邵一鳴，賈祥磊

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)中時(shí)常存在非線性現(xiàn)象，采用近似線性化的方法往往無法處理這些現(xiàn)象，所以常常用非線性模型來描述。這種方式雖然能較精確建立系統(tǒng)模型，但也使處理過程變得更復(fù)雜。當(dāng)非線性部分中存在時(shí)滯時(shí)，還會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成不利影響。對(duì)于一類非線性函數(shù)被已知增長率的線性條件約束的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[1]設(shè)計(jì)了基于非分離原則的輸出反饋控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。當(dāng)約束條件增長率未知時(shí)，文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)輸出反饋控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定。當(dāng)非線性系統(tǒng)輸出具有不確定性時(shí)，文獻(xiàn)[3]采用齊次占優(yōu)的思想，通過設(shè)計(jì)輸出無關(guān)觀測器得到了全局輸出反饋控制器。而文獻(xiàn)[4]則采用一種雙控制增益的方法，得到更簡于文獻(xiàn)[3]的設(shè)計(jì)方法，并衍生了一系列成果。對(duì)于一類具有不確定輸出且非線性增長率為輸出多項(xiàng)式的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]給出了一種輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)[6]針對(duì)一類不確定輸出和時(shí)滯同時(shí)存在的非線性系統(tǒng)，給出了一種非backstepping控制器設(shè)計(jì)方案，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。本文對(duì)一類非線性部分增長率為輸出多項(xiàng)式的系統(tǒng)展開研究，同時(shí)考慮量測不確定和時(shí)滯因素，解決了該系統(tǒng)的全局輸出反饋鎮(zhèn)定問題。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

具有量測不確定性的非線性時(shí)滯系統(tǒng)如下：

(1)

(2)

(3)

式中，c≥0是已知常數(shù)，p是已知正整數(shù)。

由y=θx1和式(2)可以得到，非線性項(xiàng)限制條件(3)等價(jià)于：

(4)

(5)

引理2[1]對(duì)于矩陣A和D，

因?yàn)锳是Hurwitz矩陣，所以存在合適的系數(shù)ai和正定矩陣P=PT>0滿足：

ATP+PA≤-I,c1I≤DP+PD≤c2I

(6)

式中，c1和c2是正常數(shù)。

2 主要結(jié)果

定理若系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)條件1和條件2，則如下控制器可以保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

(7)

證明首先引入如下狀態(tài)變換：

(8)

定義對(duì)角矩陣Dl=diag{σ,σ+1,…,σ+n-1}，結(jié)合式(8)可得ε=[ε1,…,εn]T的導(dǎo)數(shù)：

(9)

式中，a=[a1,…,an]T，Φ(·)=[φ1(·),…,φn(·)]T。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)Vε=εTPε，由式(9)得：

(10)

由式(2)和式(5)得：

(11)

(12)

(13)

由式(10)—式(13)推導(dǎo)出：

(14)

選擇如下Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

(15)

由式(14)和式(15)得：

(16)

下面通過backstepping方法設(shè)計(jì)輸出反饋控制器。

(17)

(18)

(19)

(20)

式中，d2是合適的已知正常數(shù)。另外，由式(5)推出：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

與式(20)類似，引入如下不等式：

(26)

式中，dn是合適的正常數(shù)。另外由式(23)推出：

(27)

(28)

再次，設(shè)計(jì)如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

(29)

由式(28)和式(29)推出：

(30)

其中由式(7)可以得到：

(31)

由式(5)得到：

(32)

最后，設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)W=(n+1)Wε+Wn。由式(16)和式(29)—式(32)得：

(33)

選擇如下系數(shù)：

(34)

推導(dǎo)出：

(35)

(36)

由式(36)得系統(tǒng)(1)中狀態(tài)漸近收斂為0，定理得證。

3 數(shù)值示例

具有不確定輸出的非線性時(shí)滯系統(tǒng)如下：

(37)

式中，θ1和0.8≤θ2≤1.2是不確定常數(shù)，τ是未知常時(shí)滯。顯然該系統(tǒng)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，采用定理中控制方案設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，選取參數(shù)α1=0.2，α2=12.5，k1=750和k2=180，可得：

(38)

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖2 觀測器狀態(tài)軌跡

圖3 動(dòng)態(tài)增益軌跡

圖4 控制信號(hào)軌跡

從圖1—圖4可以看出，在控制器的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)和觀測器狀態(tài)收斂為0，且自適應(yīng)增益有界，說明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。另外，由于選擇了較大的控制器參數(shù)，使得圖1和圖2中系統(tǒng)狀態(tài)和觀測器狀態(tài)收斂速度很快，但導(dǎo)致圖4控制器輸入波動(dòng)較大，說明可以通過選擇合適參數(shù)來達(dá)到理想的控制需求。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)一類具有量測不確定性的非線性時(shí)滯系統(tǒng)，聯(lián)合縮放變換技術(shù)和backstepping方法，提出一種輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方法，克服了被控系統(tǒng)中非線性項(xiàng)、量測不確定性和未知時(shí)滯帶來的障礙，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。后續(xù)將對(duì)已知信息更少的非線性時(shí)滯系統(tǒng)展開研究。