許少華

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.?在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.?若集合A={x│x2-6x+8<0}，集合B={x∈N│y=?}，則A∩B=（???）

A.?{3}B.?{1，?3}C.?{1，?2}D.?{1，?2，?3}

2.?若z=1-?i，則復(fù)數(shù)?-z-1在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（???）

A.?第一象限 B.?第二象限 C.?第三象限 D.?第四象限

3.?對于實數(shù)a，?b，a>b是a3>b2b的（???）

A.?充分不必要條件 B.?必要不充分條件

C.?充要條件D.?既不充分也不必要條件

4.?如圖1，是函數(shù)f（x）=Asin（？棕x+？準(zhǔn)）（A>0，？棕>0，0<？準(zhǔn)<？仔）的一個周期的圖像則f（x）的解析式為（???）

A.?2sin（?+?）

B.?2sin（?+?）

C.?2sin（?-?）

D.?2sin（?-?）

5.?如圖2，E，?F在邊長分別為2和1的矩形邊DC與BC，若?·?=6，則?·?=（???）

A.?3?B.?2

C.?1?D.

6.?已知兩條直線a，b與兩個不同的平面α、β，b⊥α下列命題：

①若a∥α，則a⊥b.?②若a⊥b，則a∥α.?③若b⊥β，則α∥β.?④若α⊥β，則b∥β.

其中正確的是（???）

A.?①③B.?②④C.?①④D.?②③

7.?設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：

若EX=0.75，則b-a的值為（???）

A.??B.??C.??D.

8.?一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（???）

A.?13，?12B.?13，?13C.?12，?13D.?13，?14

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.?設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>b>c）的圖像經(jīng)過點A（m1，?f（m1））和點B（m2，?f（m2）），f（1）=0.?若a2+[f（m1）+f（m2）]a+f（m1）·f（m2）=0，則（???）

A.?b≥0B.?a>0

C.?3a+c>0 D.?3a-c>0

10.?某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖3所示，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面m千米，遠(yuǎn)地點B（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面n千米，并且F、A、B三點在同一直線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a、2b、2c，則（???）

A.?a-c=m+R B.?a+c=n+R

C.?2a=m+n ??D.?b=

11.?P為正方體ABCD-A1B1C1D1對角線BD1上的一點，且BP=?BD1（?∈（0，1））.?下面結(jié)論正確的是（???）

A.?A1D⊥C1P.B.?若BD1⊥平面PAC，則?=?.

C.?若△PAC為鈍角三角形，則?∈（0，?）.

D.?若?∈（?，1），則△PAC為銳角三角形.

12.?已知函數(shù)f（x）=x2-2xcosx，則下列關(guān)于f（x）的表述錯誤的是（???）

A.?f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱??????B.?f（x）的最小值為-1

C.?f（x）有4個零點??????????????????D.?f（x）有無數(shù)個極值點

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.?函數(shù)f（x）=2021asinx+2022bx3+1，記f?′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，則f（2021）+f?′（2021）+f（-2022）+f?′（-2022）的值為________.

14.?已知點P（x，?y）在不等式組x-2≤0，y-1≤0，x+2y-2≥0表示的平面區(qū)域上運動，則z=x2+y2?的取值范圍是________.

15.?設(shè)△ABC的內(nèi)角A，?B，?C所對的邊長分別為a，?b，?c，且a?tan?B=?，b?sin?A=4.?若△ABC的面積S=10，則cos4C的值為___________.

16.?已知點A是拋物線y2=2px上一點，F(xiàn)為其焦點，若以F為圓心，以FA為半徑的圓交準(zhǔn)線于B，C且△FBC為正三角形，當(dāng)△ABC的面積為?時，拋物線的方程為________.

四、解答題：本題共6小題，共70分.?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知向量m=（sinx，?-?），n=（1，?cosx），且函數(shù)f（x）=mn.

（1）若x∈（0，??），且f（x）=?，求sinx的值.

（2）在銳角△ABC中，角A，?B，?C的對邊分別為a，?b，?c，若a=4，△ABC的面積為4?，且f（A+?）=?csinB，求△ABC的周長.

18.（本小題滿分12分）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前5項的和為55，且a2，?，a4-9成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列bn=?，且數(shù)列{bn}的前n和為Sn，證明：Sn>?.

