江蘇省無錫市第六高級中學(xué) (214000) 謝 吉

本文擬通過對一道四邊形面積最大值問題的深入研究，旨在幫助同學(xué)們拓寬處理此類問題的常用解題思維，鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識、方法在解題中的靈活運用能力；同時也指出教材例、習(xí)題的典型性可進一步挖掘，以及強化變式訓(xùn)練的重要性.

考題呈現(xiàn)(2020屆西安高級中學(xué)高三模擬題)在平面四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°,CD=2,AD=4，則四邊形ABCD的面積的最大值為.

試題分析：本題符合新課標“注重在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度”的高考理念，主要考查學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的靈活、綜合運用能力，提升考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本題亮點體現(xiàn)在兩個方面：一是考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力以及推理論證能力；二是如何巧妙借助“消元”技巧，或轉(zhuǎn)化思想加以靈活分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

解法探究：因為AB=BC,∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形.如圖1所示，為了便于進行分析、敘述，先畫出對應(yīng)的圖形，并設(shè)等邊△ABC的邊長為x.

圖1

評注：此解法的關(guān)鍵是借助“設(shè)元”技巧，先根據(jù)解三角形知識構(gòu)建等量關(guān)系，再根據(jù)同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系實施“消元”變形，進而轉(zhuǎn)化為二次方程的“根”的存在性問題.

圖2

評注：上述解題思路可概括為,先根據(jù)圖形的特殊性，適當建立平面直角坐標系；再通過設(shè)出相關(guān)點的坐標，構(gòu)建等量關(guān)系，并活用“消元”技巧獲得關(guān)于“m2”的一元二次方程；最后根據(jù)二次方程有實數(shù)根，構(gòu)建不等式加以靈活求解.

考題探源：本題源于北師大版教材必修五第55頁例3(具體展示如下)，所以該題“源于教材，高于教材”設(shè)計較好.

如圖3所示，已知⊙O的半徑是1，點C在直徑AB的延長線上，BC=1，點P是⊙O上半圓上的一個動點，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點D與圓心分別在PC的兩側(cè).(1)若∠POB=θ，試將四邊形OPDC的面積y表示成θ的函數(shù)；(2)求四邊形面積的最大值.

圖3

變式訓(xùn)練(原創(chuàng))如圖4，已知平面四邊形ABCD，連接AC，其中∠ACB=60°，且AB⊥BC,AD=1,CD=2，則四邊形ABCD的面積的最大值是．

圖4

綜上可見，求解四邊形面積最大值時，從數(shù)學(xué)思想方法看，需關(guān)注“數(shù)形結(jié)合思想”、“轉(zhuǎn)化與化歸思想”的綜合運用；從解題技巧看，需關(guān)注“設(shè)元”、“消元”技巧的靈活運用；從求最值角度看，需利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、三角函數(shù)的性質(zhì)等靈活求解.一言以蔽之，此類問題有利于強化解三角形與其他知識在解題中的綜合運用能力，有利于優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神以及創(chuàng)新意識.