徐婷艷，張 林

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

量子糾纏是粒子在由2個(gè)或2個(gè)以上粒子組成系統(tǒng)中相互影響的現(xiàn)象。量子糾纏作為一種物理資源，在量子信息的各方面，如量子通訊、量子密鑰分配、量子計(jì)算等起著很大作用，是現(xiàn)今許多學(xué)者的一個(gè)研究方向。相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，在純兩體態(tài)上由密度算子構(gòu)成的嚴(yán)格凹函數(shù)給出的糾纏測(cè)度在純?nèi)w態(tài)上是單配的[1]。一個(gè)特殊的例子是馮·諾依曼熵，并被證明是嚴(yán)格凹的[2]，因此它在純?nèi)w態(tài)上是單配的。利用文獻(xiàn)[1]的結(jié)論，文獻(xiàn)[3]建立一個(gè)嚴(yán)格的框架來(lái)定義多體糾纏測(cè)度，進(jìn)而研究多體糾纏測(cè)度的單配關(guān)系。因此，研究嚴(yán)格凹函數(shù)，判斷是否能形成糾纏的單配具有重要的意義。而對(duì)嚴(yán)格凸函數(shù)取相反數(shù)時(shí)，即可得到一個(gè)嚴(yán)格凹函數(shù)。本文主要研究一類由可變換正定密度算子構(gòu)成的算子凸函數(shù)，并給出其滿足嚴(yán)格凸性的條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]假設(shè)一個(gè)函數(shù)f(x)是算子凸函數(shù)，對(duì)任意2個(gè)有界的復(fù)d×d自伴算子A，B，有以下不等式成立：

(1)

定義2[5]假設(shè)一個(gè)函數(shù)f(x)是中點(diǎn)凸函數(shù)，對(duì)任意2個(gè)有界的復(fù)d×d自伴算子A，B，有以下不等式成立：

(2)

每個(gè)點(diǎn)都連續(xù)的中點(diǎn)凸函數(shù)就是凸函數(shù)。

對(duì)于以上2種凸函數(shù)的定義方式，當(dāng)?shù)忍?hào)不成立時(shí)，算子函數(shù)滿足嚴(yán)格凸性。

(3)

2 一類算子嚴(yán)格凸函數(shù)

(4)

由于

(5)

(6)

應(yīng)用Cauchy-Schwartz不等式，可得：

于是有

(7)

由譜分解定理，可得：

ρ1+ρ2=Udiag(λ1,…,λd)U+，λ1,…,λd>0

ρ1-ρ2=Vdiag(μ1,…,μd)V+，μ1,…,μd∈R

(1)若Tr(ρr-1Δ)=0，有

Φ(0)=(r-1)sTr(ρr)Tr(ρr-2Δ2)

(8)

即當(dāng)r>1，s>0或者00。

(2)若Tr(ρr-1Δ)≠0，有

(9)

即當(dāng)rs>1，s>0或者rs<1，s<0時(shí)，Φ(0)>0。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究一類算子凸函數(shù)是嚴(yán)格凸函數(shù)，使用關(guān)于一類算子函數(shù)凸性的一個(gè)不等式進(jìn)行證明。為了便于應(yīng)用，本文還給出一個(gè)推論，即一類特殊的算子凸函數(shù)是嚴(yán)格凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則。在此基礎(chǔ)上，將繼續(xù)研究由該類算子凸函數(shù)定義的廣義熵在量子糾纏中的應(yīng)用。