陳志軍， 李海波， 胡彥平

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京 100076）

引言

國內(nèi)外大量學(xué)者對壽命預(yù)測方法進(jìn)行了深入研究[1]。文獻(xiàn)[2]將現(xiàn)有的壽命預(yù)測方法分為兩大類：一是基于失效物理的方法。將產(chǎn)品的機(jī)械動(dòng)力學(xué)與實(shí)時(shí)監(jiān)測數(shù)據(jù)綜合應(yīng)用到產(chǎn)品壽命預(yù)測上，充分利用了產(chǎn)品的物理效應(yīng)，使其在沒有同類產(chǎn)品歷史數(shù)據(jù)的情況下也可以進(jìn)行壽命的準(zhǔn)確估計(jì)，但大多數(shù)產(chǎn)品失效機(jī)理不明、失效模式難以確定，建立其失效物理模型存在一定的難度。二是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，即不需要建立產(chǎn)品的物理失效模型，主要是依靠產(chǎn)品自身監(jiān)測數(shù)據(jù)或者同型產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行產(chǎn)品壽命估計(jì)。文獻(xiàn)[3]將基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的壽命預(yù)測方法進(jìn)一步劃分為基于狀態(tài)外推的方法和基于人工智能的方法。文獻(xiàn)[4]從監(jiān)測數(shù)據(jù)方面，將壽命預(yù)測分為基于直接監(jiān)測數(shù)據(jù)的方法和基于間接監(jiān)測數(shù)據(jù)的方法。直接監(jiān)測數(shù)據(jù)是指試驗(yàn)過程中直接測得的退化數(shù)據(jù)，間接監(jiān)測數(shù)據(jù)是指不能直接反映設(shè)備退化狀態(tài)的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對于間接監(jiān)測數(shù)據(jù)的利用還不充分，相關(guān)預(yù)測方法研究所見不多。

從直接監(jiān)測數(shù)據(jù)的角度分析兩類工程中最常用的方法的優(yōu)點(diǎn)與缺陷：

1）基于退化軌跡模型的壽命預(yù)測方法：工程上一般采用經(jīng)典的回歸模型來刻畫產(chǎn)品性能參數(shù)隨時(shí)間變化的過程，并引入隨機(jī)系數(shù)來表示退化過程中的隨機(jī)誤差。Lu等[5]研究了基于隨機(jī)系數(shù)的性能參數(shù)退化回歸模型，其后許多專家學(xué)者對其研究成果進(jìn)行了研究推廣[6-7]。該類模型認(rèn)為反映產(chǎn)品總體特征的退化軌跡模型保持不變，變化的只是模型中的參數(shù)，而產(chǎn)品個(gè)體之間退化差異則通過隨機(jī)項(xiàng)得以體現(xiàn)。在給定失效閾值后，隨機(jī)系數(shù)回歸模型是一種經(jīng)典的能夠?qū)崿F(xiàn)產(chǎn)品壽命計(jì)算的退化軌跡模型。隨機(jī)系數(shù)回歸模型是用來刻畫產(chǎn)品的退化軌跡模型，而對應(yīng)的壽命則是用來刻畫產(chǎn)品退化量達(dá)到給定失效閾值的時(shí)間。該類模型認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)和確定項(xiàng)是相互獨(dú)立的，模型中參數(shù)一般采用兩步法來進(jìn)行估計(jì)[8-9]?？紤]到該模型描述的是總體壽命特征，而不能描述個(gè)體之間的性能變化差異。對于產(chǎn)品個(gè)體來說，模型系數(shù)為一常數(shù)，即退化軌跡為一條確定的曲線。因此該模型依據(jù)狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)估計(jì)得到的壽命僅能代表產(chǎn)品共性特點(diǎn)，難以凸顯產(chǎn)品個(gè)性特征，有一定的應(yīng)用局限。

2）基于維納過程的剩余壽命預(yù)測方法：在工程實(shí)際中，由于產(chǎn)品本身處在一個(gè)內(nèi)、外應(yīng)力變化不一且各時(shí)段所承受的工作載荷不同的環(huán)境中，導(dǎo)致產(chǎn)品的性能退化并不具備單調(diào)特性。通過研究發(fā)現(xiàn)，維納過程可以同時(shí)刻畫產(chǎn)品的單調(diào)與非單調(diào)退化，并在工程上得到了廣泛應(yīng)用[4]。

Si等[10-11]提出了一種基于維納過程的產(chǎn)品壽命預(yù)測方法，給出了產(chǎn)品壽命的概率密度函數(shù)表達(dá)式，得到了產(chǎn)品剩余壽命的矩估計(jì)?？紤]到工程實(shí)際中多數(shù)產(chǎn)品的退化并不都滿足線性特征，Si等[12-13]進(jìn)一步提出了一種基于非線性維納過程的產(chǎn)品壽命預(yù)測模型，給出了產(chǎn)品壽命的概率密度函數(shù)表達(dá)式，得到了產(chǎn)品剩余壽命的矩估。

