江蘇省江浦高級中學(xué) (211800) 何雪冰

1 問題的提出

數(shù)學(xué)解題作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中的核心內(nèi)容，它既是推進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的有效手段，又是核心素養(yǎng)培育的重要途徑．那么怎樣有效利用“解題”這一途徑來培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為解題需要“一題多解”，但更要“一題多思、一題多悟”．本文就“一題多解”課堂教學(xué)方法予以研究．

2 問題的探究

“一題多解”是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中常用的方法，通過多角度、多層次地對一道題目進(jìn)行分析，激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深他們對所學(xué)知識的理解，并將新舊知識融會貫通，訓(xùn)練他們對數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉他們思維的廣闊性、深刻性和靈活性，提高學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到學(xué)科育人的目的．

2.1 用“一題多解”梳理整合知識，促進(jìn)知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

波利亞在《怎樣解題》一書中指出，完整的數(shù)學(xué)解題可分為四步：①弄清問題；②擬定計(jì)劃；③實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；④回顧反思．其中最為核心的步驟是擬定計(jì)劃，也是“一題多解”思路產(chǎn)生的重要環(huán)節(jié)．

例1 已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5).設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求x,y,z滿足的關(guān)系式.

思路探究：(1)由題目條件聯(lián)想到空間四點(diǎn)共面問題，從而可以由共面定理以及四點(diǎn)共面相關(guān)結(jié)論來處理；(2)空間直角坐標(biāo)系中平面內(nèi)的點(diǎn)M滿足關(guān)于x，y，z的三元一次方程，可以利用待定系數(shù)法求解；(3)考慮引入輔助元素——法向量來處理.因此有以下解法：

解法3：設(shè)平面ABC的方程為Ax+By+Cz+D=0.將點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)代入得

解法評析：以上從不同角度、聯(lián)系不同知識點(diǎn)對問題進(jìn)行求解，用看似孤立的知識點(diǎn)解決同一個(gè)問題，課堂上要給學(xué)生留足思考的時(shí)間，促進(jìn)學(xué)生對知識點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系的理解.“一題多解”既是推進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的有效手段，又是核心素養(yǎng)培育的重要途徑. 教師將引領(lǐng)學(xué)生合理聯(lián)想，從問題的已知條件出發(fā)，多角度、多方面地思考問題，有效地引導(dǎo)學(xué)生以問題為中心將知識點(diǎn)從前到后連成線、織成面，促進(jìn)知識的梳理與整合，幫助學(xué)生將知識融會貫通，構(gòu)建知識體系，逐步提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

2.2 用“一題多解”發(fā)散學(xué)生思維，提升邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng),是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.“一題多解”是教學(xué)生學(xué)會解題的重要途徑，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的主要策略. 教師以“一題多解”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，深化思維和路徑選擇，提煉通性通法等，能有效地整合和提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

思路探究：(1)利用代數(shù)法，結(jié)合向量坐標(biāo)關(guān)系、拋物線方程可以求出點(diǎn)坐標(biāo)；(2)利用代數(shù)法，結(jié)合向量坐標(biāo)關(guān)系、焦半徑公式求解；(3)利用代數(shù)法，結(jié)合焦半徑的三角公式求解；(4)利用幾何法，結(jié)合相似關(guān)系求解．因此有以下幾種方法：

圖1

評注：也可以過點(diǎn)B作AA′的垂線，垂足為K，構(gòu)造直角三角形ABK也可以解決此題，與解法3類似，這里不再贅述．

解法評析：以上五種解法也是學(xué)生思維逐步深化的過程，先從代數(shù)法、幾何法兩個(gè)層面進(jìn)行選擇，代數(shù)法中又發(fā)現(xiàn)條件特殊性進(jìn)而方法相應(yīng)改變，再聯(lián)想到公式法，解題時(shí)需要仔細(xì)觀察條件，靈活選擇方法，以求又快又準(zhǔn)地解出答案，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性、靈活性和多樣性，提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．但“一題多解”并不是課堂上教師的“解題秀”，更不是學(xué)霸們的“表演秀”，需要教師研究學(xué)情、了解學(xué)生，教學(xué)生所需，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，兼顧優(yōu)秀生、中等生及學(xué)困生，并在各層次學(xué)生之間尋求平衡．

2.3 用“一題多解”探究問題本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的核心素養(yǎng)增加了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，指明未來高中數(shù)學(xué)教育前進(jìn)的方向是致力于數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐，以此支撐其他學(xué)科領(lǐng)域的研究.數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題或事件進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)抽象，它用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題.

圖2

思路探究：從構(gòu)建數(shù)學(xué)模型視角分析例3，可以有四種策略：(1)解三角形模型；(2)函數(shù)模型；(3)解析幾何模型；(4)基本不等式模型.因此有以下解法：

圖3

解法評析：本例中分別構(gòu)建解三角形模型、基本不等式模型、函數(shù)模型、解析幾何模型，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識．教師要在課堂上給學(xué)生留足“悟”的時(shí)間，要讓學(xué)生親歷計(jì)算的過程，充分感受不同解法在計(jì)算量上的區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生比較各種解法的限制性、適用性、思維量，要讓學(xué)生“一題多思、一題多悟”，從而找到最適合的方法，并將該方法領(lǐng)悟透徹、落實(shí)到位，這樣才能最大程度發(fā)揮“一題多解”的作用！

3 問題的反思

“一題多解”教學(xué)不能成為教師在課堂上的“表演秀”，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①教學(xué)要兼顧學(xué)生能力的差異，面向全體學(xué)生要講解通性通法，特殊解法可以適當(dāng)點(diǎn)撥思路，讓學(xué)生課后自行討論研究；②教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，把潛在的發(fā)展水平變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)的發(fā)展水平，并創(chuàng)造新的“最近發(fā)展區(qū)”，使教學(xué)走在發(fā)展的前面；③教學(xué)要精選素材，因此教師要研究教材、研究課標(biāo)、研究考題、研究學(xué)生；④教學(xué)要重視學(xué)生在課堂中的再體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生“怎樣想到這樣解、為什么這么想、遇到哪些問題可以這樣想”；讓學(xué)生親歷體驗(yàn)解題活動，給學(xué)生整理和體會的時(shí)間甚至再做一遍；留足時(shí)間讓學(xué)生領(lǐng)悟，也是學(xué)生思維向縱深發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要途徑；⑤教學(xué)要重視學(xué)生課后的變式訓(xùn)練，形式類同，但內(nèi)容更廣或思維培養(yǎng)要求更高；試題有梯度，是由易到難，層層深入；緊扣主題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)；題目少而精，解法多樣；新穎有亮點(diǎn)，考驗(yàn)學(xué)生靈活多變能力.

總之，教師在讓“一題多解”充分發(fā)揮效用，為提升思維能力而教，為發(fā)展核心素養(yǎng)而教！