甘肅天水市一中 (741000) 文貴雙

淺層學習以知識獲取和記憶訓練為主要特征，學習處于相對較低的認知水平；深度學習則以知識深度加工、意義建構(gòu)和深度思維為主要特征，以理解、應用、分析、推理、綜合、評價、創(chuàng)造等高層次認知活動為主要學習活動，學習處于高認知水平.深度學習是一種主動的、探究式的、有意義的學習過程，是深入內(nèi)容本質(zhì)的概念理解、知識探究、問題解決等相對復雜的學習過程，學生能夠?qū)W到的知識遷移與應用，實現(xiàn)知識的深層加工、深刻理解以及長久保持，并實現(xiàn)“高層次認知能力”和“高階思維”的發(fā)展，促進深刻理解的同時幫助他們把握學習內(nèi)容的核心與聯(lián)系.

怎樣讓學生進入深度學習的狀態(tài)？郭華教授認為，在教師引領下，教學中圍繞具有挑戰(zhàn)性的主題，引導學生圍繞學習內(nèi)容深入思考、積極對話，表達與展示自己的思維過程，形成深層次的認知參與和積極的情感體驗.而挑戰(zhàn)性的主題哪里來？HPM案例就是深度學習的好素材.

HPM(數(shù)學史與數(shù)學教育)中的歷史發(fā)生法就是通過數(shù)學史料的研究,發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象和數(shù)學思維的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，為解決數(shù)學教學的現(xiàn)實問題提供歷史的借鑒和支持.因為任何數(shù)學知識都是人類數(shù)學認識不斷建構(gòu)的結(jié)果，從簡單到復雜，從直觀到抽象，從經(jīng)驗概括到形式構(gòu)造，經(jīng)歷漫長的歷史過程，這是數(shù)學家或幾代數(shù)學家獨特而深邃的高級思維方式的成果.他們的高級思維過程是學生進行思維活動的典范，他們的思維通過教師的加工處理來示范引導學生的深度學習.本人在高三復習交流會上上了一節(jié)“點到直線距離公式的再證明”的觀摩課，示范借力HPM來引領學生深度學習，引起大家的熱評.

1 課堂實錄

師：我們在高一學習了點到直線的距離公式，由于當時受到所學知識的限制，該定理的證明方法單一，現(xiàn)在我們已經(jīng)學完了高中數(shù)學全部內(nèi)容，掌握了許多工具，今天我們再證“點到直線的距離公式”，公式如下：

1.1 再現(xiàn)教材公式的推導過程

圖1

哪位同學得到啟發(fā)？

圖2

師：19世紀末，英國數(shù)學家約翰斯頓(W.J.ohnston)，將點線距離轉(zhuǎn)化成三角形的高，其證明和上面證法一樣.下面我們從不同的視角探討其他證法.

1.2 多視角尋找證法，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性

圖3

生：我有一個不需求Q的坐標的證法.

師：不錯，回到點線距離的定義，配湊出目標.19世紀的英國數(shù)學家楊格(J.R.Young)是從方程組中解出(x1-x0),(y1-y0)，代入距離公式得到公式.到了20世紀，有人在楊格的基礎上采用設而不求的方法，將方程組兩邊平方，從而簡化了運算，和本解法一樣.

生：類比斜面上物體受力分析圖，本題作如圖4的圖形，直角△PQM中，∠QPM等于直線的傾斜角或其補角.

圖4

師：這個證明與19世紀英國著名數(shù)學家托德亨特(I.Todhunter)證法一樣，真是英雄所見略同.

生：受到空間向量求點到面距離的啟發(fā)，可以用向量證明.

師：20世紀40年代，向量知識逐漸出現(xiàn)在西方教科書中，教科書的編者給出了這樣的證法.

生：由于點P到直線l的距離是點P到直線l上任意一點距離的最小值，故可以得出目標函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求得點P到直線l的距離公式，但推導比較復雜.

師：想法自然，但運算復雜.把展示的機會留給老師啊，老師提供如下證法：

20世紀，美國數(shù)學家泰勒(A.E.Taylor)在其《微積分與解析幾何》著作中提供上述證法.抓住距離概念的本質(zhì)，巧用柯西不等式是難點.

星移物換，穿過浩渺的時空，發(fā)現(xiàn)古代數(shù)學家們的證法與我們的相同，為同學們的聰明才智點贊.

2 結(jié)語

《普通高中數(shù)學課程標準》指出，定理教學的意義不僅在于學生掌握“書本知識”，更重要的是讓他們從中體驗數(shù)學家概括數(shù)學定理的心路歷程，通過典型問題的設置和學生的探索，使學生理解定理逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡．然而實際教學中，教師通常為了擠出時間多做練習，“輕松”地給出定理，學生失去了“自主探索定理產(chǎn)生的背景及蘊含的思想，親身經(jīng)歷定理的發(fā)生、發(fā)展的過程”，失去了“深刻體驗、直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、歸納類比、反思與建構(gòu)等思維歷程”，失去了提升學生核心素養(yǎng)的大好時機.加之，學生學習受內(nèi)容的制約，后續(xù)學習的方法用不到定理的證明中，這就需要我們在恰當?shù)臅r間點，把定理放在更大的系統(tǒng)中，根據(jù)學生學習的不斷深入，對定理(公式)二度認識，從不同的角度推導證明.本節(jié)課所有的證法只要教師啟發(fā)得當，學生全身心投入探究，大家合作交流都能發(fā)現(xiàn)，教師不失時機說明這是歷史上那位數(shù)學家的證法，并對學生贊揚，使學生產(chǎn)生成果的喜悅，增強學習的興趣.這正是華東師大汪曉勤教授提出的，數(shù)學史融入數(shù)學教學六種教育價值：知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、德育之效、文化之魅.

美國著名數(shù)學家和數(shù)學史學家M·克萊因認為，歷史上數(shù)學家遇到的困難和挫折，課堂上同樣學生也會遇到，因而歷史對于課堂教學具有借鑒和指導作用.教材往往按照數(shù)學知識的邏輯體系進行編寫，而這種邏輯體系下的知識呈現(xiàn)與知識的歷史真實發(fā)生過程往往不一樣,在這樣的過程中學生很難體會到數(shù)學家的思維歷程，學生的思維完全被老師的講解所代替，學生的認知是低水平，思維得不到最大的優(yōu)化，因此，在教學中我們可以適當借用HPM案例展示數(shù)學家如何思考問題，在遇到困難時如何選用合適的思維方式解決問題，讓學生感受到數(shù)學家的卓越智慧，學習他們研究數(shù)學問題的思維方式方法.