劉富榮， 陳劍塵， 汪 洋

（南昌航空大學，數(shù)學與信息科學學院，南昌 330063）

引言

在集值優(yōu)化問題中,全局真有效解的連通性是十分值得我們?nèi)ド罹康膯栴}之一。對于全局真有效點集的標量化問題Gong在文獻[1]己經(jīng)進行了研究，并得到了一些重要的結論。隨后，王秀玲在文獻[2]對全局真有效解的概念作了詳細的闡述，并將可行域設定在緊凸集的情況下，對全局真有效解集的連通性進行了深入研究。緊接著,高潔在文獻[3]中將目標映射設為弱上半連續(xù)的,可行域設成弧連通緊的，證明了全局真有效點集的連通性和全局有效解集的連通性。本文首先給出了全局真有效性的相關概念和h?有效點的相關定義，并在可行域為一般非空緊子集，約束映射為上半連續(xù)且目標映射為錐類凸的情況下，在相對較弱的條件下得到了全局真有效點集連通性的定理，這就使目前全局真有效點集連通性的相關結論得到進一步推廣。

1 預備知識

除特別說明外，本文始終假設X是拓撲空間，Y和Z是Hausdoff局部凸拓撲線性空間。Y的拓撲對偶空間用Y?表示，M?Y為非空子集，用cl(M)表示M的閉包,conv(M)表示包含M的最小的凸集，集合M的生成錐記為:

C是Y中的閉凸點錐，且intC≠?。C的正對偶錐C?和嚴格正對偶錐C#分別定義為:

B?C是非空凸子集，B稱為錐C的基，假如C=cone(B)且0?cl(B)。

定義1.1[1]設D?Y是非空子集合，C是Y中的閉凸點錐：

1)x?∈D稱為D關于C的有效點，記x?∈E(D,C)，若(D?x?)∩(?C)?C。若C為點錐，則x?∈D為有效點當且僅當(x??D)∩C={0}，當且僅當(x??D)∩D={x?}。

2)稱y0∈D為D的全局真有效點，記作y0∈ZE(D,C)，假設存在Y中的閉凸點錐G，C{0}?intG，使得

由定義，可知，全局真有效點必然為有效點，即

(3)假設h∈C?{0}，稱y0∈D為D的h?有效點，若：

此時，記作y0∈h?E(D,C)，記D的h?有效點的全體為h?E(D,C)。

定義1.2[4]設A?X為非空子集。集值映射F:A→2Y稱作C?類凸的，若F(x)的凸包包含在F(A)+C中，即

定義1.3[1]假設D?Y是非空子集合，C是Y中的閉凸點錐，假設D+C為凸集，則稱D為C?凸集。

引理1.1[1]假設Y是局部凸的空間，C是Y中的點凸錐，且有基B，D?Y且D≠?是C?凸集，則有

假設A為X的非空子集，F(xiàn):A→2Y為集值映射且?x∈A,F(x)≠?.設X為Hausdoff局部凸空間，我們研究下面的向量優(yōu)化問題(SVOP)：

定義1.4[4]假設x0∈A,y0∈F(x0)，C為Y中的點凸錐，x0稱作(SVOP)的全局真有效解，假設存在Y中的點凸錐H，C{0}?intH，使得

集值優(yōu)化問題，關于錐C全局真有效解構成的集合記作ZE(A,C,F)。

2 全局真有效點集的連通性

設C?Y,T?Z分別是Hausdoff局部凸拓撲空間X與Y中的非空閉凸點錐。A?X為非空子集合，F(xiàn):A→2Y，G:A→2Z為集值映射，且?x∈A，F(xiàn)(x)≠?,G(x)≠?。

我們定義非空約束子集如下:

引理2.1[5]集值映射F:S→2Y是C?類凸集值映射當且僅當F(S)+C為凸集。

引理2.2[6]設A是X中的非空子集合，T?Z為閉凸點錐。集值映射G:A→2Z是上半連續(xù)的，則非空約束集S={x∈A:G(x)∩T≠?}是閉集。

引理2.3[7]設X是局部凸拓撲空間，則A?X為有界集當且僅當A關于X中的弱拓撲為有界集。

定義2.1[7]設X,Y為兩個拓撲空間，集值映射F:X→2Y稱在x0∈X處是上半連續(xù)的,假如對F(x0)的任意的鄰域V?Y，存在x0的鄰域U，使得F(U)?V。稱F在X上是上半連續(xù)的，若F在X上任一點處是上半連續(xù)的。

