張峰 陶然

[摘 要] 集合論知識在數學體系中具有基礎性地位，是整個數學的基礎。對各個專業(yè)的學生進行數學基礎方面的教學，對于提高學生的文化素質具有重要意義。通過設計相應的課程教學策略，培養(yǎng)學生應用集合論的基本原理思考和分析所從事專業(yè)當中涉及的問題，并能夠用集合論知識中所蘊含的邏輯思維方法提升工程實際中數學描述和表達的深度與廣度。

[關鍵詞] 數學基礎;集合論;文化素質;邏輯思維;教學實踐

[基金項目] 2020年度北京理工大學教改重點項目“新形勢下信息與通信工程研究生教育教學及國際化人才培養(yǎng)的改革探索”;2019年度北京理工大學信息與電子學院教改項目“信號分析和處理核心課程教學改革探索與實踐”

[作者簡介] 張 峰（1981—），男，河南新鄉(xiāng)人，博士，北京理工大學信息與電子學院副教授，博士生導師，主要從事非平穩(wěn)信號處理、機器學習和數學基礎方面的研究;陶 然（1964—），男，安徽南陵人，博士，北京理工大學信息與電子學院教授，信息與通信工程、應用數學雙學科博士生導師，主要從事復雜信息系統(tǒng)、信號與信息處理等科研領域和本碩博一體化貫通培養(yǎng)教學領域的研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ?[文章編號] 1674-9324（2021）17-0104-04? ?[收稿日期] 2020-09-29

一、前言

本科人才培養(yǎng)是重點大學組成人才培養(yǎng)的部分，其中，課堂教學是本科人才培養(yǎng)的主渠道。如何提高本科教學質量，是整個本科教學改革的關鍵。這其中涉及大學教育教學的方方面面，而培養(yǎng)學生的文化素質、思維能力是關鍵的環(huán)節(jié)。

數學基礎在學生的文化素質培養(yǎng)過程中，占有重要的地位。集合論知識作為數學的基礎，幾乎滲透到數學的所有方面。目前數學體系中的代數、分析、拓撲都是以集合論知識作為基礎的。更為重要的是集合論知識的學習過程也是鍛煉思維能力的良好機會。通過集合論知識的學習，不僅可以夯實進一步學習后續(xù)數學課程的基礎，了解已掌握數學知識背后的數學基礎，而且還可以將集合論知識中的邏輯思考方法應用于生活和學習中的許多方面[1-6]。

通過集合論的學習，以集合論知識為基礎，可以連接信息、通信、雷達、導航、生物醫(yī)學、聲學、圖像、光學、模式識別、自動控制、數學等多個領域和多個學科，進而引導學生關注研究前沿和交叉學科，調動學生的自主學習積極性，努力培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和獨立科研能力。打通以集合論為基礎知識的數學類課程在通識課程—專業(yè)課程—選修課程—科研創(chuàng)新—學位論文各個環(huán)節(jié)的通道，貫通本碩博知識體系。

目前國內關于樸素集合論的課程設置方面，主要是在數學專業(yè)相關的課程中分布，沒有形成系統(tǒng)的專門課程講解樸素集合論，其他專業(yè)的學生更加難以接觸到系統(tǒng)的集合論知識。在講授方面，很多代數、分析、拓撲方面的課程如果涉及集合論知識，也僅僅是用3學時左右的時間完成集合基本概念和性質方面的講授，也就是說只講授具體數學課程中所用到的一些集合論知識。

二、課程設計

（一）課程目標和預期學習成果

通過課堂教學使學生掌握集合論的基本知識和數學的邏輯思維方法，，能夠應用集合論的基本原理來思考和分析所從事專業(yè)當中涉及的問題，并能夠用集合論知識中所蘊含的邏輯思維方法提升工程實際問題中數學描述和表達的深度與廣度，培養(yǎng)學生深入思考的習慣。

通過集合論課程的學習，學生應了解數學基礎的發(fā)展史，了解不同數學分支的產生背景及它們之間的關系;掌握集合論的基本知識，能獨立完成課上布置的隨堂測驗題目;可以依靠少量的知識點記憶，重點通過各個知識點之間的邏輯鏈條，把集合論課程所學的知識點串聯起來。培養(yǎng)數學的抽象和邏輯思維方法，并將這種思維方法應用到所學具體專業(yè)中。

（二）課程內容

1.數學基礎的發(fā)展史。包括歐幾里得幾何、Peano自然數公理、ZFC集論。這一部分主要是對數學基礎的發(fā)展史做一個介紹，使得學生了解數學基礎最初是從幾何學中起源的。在幾何學中，亞里士多德所建立的邏輯推理方法一直沿用至今。這其中，相對于幾何學，代數學發(fā)展較為緩慢，因為代數學相對于幾何學而言，比較抽象。后來隨著解析幾何學的出現，代數學迎來了大發(fā)展。之后微積分的發(fā)明促使人們對日常使用的數系進行邏輯上的考察，而其中的自然數起到基礎的作用。在各種數系通過邏輯建立的過程中，各種各樣的無限數集出現了，這就促進了集合論的誕生，進而也促進了公理化集合理論的發(fā)展。