本研究在諸多學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，提出一種基于隨機(jī)維納過程的結(jié)構(gòu)損傷壽命預(yù)測與可靠性評估方法。一方面基于性能退化數(shù)據(jù)，引入無偏估計(jì)結(jié)合最小二乘原理進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)，建立壽命預(yù)測模型和可靠性評估模型，進(jìn)而完成壽命預(yù)測和可靠性評估；另一方面，通過實(shí)例對比分析基于隨機(jī)維納過程的建模方法與基于退化軌跡模型的建模方法的適用性和有效性。

1 基于隨機(jī)維納過程的壽命建模

1.1 基于隨機(jī)維納過程的性能退化模型

產(chǎn)品的性能退化過程實(shí)際上是一個(gè)隨機(jī)過程，退化模型種類較多，有常見的線性模型、冪模型和指數(shù)模型，但是此3種模型的適應(yīng)性較窄，因此，選取模型適應(yīng)性較廣的隨機(jī)維納過程來分析性能參數(shù)的退化行為，基于隨機(jī)維納過程的性能退化模型如下：

其中：X(t)為性能退化量；μ為漂移系數(shù)且μ＞0；σ為擴(kuò)散系數(shù)；?X(?t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)且?X(?t)。

根據(jù)維納過程的特性，性能退化增量?X(?t)滿足：

對于計(jì)算得到的性能退化增量值，可以采用Anderson-Darling擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法確定最優(yōu)分布是否為正態(tài)分布。

Anderson-Darling擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法具有良好的統(tǒng)計(jì)特性，一般選用此方法來確定分布類型。Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量可描述數(shù)據(jù)服從特定分布類型的程度，數(shù)據(jù)與分布擬合的越好，Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量的AD值越小，且AD的計(jì)算公式如下：

式中：Fn(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，F(xiàn)(x)為累積分布函數(shù)。

利用Anderson-Darling對最優(yōu)擬合的分布類型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)：

H0: 參數(shù)值服從指定分布類型；

H1: 參數(shù)值不服從指定分布類型

假設(shè)選定假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05，如果Anderson-Darling的p值大于0.05，則可以得出參數(shù)值服從指定分布類型的結(jié)論。

1.2 壽命預(yù)測模型

設(shè)樣品的失效閾值l為一常量，當(dāng)樣品退化量X(t)首次達(dá)到失效閾值時(shí)定義為樣品失效，樣品壽命T滿足式(4)

又得知T服從逆高斯分布，T的可靠度函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為

根據(jù)產(chǎn)品壽命值的數(shù)學(xué)期望，可以推導(dǎo)出其平均剩余壽命的表達(dá)式為

2 模型參數(shù)估計(jì)

假設(shè)試驗(yàn)中試驗(yàn)樣本量為n，共進(jìn)行m次測量，測試時(shí)刻分別為t1,t2,…,tm，設(shè)第i個(gè)樣品第j次測試時(shí)性能參數(shù)值為則可得tj時(shí)刻，變量的期望與方差分別為：

利用式（4）結(jié)合最小二乘原理得到μ和σ2得估計(jì)值為

3 壽命預(yù)測

則可計(jì)算得到參試的n個(gè)樣本的壽命估計(jì)值為：

4 案例分析

以某齒輪為例，其主要失效是裂紋擴(kuò)展損傷達(dá)到極限值即可判定該齒輪失效，案例采用恒定應(yīng)力退化試驗(yàn)方法對該齒輪進(jìn)行性能退化研究。

1）選取21個(gè)樣本分3組（每組7個(gè)樣本）開展3批試驗(yàn)，試驗(yàn)中每10 000個(gè)循環(huán)（一個(gè)循環(huán)為齒輪轉(zhuǎn)一圈）進(jìn)行一次測量，記錄裂紋長度，試驗(yàn)共進(jìn)行12萬個(gè)循環(huán)，有12個(gè)樣本故障，試驗(yàn)數(shù)據(jù)見圖1。

圖1 裂紋長度隨時(shí)間變化趨勢圖

2）該齒輪裂紋失效閾值為1.6英寸。

圖中樣本C001在循環(huán)次數(shù)為90 000次時(shí)檢測出故障，樣本C002在循環(huán)次數(shù)為100 000次時(shí)檢測出故障，樣本C003、C004、C005、C006、C007、C008在循環(huán)次數(shù)為110 000次時(shí)檢測出故障，樣本C009～C012在循環(huán)次數(shù)為110 000次時(shí)檢測出故障。