19.（本小題滿分12分）如圖4在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分別為線段AB、AC的中點，AB=4，BC=2?.?以DE為折痕，將Rt△ADE折起到圖5的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，連接A′C，A′B，設(shè)F是線段A′C上的動點，滿足?=??，

（Ⅰ）證明：平面FBE⊥A′DC;

（Ⅱ）若二面角F-BE-C的大小為45°，求?的值.

20.（本小題滿分12分）某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有1，?2，?3三個問題，每位參賽者按問題1，?2，?3的順序做答，競賽規(guī)則如下：

①每位參賽者計分器的初始分均為10分，答對問題1，?2，?3分別加1分，2分，3分，答錯任一題減2分.

②每回答一題，積分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局.?當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于12分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪.當(dāng)答完三題，累計分?jǐn)?shù)仍不足12分時，答題結(jié)束，淘汰出局.

已知甲同學(xué)回答1，?2，?3三個問題正確的概率依次為?，?，?，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率.

（2）用X表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時的累計分?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.（本小題滿分12分）已知橢圓C∶??+?=1（a>b>c）的左、右焦點分別為F1，?F2，P為橢圓上任意一點，△PF1F2面積的最大值為3?，且|PF1|·|PF2|的最大值為12.

（1）橢圓C的左頂點為A1，過橢圓右焦作直線交橢圓于A，?B，試求三角形A1?AB面積的最大值，并求面積最大時直線AB的方程.

（2）橢圓C?的左、右焦點分別為F1，?F2，在橢圓C上是否存在點H，使?，?，?成等差數(shù)列？若存在，求出HF1與HF2值.?若不存在，說明理由.

22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)?f（x）=?（a≠0），g（x）=?+2ln（x+2），

（1）若?f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上的最大值為e，求a的值.

（2）若a>1，是否存在x1，x2∈[-?，-a]，使?f（x1）>g（x2）.

（3）若P是曲線g（x）上任意一點，求P到直線8x+y+15=0的最小距離，并求此時的點的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題

1.?D.?由x2-6x+8<0，得2

又B={x∈N│y=?}={x∈N│x≤3}={0，1，2，3}.

那么A∩B={3}.

2.?D.?由z=1-?i，得?-z-1=?-?=?-?=?-?.

3.?C.?若b>0，則a>b？圳a3>b2b.?若b=0，則a>b？圳a3>b2b.

若b<0，則a>b？圳a3>b2b.?故a>b是a3>b2b的充要條件.

4.?A.?由圖像可知A=2，T=7-（-1）=8，

又由?=8，得？棕=?，得f（x）=2?sin（?+？準(zhǔn)）

結(jié)合f（-1）=0，即2?sin（-?+？準(zhǔn)）=0，得？準(zhǔn)=

那么f（x）=2?sin（?+?）.

5.?C.?以A為原點，AB為x軸，AD為y建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），設(shè)E（x，1），F(xiàn)（2，y），則?=（x，1），?=（2，y），由?·?=6得2x+y=6，?=（x-2，1），?=（2，y-1），則??·?=2（x-2）+y-1=2x+y-5=1.

6.?A.?根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知①正確.?②中，當(dāng)a⊥b時，也有可能為a？奐α，所以②錯誤.?③垂直于同一直線的兩個平面平行，所以正確.?④中的結(jié)論也有可能為b？奐β，所以錯誤，所以命題正確的有①③，選A.

7.?B.?由?+a+?=1，a+5×?=?？圯a=?，b=?？圯b-a=?.

8.?B.?設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），a3=8，a1a7=a23=64，即（8-2d）（8+4d）=64也就是（4-d）（2+d）=8？圯2d-d2=0又d≠0故d=2.

故樣本數(shù)據(jù)為：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均數(shù)為?=?=13，中位數(shù)為?=13，故選B.

二、多選題

9.?ABCD.?由f（1）=0可得a+b+c=0，若a≤0，由a>b>c，得a+b+c<0，這與a+b+c=0矛盾，故a>0.

又3a+c>2a+b+c=a>0.

若c≥0，由a>b>c，得a+b+c>0，這與a+b+c=0矛盾，所以c<0成立.

因為a2+[f（m1）+f（m1）]a+f（m1）·f（m1）=0，所以（a+f（m1））（a+f（m2））=0，所以m1，m2是方程f（x）+a=0的兩個根，所以△=b2-4a（a+c）=b（3a-c）≥0，而a>0，c<0，所以3a-c>0，所以b≥0.

