徐金秋　婁軍強(qiáng)　楊依領(lǐng)　陳特歡　馬劍強(qiáng)　崔玉國(guó)

摘要： 提出了一種雙極性非對(duì)稱改進(jìn)PI（Bipolar Asymmetric Improved PI， BAIPI）模型描述壓電宏纖維（Marco Fiber Composite， MFC）的遲滯特性，BAIPI模型利用經(jīng)典Prandtl?Ishlinskii（PI）遲滯模型Play算子加權(quán)疊加描述MFC的對(duì)稱遲滯特性，然后疊加一系列不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子描述MFC的雙極性非對(duì)稱特性。實(shí)驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果表明：BAIPI模型對(duì)MFC致動(dòng)器的建模誤差從PI遲滯模型的16.8%降為4.2%。在基于BAIPI逆模型的前饋補(bǔ)償下，MFC致動(dòng)的柔性梁構(gòu)件跟蹤等幅、變幅三角波軌跡的實(shí)測(cè)位移與期望跟蹤位移基本重合，補(bǔ)償后等幅三角波實(shí)測(cè)位移與理想位移之間的線性度為2.36%。因此，所提出BAIPI遲滯模型及補(bǔ)償方法顯著提高了MFC致動(dòng)器的定位驅(qū)動(dòng)和跟蹤精度。

關(guān)鍵詞： 遲滯; 壓電宏纖維; 雙極性非對(duì)稱改進(jìn)PI模型; 雙邊死區(qū)算子; 前饋補(bǔ)償

中圖分類號(hào)： O322; TP273; TN384??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）01-0159-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.018

引? 言

作為智能材料典型代表的壓電材料具有分辨率高、響應(yīng)速度快、頻響范圍寬且可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，在精密柔性構(gòu)件的變形控制、空間柔性結(jié)構(gòu)的主動(dòng)抑振及微納平臺(tái)的精密定位等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用^[1?2]。尤其是近年來(lái)美國(guó)宇航局基于指叉電極技術(shù)發(fā)明的壓電宏纖維復(fù)合材料（Marco Fiber Composite， MFC），克服了傳統(tǒng)壓電陶瓷片在韌性方面的不足，能夠提供更大的驅(qū)動(dòng)應(yīng)變、柔韌性和更好的變形能力^[3]。Henry等^[4]提出了一種MFC致動(dòng)的智能蒙皮技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了小型無(wú)人機(jī)機(jī)翼的主動(dòng)變形控制。Shahab和Erturk^[5]研究了MFC致動(dòng)的水下仿生機(jī)器魚的游動(dòng)性能。Li等^[6]采用MFC致動(dòng)器實(shí)現(xiàn)了智能錐殼結(jié)構(gòu)的主動(dòng)精密隔振控制。因此，MFC致動(dòng)器在柔性主動(dòng)變形及精密驅(qū)動(dòng)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