2.集合的定義與性質，包括集合的基本運算與恒等式。由于本課程講授的是樸素集合論，所以這一部分給出了集合的一些基本概念和性質，其中，以集合代數為核心內容。通過這一部分的學習，使學生了解集合的一些基本性質，包括元素與集合的屬于關系、集合之間的包含關系，以及集合之間的交、并、補、積、冪運算等。

3.關系，包括關系的定義與性質、等價關系、偏序關系。關系是集合論中一個重要的基礎概念，它可以通過集合的乘積來定義。通過這一部分對關系的概念和性質的介紹，使學生對關系的集合表示有所了解，熟練掌握常用到的等價關系和偏序關系，進而會對“等價”和“排序”如何采用集合進行合理的描述有了深刻的認識。

4.映射，包括映射的定義與性質、集合與映射。在集合論的體系內完成映射的定義是非常重要的，這是由于映射就是函數，在整個數學知識中占有舉足輕重的地位。通過這一部分的學習，學生會對在其他課程中所學習到的諸如函數、變換、映射等概念有更加深刻的認識，進而熟練掌握映射中的單射、滿射、雙射。

5.勢與基數，包括集合的等勢與優(yōu)勢、集合的基數。通過前面集合論知識的鋪墊，這一部分對集合論的核心內容勢和基數進行初步的介紹。對于集合而言，抽象地看，集合所含元素的多少是一個基本的問題。通過這一部分的學習，學生會了解集合之間所含元素多少的比較方法、無限集和有限集的不同點在哪里，以及無限集的本質特點。

以上課程內容涉及整個數學體系的介紹和具體集合論知識點的講解。其中包含了樸素集合論中最重要、最基本的知識，這些具體的知識考查以習題的形式進行，從而定量分析學生對課上知識的掌握程度。熟練掌握這些知識會極大地促進學生對已學數學知識的再認識，極大地促進對后續(xù)數學課程的理解。由于本課程除了講授集合論本身的知識外，在講授過程中處處體現數學的邏輯思維方法;因此，以上課程內容的每一個部分都直接對應和支撐本課程的預期學習成果，可以說本課程內容處處支撐了本課程的目標。

有關本課程設計的課程目標和課程內容之間的關系如圖1所示。

（三）課程教學策略和考核辦法

為了使同學們熟練掌握集合論的知識，深入理解數學的邏輯思維方法，筆者在課程教學上采用了三方面的教學策略。

1.強化知識點之間邏輯鏈條的建立。當學生對集合論的知識點掌握非常熟悉時，應該可以形成一種近似于“無”的感覺，也就是說感覺這些知識點都是連接緊密的，不需要記住很多東西，可以依靠各個知識點之間的邏輯鏈條，把各個知識點一一呈現出來。為了盡可能讓學生達到這種目標，筆者在課程講授上非常注重邏輯鏈條的建立。比如，在課程一開始就告訴學生，集合論的知識點不需要大家記太多，學習這門課程中的知識就好比數學歸納法中，只需要有一個n=1起點，并建立起n到n+1的邏輯鏈條，就可以把結論歸納到整個自然數集上。再比如，在講授集合在映射下的像與原像時，告訴學生這些定義都是自然的、顯然的，因為都是繼承集合在關系下的像這種運算，當掌握關系的幾種運算后，由于映射是具有單值的關系，所以關系的運算與性質對于映射同樣有效。

2.融合知識點講解中的嚴謹性和通俗性。數學知識點強調其嚴謹性。為了學生方便理解相關知識點，筆者在保證講解知識點嚴謹性的同時，也會通過類比自然生活中的例子進行通俗的示例。比如，在講解等價關系時，先在嚴謹性方面說明等價關系需要滿足自反性、對稱性、傳遞性;然后告訴學生這些都是顯然的，都可以從現實生活中找到例子。比如，在座的學生按照相同的姓氏關系，構成一種等價關系，它顯然滿足自反性、對稱性、傳遞性，根據這三個性質來定義等價關系是顯然的，也應該這么做，如果是學生來定義等價關系，結合生活中的例子，也會這么定義。再比如，在講解集合列的上下極限時，除了給出其嚴謹的數學定義外，也構造生活中的例子進行闡述，比如考慮在座的，假設有無限多個，將學生排成一行，假設他們參加某種考試，考試成績按照得滿分和沒得滿分標記，則考查有無限個學生得滿分的情況和只有個別學生沒有得滿分的情況。通過這一類比，學生容易理解相關概念。

