBSM-IFM 在保證計(jì)算精度的同時(shí)，均可大幅提升計(jì)算效率，所得的結(jié)論具有較高的理論研究和工程應(yīng)用價(jià)值。