壓電致動(dòng)器利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)完成電能到機(jī)械能的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)納米級(jí)分辨率的精密驅(qū)動(dòng)。但是壓電材料固有的鐵電特性導(dǎo)致其輸入信號(hào)與輸出位移之間存在著復(fù)雜的遲滯非線性特征。壓電致動(dòng)器的遲滯特性嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的定位精度，易產(chǎn)生振蕩，甚至帶來(lái)系統(tǒng)不穩(wěn)定的后果^[7]。對(duì)于MFC致動(dòng)器而言，指叉電極技術(shù)允許MFC致動(dòng)器可以工作在d₃₃模式，從而獲得比常規(guī)d₃₁模式更大的致動(dòng)能力^[8]。但是大的致動(dòng)能力伴隨著高的驅(qū)動(dòng)電壓，導(dǎo)致MFC致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓可高達(dá)1500 V，進(jìn)而帶來(lái)比傳統(tǒng)壓電陶瓷致動(dòng)器更為嚴(yán)重的遲滯非線性特性。同時(shí)，MFC本身的多種材料復(fù)合結(jié)構(gòu)也導(dǎo)致其非線性要顯著高于常規(guī)的壓電陶瓷材料。Bilgen等^[9]采用經(jīng)典的Preisach遲滯模型來(lái)描述MFC致動(dòng)的柔性懸臂梁結(jié)構(gòu)的遲滯行為，模型預(yù)測(cè)誤差達(dá)9.3%。Chen等^[10]提出改進(jìn)Preisach遲滯模型，采用兩條一階回轉(zhuǎn)曲線分別描述MFC致動(dòng)器遲滯環(huán)的上升和下降階段。由于Preisach模型存在著模型參數(shù)計(jì)算量大、求逆復(fù)雜的缺點(diǎn)，Yang等^[11]采用模型參數(shù)少且求逆方便的Bouc?Wen遲滯模型描述MFC致動(dòng)結(jié)構(gòu)的遲滯特性。Schr?ck等^[12]采用Prandtl?Ishlinskii（PI）遲滯模型描述了MFC致動(dòng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)遲滯非線性輸出位移，發(fā)現(xiàn)懸臂梁結(jié)構(gòu)在雙極性驅(qū)動(dòng)電壓下的輸出位移幅值存在著偏置現(xiàn)象。Wilkie等^[13]對(duì)MFC致動(dòng)器的自由應(yīng)變測(cè)試結(jié)果發(fā)現(xiàn)MFC致動(dòng)器的等效壓電應(yīng)變常數(shù)大小與驅(qū)動(dòng)電場(chǎng)極性有關(guān)。Zheng等^[14]的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明：在正、負(fù)驅(qū)動(dòng)電壓下，MFC致動(dòng)器（M2814?P1）的等效壓電應(yīng)變常數(shù)d₃₃分別為3×10^-10和4.53×10^-10m/V，二者具有較大偏差，從而導(dǎo)致MFC的致動(dòng)能力在正、負(fù)極性的驅(qū)動(dòng)電壓下有著顯著不同。顯然，MFC致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓?響應(yīng)位移之間存在著嚴(yán)重的雙極性非對(duì)稱遲滯非線性，為了提高整個(gè)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)定位精度和控制效果，勢(shì)必要改進(jìn)常規(guī)的基于對(duì)稱算子的遲滯模型，提出MFC致動(dòng)器的雙極性非對(duì)稱遲滯模型，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的補(bǔ)償控制方法。

本文搭建了MFC致動(dòng)的柔性梁構(gòu)件實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，測(cè)試得到了柔性構(gòu)件的末端振動(dòng)位移與MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)電壓之間的雙極性非對(duì)稱遲滯特性。在經(jīng)典PI遲滯模型基礎(chǔ)上，通過(guò)疊加一系列雙邊死區(qū)算子，提出了描述MFC致動(dòng)器遲滯現(xiàn)象的BAIPI遲滯模型，并給出了對(duì)應(yīng)逆模型的求解過(guò)程。通過(guò)最小二乘法辨識(shí)得到BAIPI正、逆模型的特征參數(shù)。最后進(jìn)行了遲滯模型擬合和位移跟蹤補(bǔ)償控制實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了所提出的BAIPI遲滯模型和補(bǔ)償控制方法的有效性。

1 MFC致動(dòng)的柔性梁構(gòu)件系統(tǒng)搭建

壓電宏纖維復(fù)合材料是由美國(guó)宇航局Langley中心研發(fā)的一種新型纖維基壓電復(fù)合材料，其結(jié)構(gòu)組成示意如圖1所示。MFC中結(jié)構(gòu)環(huán)氧樹(shù)脂的加入提升了整個(gè)復(fù)合結(jié)構(gòu)的柔韌性、可靠性和變形能力，而指叉電極（Interdigitated Electrodes， IDE）的排布方式大幅提高了壓電材料的應(yīng)變致動(dòng)效率。較傳統(tǒng)的壓電陶瓷片而言，MFC的變形和驅(qū)動(dòng)能力顯著增強(qiáng)。因此，MFC致動(dòng)器是柔性結(jié)構(gòu)主動(dòng)變形、驅(qū)動(dòng)控制及振動(dòng)抑制的較為理想元件。