10.?ABD.?因為地球的中心是橢圓的一個焦點，

并且根據(jù)圖像可得m=a-c-R，n=a+c-R（*）∴a-c=m+R，故A正確.?a+c=n+R，故B正確.

（*）兩式相加m+n=2a-2R，可得2a=m+n+2R，故C不正確.

由（*）可得m+R=a-cn+R=a+c，兩式相乘可得（m+R）（n+R）=a2-c2，

a2-c2=b2，∴b2=（m+R）（n+R）？圯b=?，故D正確.

11.?ABD.?可推得A1D⊥平面ABC1D1，所以A1D⊥C1P，所以A正確.

因為過A的平面AB1C與BD1垂直，平面AB1C與BD1的交點P恰好三等分BD1，所以B正確.

當(dāng)?=?時，P為球心，設(shè)球半徑為a，則AP=PC=?a，AC=?a.

由cos∠APC=?=-?<0，∴∠APC是鈍角，所以C錯誤.

要使△PAC為銳角三角形，只需判斷∠APC是銳角.?考慮∠APC是直角的情形：當(dāng)∠APC是直角時，求得AP=a，∵?cos∠ADP=?，在⊿ADP中，用余弦定理求得D1P=?a或?.

所以BP>?時，△PAC為銳角三角形，所以?∈（?，1），D正確.

12.?ABC.?對于A，因f（-？仔）≠f（？仔），故A錯誤;對于B，假設(shè)存在x0∈R，使得f（x）的最小值為-1，則方程x2+1=2x?cos?x有解，即x+?=2?cos?x有解，當(dāng)x>0時，x+?≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”，當(dāng)x=1時，2cos?2<2，故方程無解，故B錯誤;對于C，問題等價于方程x=2?cos?x有3個解，作出函數(shù)y=x，y=2?cos?x的圖像，可知方程只有1個解，故C錯誤;對于D，f?′（x）=2x-2（cos?x-x?sin?x）=2x（1+sin?x）-2?cos?x，由f?′（x）=0，得x=?=?=?=?，由函數(shù)y=?-1與y=tan?的圖像有無數(shù)交點，知f（x）有無數(shù)個極值點.

三、填空題

13.?2.?由f（x）=2021asinx+2022bx3+x？圯f?′（x）=2021acosx+3×2022bx2可以看出f?′（x）為偶函數(shù)，于是f（-2022）+f?′（-2022）=0.

而f（x）-1=2021asinx+2022bx3為奇函數(shù)，

于是f（2021）-1+f?′（-2021）-1=0？圯f（2021）+f?′（2021）=2.

故f（2021）+f?′（2021）+f（-2022）+f?′（-2022）=2.

14.?[?，?5].?如圖6，陰影部分為可行域，由于z=x2+y2表示區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方

于是可以看出其最大值由A點原點的距離產(chǎn)生，最小值由原點到直線x+2y-2=0的距離產(chǎn)生，因為A的坐標(biāo)為（1，?2）

故（?）2≤x2+y2≤12+22？圯?≤x2+y2≤5.

15.?-?.?由bsinA=4得asinB=4，由atanB=?與asinB=4兩式相除，有cosB=?>0.

又通過atanB=?知：tanB>0，則cosB=?，sinB=?，tanB=?.

則a=5.?由S=?acsinB，得到c=5.?∴A=C.

由cos4C=2cos22C-1=2cos2（A+C）-1=2cos2B-1=2×（?）2-1=?-?.

16.?y2=8x.?由題意，如圖7可得?=cos30°及DF=2p？圯BF=?，從而AF=?，由拋物線的定義知點A到準(zhǔn)線的距離也為?，因為？駐ABC的面積為?，即

×?×?=?？圯p=4，故拋物線的方程為y2=8x.

四、解答題

17.（1）f（x）=mn=（sinx，-?）·（1，cosx）=sinx-?cosx=2sin（x-?）

∵?f（x）=?，∴sin（x-?）=?.

又x∈（0，?），∴x-?∈（-?，?），cos（x-?）=?.

所以sinx=sin[（x-?）+?]=?·?+?·?=?.

（2）因為f（A+?）=?csinB，所以2sinA=?csinB，即4sinA=csinB.

由正弦定理可知4a=bc，又a=4所以bc=16.