4.1 性能退化數(shù)據(jù)增量分布檢驗(yàn)

將試驗(yàn)獲取的21個(gè)樣本的性能退化增量進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，分析結(jié)果如圖2～圖8所示。

圖2 樣本C001～C003性能退化增量概率圖

圖3 樣本C004～C006性能退化增量概率圖

圖4 樣本C007～C009性能退化增量概率圖

圖5 樣本C010～C012性能退化增量概率圖

通過正態(tài)概率圖可以得出：各樣本的退化數(shù)據(jù)增量均服從正態(tài)分布，因此可以用weiner過程來描述試驗(yàn)樣本的性能退化過程。

4.2 模型參數(shù)估計(jì)

利用式(9)可得第j次測量時(shí)，μj和的無偏估計(jì)見表1。

圖6 樣本C013～C015性能退化增量概率圖

圖7 樣本C016～C018性能退化增量概率圖

圖8 樣本C019～C021性能退化增量概率圖

表1 齒輪恒定應(yīng)力下裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定性統(tǒng)計(jì)特性

利用式(10)結(jié)合最小二乘原理得到 μ和σ2得估計(jì)值為

則該齒輪性能退化過程可描述如下：

4.3 壽命預(yù)測

1）退化軌跡建模計(jì)算得到的結(jié)果。

通過退化軌跡模型直接擬合計(jì)算得到的結(jié)果如表2所示。

結(jié)合圖1、表2計(jì)算結(jié)果可以得出：1）基于指數(shù)擬合的退化軌跡模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性很高，可以用于該齒輪的壽命預(yù)測；2）通過圖1可以明顯看出樣本2的壽命恰好等于故障檢測時(shí)刻，而其他11個(gè)樣本的壽命則明顯小于故障檢測時(shí)刻，通過表1可以看出基于退化軌跡模型預(yù)測得出的多數(shù)樣本的壽命預(yù)測值大于故障檢測時(shí)刻，說明基于退化軌跡模型的壽命預(yù)測值有偏大趨勢，存在高估壽命的可能。

表2 基于退化軌跡模型直接擬合計(jì)算得到的結(jié)果

2）隨機(jī)維納過程建模計(jì)算得到的結(jié)果。

根據(jù)式(11)及上述壽命模型參數(shù)估計(jì)值，計(jì)算得到21個(gè)樣本的壽命估計(jì)值如表3所示。

結(jié)合圖1、表3計(jì)算結(jié)果：1）僅考慮前12個(gè)樣本，可以得出基于隨機(jī)維納過程預(yù)測得出的樣本的壽命預(yù)測值均小于故障檢測時(shí)刻，且對照圖1退化趨勢，預(yù)測值基本與樣本壽命正值吻合，幾乎準(zhǔn)確預(yù)測產(chǎn)品壽命；2）對比2種方法預(yù)測結(jié)果，可以得出基于隨機(jī)維納過程預(yù)測得出的樣本的壽命預(yù)測值相對保守且更接近壽命正值。

4.4 可靠性評估

將計(jì)算得到的 μ和σ2的估計(jì)值和代入式(5)，繪制出該齒輪的可靠度曲線如圖9所示。

通過圖9可以得到：1）在齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)約92 000循環(huán)之前，基于退化軌跡模型的可靠性評估結(jié)果和基于隨機(jī)維納過程的可靠性評估結(jié)果基本一致，這與實(shí)際試驗(yàn)獲取的退化數(shù)據(jù)和壽命數(shù)據(jù)吻合，都能很好地描述其壽命與可靠性；2）當(dāng)齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)超過92 000循環(huán)之后，基于兩種模型的可靠性評估結(jié)果出現(xiàn)較大差異，結(jié)合實(shí)際試驗(yàn)獲得的壽命數(shù)據(jù)分析，基于退化軌跡模型的可靠性評估結(jié)果存在高估壽命后期的可靠性，基于隨機(jī)維納過程的可靠性評估結(jié)果可以更準(zhǔn)確的預(yù)測壽命后期的可靠性。

表3 基于隨機(jī)維納過程計(jì)算得到的結(jié)果

圖9 該齒輪的可靠度曲線

5 結(jié)論

1) 考慮到產(chǎn)品性能退化的隨機(jī)性，基于隨機(jī)維納過程的壽命預(yù)測與可靠性評估方法可以更準(zhǔn)確地描述其壽命與可靠性。

2) 基于退化軌跡模型的壽命預(yù)測與可靠性評估過度依賴于故障首發(fā)檢測時(shí)刻點(diǎn)，在該時(shí)刻點(diǎn)未知的情況下，完全依賴基于退化軌跡模型預(yù)測得到的結(jié)果存在高估的可能，給產(chǎn)品實(shí)際使用過程中帶來風(fēng)險(xiǎn)。