柔性梁構(gòu)件作為柔性結(jié)構(gòu)的典型代表，在航空柔性機(jī)械臂、柔性機(jī)器人及精密柔順定位機(jī)構(gòu)中均有廣泛應(yīng)用。為了測(cè)試MFC致動(dòng)器的致動(dòng)性能，搭建MFC致動(dòng)的柔性梁構(gòu)件實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)框架如圖2所示。采用環(huán)氧樹(shù)脂膠水3M?DP60將兩片MFC致動(dòng)器（Smart Material，型號(hào)M2814?P1，工作模式d₃₃）對(duì)稱地粘貼在鋁基柔性梁構(gòu)件根部的上下表面。梁構(gòu)件及MFC基本參數(shù)如表1所示。測(cè)試過(guò)程中，PC機(jī)通過(guò)USB總線將MFC致動(dòng)器的控制電壓信號(hào)傳輸?shù)蕉嗖矍度胧経SB CompactDAQ機(jī)箱（NI， cDAQ?9178），然后經(jīng)D/A模塊（NI AO9263）轉(zhuǎn)換為模擬電壓信號(hào)，該電壓信號(hào)經(jīng)高壓放大器（Trek PZD700A，放大倍數(shù)200）放大后施加到MFC致動(dòng)器上，MFC致動(dòng)器在壓電材料逆壓電效應(yīng)下實(shí)現(xiàn)柔性梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的精密驅(qū)動(dòng)。水平安裝在梁構(gòu)件末端的激光位移傳感器（Micro?EPSILON，ILD2200?10，分辨率0.15 μm）實(shí)時(shí)檢測(cè)構(gòu)件的振動(dòng)位移，傳感器檢測(cè)位移經(jīng)控制器調(diào)理為模擬電壓信號(hào)，然后傳輸?shù)角度朐跈C(jī)箱中的A/D模塊（NI?AI9205），最后經(jīng)機(jī)箱和USB總線傳輸?shù)絇C機(jī)中。整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)基于LabVIEW平臺(tái)完成，系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)物如圖3所示。

MFC致動(dòng)器的工作電壓范圍為-500? +1500?V，故測(cè)試過(guò)程中選取電壓峰峰值分別為±200，±300及±400 V，頻率為0.1 Hz的三角波驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)施加到致動(dòng)器上，得到柔性構(gòu)件的末端振動(dòng)位移與驅(qū)動(dòng)電壓之間的關(guān)系如圖4所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：MFC致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓和柔性構(gòu)件振動(dòng)位移之間存在著嚴(yán)重的遲滯現(xiàn)象，不同激勵(lì)電壓下得到遲滯環(huán)的初載曲線基本重合。隨著激勵(lì)電壓幅值的增大，遲滯現(xiàn)象愈加明顯。在峰峰值±400 V的等幅三角波激勵(lì)下，最大位移差值出現(xiàn)在-80 V處，約為1.206 mm，柔性構(gòu)件位移的最大遲滯誤差（1.206/3.514）×100%可達(dá)34.3%。值得注意的是，在MFC致動(dòng)器雙極性驅(qū)動(dòng)電壓作用下，柔性構(gòu)件的正、負(fù)向振動(dòng)位移存在著明顯的偏置現(xiàn)象，且偏置隨著驅(qū)動(dòng)電壓幅值增大而變大。在±400 V無(wú)偏置對(duì)稱電壓驅(qū)動(dòng)下，柔性構(gòu)件正、負(fù)向位移之間的偏置誤差（0.302/1.908）×100%可達(dá)15.8%。

顯然，壓電材料的固有特性以及MFC致動(dòng)器本身復(fù)合結(jié)構(gòu)特性導(dǎo)致MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)下柔性結(jié)構(gòu)的低頻振動(dòng)位移存在著較為明顯的雙極性非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象，從而顯著影響了柔性構(gòu)件的定位和操控性能，難以滿足高精度的操作需求。因此，必須要對(duì)MFC致動(dòng)器的非對(duì)稱遲滯特性進(jìn)行深入研究，并提出其補(bǔ)償控制方法以改善驅(qū)動(dòng)精度。

2 雙極性非對(duì)稱改進(jìn)PI遲滯模型

PI遲滯模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)辨識(shí)方便的優(yōu)點(diǎn)，且數(shù)學(xué)解析形式簡(jiǎn)明，易于求逆，是應(yīng)用最廣泛描述遲滯現(xiàn)象的唯象模型。經(jīng)典PI遲滯模型通過(guò)多個(gè)Backlash基本算子的加權(quán)疊加來(lái)描述遲滯現(xiàn)象^[15]。其中常用的Backlash算子主要有分段單調(diào)連續(xù)、關(guān)于算子中心對(duì)稱與速率變化無(wú)關(guān)的Play算子和Stop算子兩種。基本遲滯元Play算子特征參數(shù)為閾值r、權(quán)重w以及初始值y₀。