由已知？駐ABC的面積?bcsinA=4?，可得sinA=?，又A∈（0，?）.

∴?A=?.

由余弦定理得b2+c2-2bccosA=1，故b2+c2=32，從而（b+c）2=64.

所以？駐ABC的周長為12.

18.（1）設(shè)等差數(shù)列的的首項為a1，公差為d，

則5a1+?d=55，（?）2=（a1+d）（a1+3d-9）？圯a1=7，d=2或a1=11，d=0.（舍去）

故數(shù)列?{an}?的通項公式為an=7+2（n-1）即an=2n+5.

（2）由（1）?an=2n+5，得bn=?=?=?（?-?），

那么Sn=b1+b2+…+bn=?[（1-?）+（?-?）+（?-?）+…+（?-?）]=?（1+?-?-?）=?-?（?+?）>?.

19.（Ⅰ）∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，

∴??A′D⊥平面DBCE，∴??A′D⊥BE.

∵?D，E分別為中點，

∴?DE=?BC=?，BD=?AB=2.

在直角三角形DEB中，∵?tan∠BED=?=?，tan∠CDE?=?=?，

1-tan∠BED·tan∠CDE=0，

∴∠BED+∠CDE=90°得BE⊥DC.

∴?BE⊥平面A′DC，又BE？奐平面FEB，

∴平面FEB⊥平面A′DC.

（Ⅱ）作FG⊥DC，垂足為G，則FG⊥平面DBCF，

設(shè)BE交DC于O點，連OF，

由（Ⅰ）知，∠FOG為二面角F-BE-C的平面角

由FG∥A′D，?=?=?，∴?FG=?A′D=2?.

同理，得CG=?CD，DG=（1-?）CD=2?（1-?）.

∵DO=?=?，∴OG=DG-DO=2?（1-?）-?.

在Rt？駐OGF中，由tan∠FOG=?=?=1，

得，?=1-?.

方法2：以D為坐標(biāo)原點DB，DE，DA′分別為OX，OY，OZ軸建立空間直角坐標(biāo)系，各點坐標(biāo)分別為D（0，?0，?0），?A′（0，?0，?2），?B（2，?0，?0），?C（2，?2?，?0），E（0，?，?0）.

（Ⅰ）?=（-2，?，0），?=（2，2?，0），?=（0，?0，?2）

∵?·?=-4+4=0，∴BE⊥DC，∵?·?=0，∴BE⊥DA′.

又DC∩DA′=D，∴BE⊥平面A′DC，又BE？奐平面FBE，

所以平面FBE⊥平面A′DC.

（Ⅱ）設(shè)?=???∴?=?（-2，2?，2）?∴F（2-2?，2?-2??，?2?）.

設(shè)平面BEF的法向量為?=（x，?y，?z），

∵??=（-2，?，?0），?=（-2?，?2?-2??，?2?），

-2x+?y=0，-2?·x+（2?-2??）·y+2?·z=0，取?=（?，??，3?-2）.

又∵平面BEC的法向量為?=（0，0，1），

∴?cos45°=?=?得3?2-6?+2=0.

解得?=1±?，又∵?0

20.（1）設(shè)事件A表示“甲同學(xué)問題1回答正確”，事件B表示“甲同學(xué)問題2回答正確”，事件C表示“甲同學(xué)問題3回答正確”，則P（A）=?，P（B）=?，P（C）=?，

記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件D，則D，

P（D）=P（A?C+AB+?BC）=P（A?C）+P（AB）+P（?BC），

P（A）P（?）P（C）+P（A）P（B）+P（?）P（B）P（C）=?×?×?+?×?+?×?×?=?.

（2）X可能的取值是6，?7，?8，?12，?13.

P（X=6）=P（??）=?×?=?，P（X=7）=P（A??）=?×?×?=?;

P（X=8）=P（?B?）=?×?×?=?，P（X=12）=P（A?C）=?×?×?=?;

P（X=13）=P（AB+?BC）=?×?+?×?×?=?.

∴?X的分布列為：

X的數(shù)學(xué)期望EX=6×?+7×?+8×?+12×?+13×?=?.

E（X）=6×?+7×?+8×?+12×?+13×?=?.

21.?由|PF1|·|PF2|≤（?）2=a2，由題意得a2=12.

又?·2c·b=3?？圯b2（a2-b2）=27？圯b2（12-b2）=27？圯b2=3，

故橢圓C的方程為?+?=1.