引理2.4[8]若A是X中的非空子集合，F(xiàn):X→2Y為集值映射，若下面3個條件同時成立：

①對?x∈A，F(xiàn)(x)為非空連通集；

②X的非空子集A為 連通集；

③集值映射F:X→2Y是上半連續(xù)的,

則F(A)為連通集。

引理2.5[9]設X和Y為2個拓撲空間，其中X為緊集，若集值映射F:X→2Y為上半連續(xù)的，且?x∈X,F(x)為緊的，則F(X)必為緊集。

引理2.6[10-12]設X和Y是兩個Hauddorff拓撲空間，G:X→2Y是集值映射x0∈X，G(x0)是緊集,則G在x0∈X是上半連續(xù)當且僅當對于X中的任意網(wǎng){xα,α∈I},且xα→x0，對Y中任意網(wǎng){yα,α∈I}，有yα∈G(xα),?α∈I，都存在y0∈G(x0) 和{yα,α∈I}的一個子網(wǎng)使得yβ→y0。

命題2.1定義集值映射R:C#→2F(S)使得

若規(guī)定C#上的拓撲為強拓撲β(Y?,Y),F(S)上的拓撲為弱拓撲σ(Y,Y?)，F(xiàn)(S)為弱緊的，則R為 上半連續(xù)映射。

證明：反證法。假設R不 是上半連續(xù)的，則存在h0∈C#，使得R在h0處不上半連續(xù).于是存在R(h0)的弱開鄰域V?Y，對V可取到網(wǎng){hα}?C#及網(wǎng){yα}，其中yα∈R(hα)，使得。由于{yα}?F(S)且F(S)為弱緊集，不妨設又yα?V，V為弱開領域開集，故y0?V。由

知

由于F(S)為弱緊的，故F(S)是弱完全有界的，從而關于弱拓撲有界。又(Y,σ(Y,Y?))為局部凸空間，由引理2.3知，G為 有界集，于是PG是空間(Y?,β(Y?,Y))上的連續(xù)半范。于是?ε＞0,?α0，使得α≥α0時，有

于是α≥α0時，有

又h0∈Y?,故h0是連續(xù)的，于是?α1≥α0，使得

由式(2)和式(3)可得

由極限的保號性，對(1)式兩邊取極限得

于是y0∈R(h0)?V，但這與y0?V矛盾，于是R在C#上是上半連續(xù)的。

定理2.1設A為X中的非空子集且為緊集，C、T分別是Y、Z中的閉凸點錐，B是C的有界基，在非空約束集S上的目標集值映射F:A→2Y為C?類凸的，在S上取弱緊值且是上半連續(xù)的(這里Y上的拓撲是弱拓撲σ(Y,Y?))，約束映射G:A→2Z為上半連續(xù)的，其中非空約束集S={x∈A:G(x)∩T≠?}。則ZE(F(S),C)是非空連通集。

證明：由引理2.2知A中非空約束集S為閉集，又A是緊集，故S也是緊集。因為F是上半連續(xù)映射(其中Y上的拓撲為弱拓撲σ(Y,Y?)，且F在S上取到弱緊值，故由引理2.5知，F(xiàn)(S)是弱緊集。又F為C?類凸的，由引理2.1知，F(xiàn)(S)+C為凸集。因為Y為局部凸空間，C為閉凸錐且具有基B，由引理1.1可知

任取h∈C#，由于h關于弱拓撲σ(Y,Y?)連續(xù)，且F(S)關于拓撲σ(Y,Y?)為緊集，故?x0∈F(S)，使得

即h?E(F(S),C)≠?. 從而ZE(F(S),C)≠?。

下證ZE(F(S),C)的連通性：

易知

由F(S)為弱緊集知，對?h∈C#,R(h)≠?。又C#為凸集，故C#為連通集。

任取x1,x2∈R(h),則x1,x2∈F(S)，且由R(h)的定義可知

h∈Y??t∈[0,1]

由于為連續(xù)線性泛函，故對，有

下面說明tx1+(1?t)x2∈F(S),?t∈[0,1]。若不然，存在t0∈[0,1]，使得

由于F(S)+C為凸集，且x1,x2∈F(S)，故存在x3∈F(S),c∈C使得

若c=0，則有t0x1+(1?t0)x2=x3∈F(S)

這與假設矛盾，故c≠0。此時h(c)＞0，于是由h∈C#

可得

這與

矛盾。

于是

從而tx1+(1?t)x2∈R(h),?t∈[0,1]。即R(h)，?h∈C#為非空連通集。

于是由命題2.1以及引理2.4可得∪{R(h):h∈C#}連通集，從而ZE(F(S),C)是非空連通集。

3 結論

本文將可行域A設定在非空的一般緊子集上，在約束映射G是上半連續(xù)的且約束集上的目標映射F是上半連續(xù)的錐類凸的情況下, 通過對對偶錐上的集值映射連通性的證明,對含約束錐類凸的全局真有效點集的連通性進行了討論，并給出了相關結論，故本文是在條件相對較弱的目標映射及可行域更一般的條件下推廣了現(xiàn)有的集值優(yōu)化問題全局真有效點集連通性的有關結論。