3 BAIPI遲滯模型參數(shù)辨識(shí)及補(bǔ)償控制實(shí)驗(yàn)

為建立MFC致動(dòng)器的BAIPI遲滯模型，以激勵(lì)電壓幅值±400 V，頻率0.1 Hz的等幅三角波信號(hào)與柔性構(gòu)件末端的同步振動(dòng)位移之間的電壓?位移遲滯曲線（見(jiàn)圖4）進(jìn)行BAIPI模型參數(shù)辨識(shí)。辨識(shí)過(guò)程中，BAIPI模型與實(shí)際遲滯曲線擬合誤差的大小與Play算子和雙邊死區(qū)算子的個(gè)數(shù)有密切關(guān)系，見(jiàn)式（5）。一般而言，在一定范圍內(nèi)隨著算子數(shù)目的增加，遲滯模型與實(shí)測(cè)遲滯曲線的擬合程度也會(huì)升高，擬合誤差逐漸減小。但是由于Play算子和死區(qū)算子數(shù)目的增多，模型參數(shù)辨識(shí)與逆模型補(bǔ)償電壓的計(jì)算量也隨之增大，并有可能降低模型的魯棒性。實(shí)驗(yàn)中，對(duì)多組不同Play算子、死區(qū)算子個(gè)數(shù)的遲滯模型擬合精度進(jìn)行比較分析，在保證模型精度的情況下，最終選取的Play算子、死區(qū)算子數(shù)目分別為6個(gè)和7個(gè)，此時(shí)的平均擬合誤差為45 μm。計(jì)算得到的Play算子與其逆算子、死區(qū)算子與其逆算子的閾值、權(quán)重值如表2和3所示。

從BAIPI遲滯模型、經(jīng)典PI遲滯模型與實(shí)測(cè)遲滯曲線擬合情況的對(duì)比圖6中可以看出：Play算子對(duì)稱的平行四邊形結(jié)構(gòu)決定了經(jīng)典PI模型的輸出位移也是正、負(fù)對(duì)稱的，從而導(dǎo)致經(jīng)典PI模型不能很好地逼近實(shí)測(cè)曲線的正、負(fù)偏置位移，存在著較大偏差，在負(fù)的最大位移處偏差高達(dá)267 μm，擬合誤差高達(dá)16.8%。而引入雙邊死區(qū)算子的BAIPI模型增強(qiáng)了PI模型對(duì)非對(duì)稱現(xiàn)象的逼近能力，故BAIPI模型可以很好地描述MFC致動(dòng)器的雙極性非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象，BAIPI遲滯模型與實(shí)測(cè)遲滯曲線擬合程度較高，最大擬合誤差為4.2%。

為檢驗(yàn)基于BAIPI遲滯模型的前饋補(bǔ)償方法對(duì)柔性構(gòu)件振動(dòng)位移控制精度的提升效果，開(kāi)展了柔性構(gòu)件在MFC致動(dòng)下跟蹤等幅三角波軌跡實(shí)驗(yàn)。為了區(qū)別前面的辨識(shí)過(guò)程，采用幅值±1.5 mm、頻率0.1 Hz的等幅三角波理想位移信號(hào)。根據(jù)得到的BAIPI遲滯逆模型式（9），計(jì)算得到每個(gè)時(shí)刻需要輸出的補(bǔ)償控制電壓如圖7所示。顯然，與不考慮MFC遲滯特性的理想控制電壓相比，為了消除MFC致動(dòng)器的雙極性非對(duì)稱遲滯特性，其正、負(fù)向電壓幅值的補(bǔ)償結(jié)果為338和-385 V。在0?338 V與-385 V?0的電壓上升階段，補(bǔ)償電壓大于理想控制電壓，在338?-385 V的電壓下降階段，補(bǔ)償控制電壓明顯低于未考慮遲滯的理想控制電壓。二者之間的差值用來(lái)補(bǔ)償MFC致動(dòng)器的非對(duì)稱遲滯特性。

將圖7中計(jì)算得到的補(bǔ)償控制電壓施加到MFC致動(dòng)器上，得到柔性梁構(gòu)件的同步位移如圖8所示。對(duì)比結(jié)果表明：在補(bǔ)償控制電壓的作用下，柔性構(gòu)件末端的實(shí)測(cè)跟蹤位移與期望位移曲線基本重合，最大軌跡跟蹤偏差54 μm發(fā)生在負(fù)位移轉(zhuǎn)折處，補(bǔ)償后的等幅三角波實(shí)測(cè)位移與理想位移之間最大偏差為70.8 μm，即兩者間線性度（0.0708/3）×100%=2.36%如圖9所示。顯然，MFC致動(dòng)器的雙極性非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象基本消除，基于BAIPI遲滯模型的補(bǔ)償方法對(duì)MFC致動(dòng)器的遲滯特性有了明顯改善。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出補(bǔ)償方法對(duì)MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)精度的改善效果，圖10給出了MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)柔性梁構(gòu)件跟蹤變幅值三角波位移軌跡的補(bǔ)償控制效果。可以看出柔性構(gòu)件的輸出位移能夠很好地跟蹤期望位移，位移上升和下降階段的遲滯現(xiàn)象基本消除。證實(shí)了基于BAIPI遲滯模型的前饋補(bǔ)償控制方法對(duì)MFC致動(dòng)器遲滯特性消除的有效性。

MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)柔性梁構(gòu)件跟蹤等幅值正弦波位移軌跡的補(bǔ)償控制效果如圖11所示，可以看出正弦波信號(hào)下，消除遲滯后的跟蹤位移與期望位移也基本吻合，驗(yàn)證了基于BAIPI遲滯模型的前饋補(bǔ)償控制方法對(duì)MFC致動(dòng)器遲滯特性的適應(yīng)性和實(shí)時(shí)性能。

表4給出了不同期望跟蹤位移下基于BAIPI遲滯模型的補(bǔ)償方法對(duì)MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)精度的改善效果。顯然，本文所提的基于BAIPI遲滯模型的前饋補(bǔ)償方法能夠在很大程度上補(bǔ)償MFC致動(dòng)器的雙極性非對(duì)稱遲滯誤差，提高了其驅(qū)動(dòng)控制精度。但是無(wú)法完全消除遲滯誤差，下一步有必要引入反饋控制，進(jìn)一步提高M(jìn)FC致動(dòng)器的定位控制精度。

4 結(jié)? 論

壓電材料固有的遲滯特性及復(fù)合結(jié)構(gòu)特性導(dǎo)致MFC致動(dòng)器存在著明顯的雙極性非對(duì)稱遲滯特性。在經(jīng)典PI遲滯模型基礎(chǔ)上，將一系列不同權(quán)重、不同閾值的Play算子與另一系列不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子串聯(lián)，提出了一種描述MFC致動(dòng)器雙極性非對(duì)稱遲滯特性的BAIPI遲滯模型。實(shí)驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果表明提出的BAIPI模型可以很好地描述MFC致動(dòng)柔性梁結(jié)構(gòu)的雙極性非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的建模精度。基于BAIPI遲滯逆模型的前饋控制策略，MFC致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)精度得到的有效改善，提高了柔性梁結(jié)構(gòu)在跟蹤等幅和變幅三角波位移時(shí)的定位控制精度。證實(shí)了所提出BAIPI遲滯模型和前饋補(bǔ)償方法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]??????? 婁軍強(qiáng)， 周優(yōu)鵬， 廖江江， 等. 壓電柔性臂的ARMAX模型辨識(shí)降階及最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)控制[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2018， 31（01）： 132-139.

Lou Junqiang， Zhou Youpeng， Liao Jiangjiang， et al. ARMAX model identification and vibration suppression of a piezoelectric flexible manipulator using optimal pole shifting control[J]. Journal of Vibration Engineering， 2018， 31（01）： 132-139.

[2]??????? 邱志成， 李 城. 雙連桿柔性機(jī)械臂振動(dòng)主動(dòng)控制與實(shí)驗(yàn)[J].振動(dòng).測(cè)試與診斷， 2019， 39（03）： 503-511+668.

Qiu Zhicheng， Li Cheng. Experimental study on two-link rigid-flexible manipulator vibration control[J]. Journal of Vibration， Measurement & Diagnosis， 2019， 39（03）： 503-511+668.

[3]??????? Pramanik R， Arockiarajan A. Electro-mechanical creep 1-3 piezocomposites： Theoretical modeling and experimental approach[J]. Ceramics International， 2018， 44： 13934-13943.

[4]??????? Henry A C， Molinari G， Rivass-Padilla J R， et al. Smart morphing wing： Optimization of distributed piezoelectric actuation[J]. AIAA Journal， 2019， 57（6）： 2384-2393.

[5]??????? Shahab S， Erturk A. Coupling of experimentally validated electroelastic dynamics and mixing rules formulation for macro-fiber composite piezoelectric structures[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures， 2017， 28（12）： 1575-1588.

[6]????? Li H， Li H Y， Chen Z B， et al. Experiments on active precision isolation with a smart conical adapter[J]. Journal of Sound and Vibration， 2016， 374： 17-28.

[7]??????? 范 偉， 林瑜陽(yáng)， 李鐘慎. 壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性[J]. 光學(xué)精密工程， 2016， 24（05）： 1112-1117.