3.知識點講解中采用全程板書。為了促進學生更好地理解數學的思維方法，筆者采用全程板書的教學方法。筆者認為，只有這樣才可以將授課教師對數學知識點的思維方法，完全地、全程地展現給學生。同時，學生在一步一步的詳細數學推導中，可以與教師一同思考，加深學習印象;同時，獲得詳盡的數學邏輯思考方法和技巧，也避免了采用幻燈片講課，學生容易跟不上授課教師節(jié)奏的情況。此外，筆者也認為，像這種非實驗類課程，不僅是數學課的講授，包括工程應用中的算法類課程，采用全板書的方法也更容易讓學生跟上授課教師的節(jié)奏，深入理解更多的知識點。比如在這門課程中，不僅是相關定義與性質，包括各個性質的證明、各個例題講解，都采用詳細板書的方法。

在考核辦法方面，本課程的考核包括平時作業(yè)、課程論文、出勤及課上表現。其中，平時作業(yè)不采用計算類作業(yè)，而是采用證明類作業(yè)這種開放類作業(yè)，這樣可以從平時作業(yè)中定量評價和考查學生掌握相關知識的程度與邏輯思維能力。此外，課程講解完后，布置課程論文，該論文也是開放性的課題，學生可以從所學知識的廣度上進行，也可以從所學知識的深度上進行。降低以往課程考核中的出勤率所占比重，增加了課上表現成績，通過鼓勵學生出勤，并且促進學生在課上認真聽講，有所收獲。這些方面可以全面反映學生平時和整個學期掌握所學知識點的程度。

（四）課程評價

在課程整體上，課程設計了整個32學時的課程內容，各個內容之間通過嚴密的邏輯鏈條整合為一體，環(huán)環(huán)相扣。整個課程內容的設計完全契合本課程所要達成的目標。通過每章節(jié)結束后布置的課堂作業(yè)了解學生對具體內容和數學思維方法的運用情況。

在課程的學生個體上，課程評價緊密結合課程的考核方法，以了解學生達到課程設計目標的程度。除了在平時作業(yè)中，實時掌握學生學習程度，在講授課程中，筆者也會在給出例題后，先讓學生思考1～3分鐘，然后在板書過程中，也時時提問學生，采用啟發(fā)式的方法，引導學生積極思考。從授課教師與學生交互的過程中，評價學生對相關知識點的掌握程度。

三、課程特色

筆者所選的課程教學內容取自于樸素集合論中最基本、最重要方面，這些知識也是筆者本人通過多個數學學科中的知識總結凝煉出來的，并非直接取自某一門具體數學學科的知識。同時，筆者在對這門課程的理解和講授過程中，也形成了自己獨到的見解。由于筆者一直在電子信息領域學習和工作，充分理解工科學生對于數學的感覺，所以筆者更容易站在工程應用領域研究人員的角度去講解純數學的思想。

四、課程實施效果

筆者開設校文化素質通識課的名稱為“集合論開啟理性思維的鑰匙”。由于本門課程并不要求學生具備很多的數學知識，所以筆者設置的這門課程面向全校所有學院、所有年級開設。選這門課程的學生很多是來自不同學院的“菁英班”“卓越班”“實驗班”，以及“徐特立英才班”，包括數學菁英班、物理菁英班、理學與材料菁英班、徐特立英才班、電氣工程及其自動化卓越班、經濟管理試驗班、電子信息實驗班、電子信息全英文班等。

考慮到整個課程只有32學時，因此，筆者選取了樸素集合論中最重要、最基礎的部分進行講授。這些集合論知識對于絕大多數學生將來的數學知識學習都是足夠用的。為了更好地體現數學的思維方法和規(guī)律，在每節(jié)課的講授過程中，筆者嘗試采用全程板書的教學方法，不采用任何輔助材料（比如幻燈片、教材等）。這樣操作更有利于學生從細節(jié)上、從整個過程中體會數學的思維方法和規(guī)律。這種方法受到了學生的熱烈歡迎。這種方法減少了學生的記憶材料，幫助學生利用邏輯鏈條把一個一個的知識點串起來，完成整個邏輯鏈條的建立，這就使得無論學生來自哪個學院、來自哪個年級、未來的目標是什么，都可以從這門課程中收獲很多。

五、結論

筆者擬在后面的1～2輪次的授課過程中，強化課程特色，做到對數學專業(yè)的學生有聯系客觀實際的促進，對工科專業(yè)的學生有實際應用提煉數學思想的促進，并將這門課程建設成精品課程。筆者認為精品課程標準中，最重要的標準是學生的廣泛認可。筆者也擬在課程內容、評價方法等方面對本課程進行持續(xù)改進。

參考文獻

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Teaching Exploration of Cultural Quality Course in Mathematics Foundation

ZHANG Feng， TAO Ran

（School of Information and Electronic， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract： Set theory knowledge has the basic position in mathematical system， and is the foundation of the entire mathematics. Teaching the foundation of the mathematics to students of different majors has great significance for improving their cultural literacy. Through the design of course teaching strategies， students are trained to apply the basic principles of set theory to think and analyze the problems involved in their majors， and to use the logical thinking methods contained in set theory knowledge to enhance the depth and breadth of the mathematical description and expression in practical engineering problems.

Key words： mathematical foundation; set theory; cultural literacy; logical thinking; teaching practice