（1）設(shè)橢圓左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2由（1）知橢圓的右焦點坐標(biāo)為F2（3，0）

①若直線AB垂直于x軸時，直線AB的方程為x=3，由x=3，?+?=1？圯x=3，y=±?.

此時，三角形A1AB面積為：

S?=?·A1F2·?=?×（2?+3）×?=?.

②若直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，A（x1，?y1），?B（x2，?y2），?直線AB的方程為y=k（x-3）.

由y=k（x-3），?+?=1？圯（1+4k2）y2+6ky-3k2=0.

則|y1-y2|=?=

=?，當(dāng)?=?-?？圯k=±?時?|y1-y2|?最大，其值為2.

由于S?=?·A1F2·|y1-y2|≤?×（2?+3）×2=2?+3>?.

故三角形A1AB面積的最大值為2?+3，

此時，直線AB的方程為y=±?（x-3）.

（2）假設(shè)存在點T滿足題設(shè)，由?+?=1可知，|HF1|+?|HF2|=4?，|F1F2|=6結(jié)合?=?+?，得|HF1|·|HF2|?=12.

由|HF1|+|HF2|=4?，|HF1|·|HF2|=12？圯|HF1|2-4?|HF1|+12=0？圯|HF1|=?2?，此時點H為橢圓的上（或下）頂點.

故點H存在，且|HF1|=|HF2|=2?.

22.（1）由f（x）=?？圯f?′（x）=

若a<0，則當(dāng)x∈（-2，-1）時，f?′（x）>0此時函數(shù)遞增.?當(dāng)（-1，+∞）時，f?′（x）<0此時函數(shù)遞減.?于是，當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最大值f（-1），由題意得f（-1）=-e，即ae=-e，從而得a=-1.

若a>0，則當(dāng)x∈（-2，-1）時，f?′（x）<0此時函數(shù)遞減.?當(dāng)（-1，?+∞）時，f?′（x）>0此時函數(shù)遞增.?于是，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，?+∞）上有最小值無最大值，與題意不符.

故f（x）在區(qū)間（-2，?+∞）上的最大值為-e，則a的值為-1

（2）當(dāng)a>1時，由（1）可知，當(dāng)x∈（-2，-1）時，f（x）遞減.?因此，x∈[-?，-a]時，f（x）遞減，由此可得x∈[-?，?-a]時，f（x）的值域為x∈[?，??].

由g（x）=?+2ln（x+2）？圯g′（x）=-?+?=?.

顯然，當(dāng)x∈（-2，-?）時，g′（x）<0，函數(shù)g（x）遞減.?當(dāng)x∈（-?，2）時，g′（x）>0，函數(shù)g（x）遞增.?因此，x∈[-?，-a]時，g（x）遞增，由此可得x∈[-?，?-a]時，g（x）的值域為x∈[2-2ln2，??+2ln（2-a）].

若存在x1，x2∈[-?，?-a]，使f（x1）>g（x2），

則只需??>2-2ln2即a>?.

由于a>1，故必存在x1，?x2∈[-?，?-a]，使f（x1）>g（x2）.

（3）設(shè)與直線8x+y+20=0平行且與g（x）相切的切點坐標(biāo)為（x0，y0）.

由于g′（x）=-?+?，則k=-?+?=-8？圯x0=-?或x0=-?（舍去）得切點坐標(biāo)為（-?，4（1-ln2））.

此時，切線方程為y-4（1-ln2）=-8（x+?）即y=-8x+4（1-ln2）-14.

令r（x）=g（x）-y=?+2ln（x+2）-[-8x+4（1-ln2）-14]，

則r′（x）=-?+?+8=?=?，由于函數(shù)r（x）的定義域為（-2，+∞），于是當(dāng)x∈（-2，?-?）時，r′（x）<0，函數(shù)r（x）遞減.?當(dāng)x∈（-?，?+∞）時，r′（x）>0，函數(shù)r（x）遞增.?那么，當(dāng)x=-?，r（x）有極小值，其實也是最小值，其值為r（-?）=0，故g（x）的圖像恒在直線y=-8x+4（1-ln2）-14的上方.

那么點（-?，?4（1-ln2））到直線8x+y+15=0的距離即為P到直線8x+y+15=0的最小距離，于是得?=?.

責(zé)任編輯?徐國堅