Fan Wei， Lin Yuyang， Li Zhongshen. Hysteresis characteristics of piezoelectric ceramic actuators [J]. Optics and Precision Engineering， 2016， 24（05）： 1112-1117.

[8]??????? 高仁璟， 張 瑩， 趙 劍， 等.面向結(jié)構(gòu)形狀控制的壓電纖維復(fù)合薄膜驅(qū)動(dòng)器布局方式與控制參數(shù)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2016， 52（18）： 177-183.

Gao Renjing， Zhang Ying， Zhao Jian， et al. Integrated design optimization of MFC-layout form and control parameters for morphing structural shapes[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2016， 52（18）： 177-183.

[9]??????? Bilgen O， Friswell M I， Inman D J. Theoretical and experimental analysis of hysteresis in piezocomposite airfoils using Preisach model[J]. Journal of Aircraft， 2011， 48（6）：1935-1947.

[10]????? Chen L Q， Wu X H， Sun Q， et al. Experimental study on the electromechanical hysteresis property of macro fiber composite actuator[J]. International Journal of Acoustics and Vibrations， 2017， 22（4）： 467-480.

[11]????? Yang Y L， Lou J Q， Wu G H， et al. Design and position/force control of an S-shaped MFC microgripper[J]. Sensors and Actuators A： Physical， 2018， 282： 63-78.

[12]????? Schr?ck J， Meurer T， Kugi A. Control of a flexible beam actuated by macro-fiber composite patches： II. Hysteresis and creep compensation， experimental results[J]. Smart Materials and Structures， 2011， 20（1）： 015016.

[13]????? Wilkie W K， Inman D J， High J W， et al. Recent developments in NASA piezocomposite actuator technology[EB/OL]. 2005.

[14]????? Zheng X， Lin L， Ichchou M N， et al. Hysteresis and the nonlinear equivalent piezoelectric coefficient of MFCs for actuation[J]. Chinese Journal of Aeronautics， 2017， 30（1）： 88-98.

[15]????? 田 雷， 陳俊杰， 崔玉國(guó)， 等. 基于PI遲滯模型的單壓電變形鏡開(kāi)環(huán)控制[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào)， 2017， 38（01）： 136-142.

Tian Lei， Chen Junjie， Cui Yuguo， et al. Open-loop control of unimorph piezoelectric deformable mirror based on PI hysteresis model[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument， 2017， 38（01）： 136-142.

[16]????? 毛劍琴.智能結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與控制[M]. 北京：科學(xué)出版社， 2013.

[17]????? Xie S L， Liu H T， Mei J P， et al. Modeling and compensation of asymmetric hysteresis for pneumatic artificial muscles with a modified generalized Prandtl-Ishlinskii model[J]. Mechatronics， 2018， 52： 49-57.

Abstract： Macro fiber composite （MFC） affords notable advantages of good flexibility， high deform ability and large actuation ability， and has been widely used in the precision engineering and active deformation control， etc. However， the actuation and positioning accuracies of the MFC actuators are reduced due to their asymmetric hysteresis nonlinearity. A Bipolar Asymmetric Improved PI （BAIPI） hysteresis model is proposed to describe the hysteresis nonlinearity of MFC actuators. The BAIPI model is composed of two parts： the weighted superposition of the play hysteresis operators based on the classical PI hysteresis model is introduced to deal with the symmetric hysteresis nonlinearity. And the asymmetric bipolar phenomenon is described by the linear superposition of many double-sides dead-zone operators with different threshold and weight values. Experimental identification results show that the hysteresis modeling error of the MFC-actuated cantilever system reduces to 4.2% using the proposed BAIPI model， while that of the PI model is 16.8%. With the feedforward compensation method based on the inverse BAIPI model， the measured tracking trajectories of the triangular wave with consistent and random amplitudes are in good agreement with the desired trajectories， and the linearity between the desired and compensated trajectories achieves 2.36%. As a result， the effectiveness and feasibility of the proposed BAIPI hysteresis model and feedforward compensation method is demonstrated.

Key words： hysteresis; marco fiber composites （MFC）; bipolar asymmetric improved PI model; double-sides dead zone operator; feedforward compensation

作者簡(jiǎn)介： 徐金秋（1994-），男，碩士研究生

通訊作者： 婁軍強(qiáng)（1986-），男，博士/博士后，副教授。E-mail： loujunqiang@nbu.edu.cn

通信作者：陳特歡（1988-），男，博士，副教授。E-mail： Chentehuan@nbu.edu.cn