黃 海， 汪 楠， 楊海波

（1. 南昌航空大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063； 2. 江西醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校，江西 上饒 334000）

引言

拓?fù)淇臻g的Cech上同調(diào)群，在代數(shù)幾何中具有廣泛的應(yīng)用，往往通過(guò)計(jì)算Cech上同調(diào)群，則可以利用同構(gòu)關(guān)系，從而計(jì)算出某些復(fù)雜的同調(diào)群[1-2]。例如：對(duì)于單純復(fù)形K和其基礎(chǔ)拓?fù)淇臻gX，單純復(fù)形K的奇異上同調(diào)群H?(K,Z)同構(gòu)于X上關(guān)于常數(shù)層的Cech上同調(diào)群

而為了描述這一抽象定義，很多著名的數(shù)學(xué)家都通過(guò)不同的方式對(duì)Cech上同調(diào)給出了他們的見(jiàn)解。如陳志華[6]和Bredon[7]通過(guò)定義單復(fù)形的方式定義Cech上同調(diào)、Griffiths P A，Harris[8]通過(guò)層和局部有限開(kāi)覆蓋定義Cech上同調(diào)。然而，很多情況下Cech上同調(diào)都是從幾何方向著手進(jìn)行定義的，考慮到Cech上同調(diào)在同調(diào)理論中的重要性，本文試著通過(guò)從代數(shù)方向出發(fā)，給出Cech上同調(diào)代數(shù)觀點(diǎn)下的表示形式。而單純形方法是同調(diào)代數(shù)中研究同調(diào)理論的一種重要手段，基于此，本文主要以Cech上同調(diào)和單純復(fù)形為基礎(chǔ)，給出Cech上同調(diào)的單純形表示。

首先，回顧幾個(gè)本文中需要應(yīng)用到的主要定義，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]：

定義1[8]給定流形M上的一個(gè)層F，設(shè)是M上的一個(gè)局部有限開(kāi)覆蓋，定義：

定義上邊緣算子：

則有上鏈復(fù)形：

定義2[9]給定范疇?，其對(duì)象為有限有序集，態(tài)射為非降單調(diào)函數(shù)。如果T是任給的范疇，定義單純對(duì)象A為一個(gè)從 ?到T的反變函子，即A:?op→T，記A([n])為An；同樣的，定義上單純對(duì)象A為一個(gè)從?到T的協(xié)變函子，即A:?→T，記A([n])為An。

并在范疇?中，對(duì)于任意的n和i=0,…,n，定義面映射εi:[n?1]→[n]和退化映射ηi:[n+1]→[n]為：

定義3[9]對(duì)一個(gè)交換范疇T給定一個(gè)單純對(duì)象A，定義單純復(fù)形為相關(guān)的(非規(guī)范性的)鏈復(fù)形C=C(A)，其中，對(duì)任意的n有Cn=An，并且由面映射和退化映射組成的邊緣映射d:Cn→Cn?1為面算子?i:Cn→Cn?1的交錯(cuò)和，即

1 主要結(jié)論

通過(guò)比較Cech上同調(diào)定義中的上鏈復(fù)形和單純復(fù)形的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)這兩者之間的邊緣映射存在著不少相似之處，但在單純復(fù)形中對(duì)Cech上鏈復(fù)形的面算子如何定義以及的定義與單純對(duì)象之間具體關(guān)系是我們需要解決的主要問(wèn)題，下面我們將通過(guò)構(gòu)造函子的方式來(lái)從單純復(fù)形的角度具體給出的定義，并通過(guò)定義2中的面映射來(lái)重新定義面算子，從而給出Cech上鏈復(fù)形在單純復(fù)形表示下的邊緣映射，由此得到下面的定理。

定理1一個(gè)流形M的Cech上鏈復(fù)形就是一類特殊的單純復(fù)形。

證明：給定流形M上的一個(gè)層F，設(shè)是M上的一個(gè)局部有限開(kāi)覆蓋，且設(shè)指標(biāo)集I是有序集。

則定義從范疇 ?到sets的函子SSK：

又定義從sets范疇到sets范疇的函子∏F：

可以得到函子：

所以A={An}是一個(gè)單純對(duì)象，并且對(duì)任意n有 ：

又根據(jù)面映射：

所以：

所以：

根據(jù)單純復(fù)形的定義可知，流形M的Cech上鏈復(fù)形就是一類特殊的單純復(fù)形，證畢。

根據(jù)定理1知流形M的Cech上鏈復(fù)形與對(duì)應(yīng)的單純復(fù)形是同一鏈復(fù)形，由Cech上鏈復(fù)形得到的相關(guān)性質(zhì)同樣適用于單純復(fù)形的觀點(diǎn)下的相應(yīng)性質(zhì)。

定理2流形M的Cech上同調(diào)群就是單純同調(diào)群。

證明：因?yàn)榱餍蜯的Cech上同調(diào)群是由流形M的Cech上鏈復(fù)形得到的，流形M的Cech上鏈復(fù)形是一類特殊的單純復(fù)形，由定理1的證明可知流形M的Cech上同調(diào)群就是單純同調(diào)群。

2 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)照Cech上鏈復(fù)形與單純復(fù)形的定義，構(gòu)造范疇?到sets的單純對(duì)象A和邊緣映射，給出了流形M的Cech上同調(diào)的單純復(fù)形表示，證明流形M的Cech上鏈復(fù)形就是一類特殊的單純復(fù)形，并且得到流形M的Cech上同調(diào)群就是單純同調(diào)群的結(jié)論。根據(jù)這兩個(gè)結(jié)論，在探討某流形M的Cech上鏈復(fù)形或者計(jì)算Cech上同調(diào)群時(shí)，不用局限于考慮流形M的幾何結(jié)構(gòu)，而可以將該Cech上鏈復(fù)形看作為一個(gè)單純復(fù)形，利用單純形方法或同調(diào)代數(shù)的相關(guān)方法對(duì)該鏈復(fù)形及其同調(diào)群進(jìn)行研究。后續(xù)，將對(duì)Cech上同調(diào)的單純復(fù)形表示的性質(zhì)做進(jìn)一步的研究。