肖美萍， 陳凌蕙， 鄒維林

（南昌航空大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063）

引言

偏微分方程的等值面邊界值問(wèn)題在70年代被提出[1-2]，此類模型問(wèn)題來(lái)源于很多實(shí)際問(wèn)題的需要，特別是可以模擬石油開(kāi)發(fā)中電阻率測(cè)井模型。關(guān)于線性偏微分方程的等值面邊界值問(wèn)題，已經(jīng)得到較為深入的研究[1-4]。近年來(lái)，對(duì)非線性偏微分方程的等值面邊界值問(wèn)題的研究也已取得較大進(jìn)展[5-9]。此外在石油測(cè)井中，人們也經(jīng)常遇到一個(gè)裂縫巖層區(qū)域，由此可以建立含薄層的區(qū)域上的等值面邊界值問(wèn)題。在用有限元方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，特別是當(dāng)計(jì)算到該薄層區(qū)域時(shí)，需要加大量的節(jié)點(diǎn)，這就增加了計(jì)算工作量，有時(shí)還會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。為了克服此困難，在實(shí)際計(jì)算中很自然會(huì)考慮能否把原來(lái)的問(wèn)題近似為一個(gè)沒(méi)有薄層區(qū)域的較簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)處理。因此，這就需要研究此類問(wèn)題的極限性態(tài)。對(duì)于線性橢圓方程的情況，這一問(wèn)題已得到解決[4]，擬線性強(qiáng)制橢圓問(wèn)題的研究也已經(jīng)有部分結(jié)果[9]。本文主要的目的就是將以往的研究結(jié)果[4,9]推廣到非線性退化橢圓情況，且自由項(xiàng)僅為L(zhǎng)1可積。

具體來(lái)說(shuō)，主要研究下列問(wèn)題解的存在唯一性與極限性態(tài)：

這里?是RN(N≥2)中以曲面Γ為邊界的有界光滑區(qū)域（如圖1），且?分解成3個(gè)互不重疊的區(qū)域，和?，其交接面分別為與，且是一個(gè)薄層區(qū)域。

圖1

為了研究問(wèn)題(Pε)解的極限性態(tài)，需要從數(shù)學(xué)上刻畫薄層區(qū)域當(dāng)ε→0時(shí)的極限（收縮為曲面），亦即滿足假設(shè)條件：

(H1)對(duì)任意給定且當(dāng)ε→0時(shí)，

(H2)對(duì)任意給定的滿足時(shí)，則當(dāng)ε充分小時(shí)，有(P)

另一方面，還需要研究下面的等值交接面問(wèn)題

其中

區(qū)域?由?1和?2組成，為其交接面，Γ為?的邊界，如圖2所示。

圖2

1 假設(shè)條件與主要結(jié)果

定義1.1一可測(cè)函數(shù)uε∈Vε，稱為問(wèn)題(Pε)的弱解，如果對(duì)?v∈Vε滿足

為得到問(wèn)題(Pε)的弱解的存在唯一性，需要系數(shù)以及自由項(xiàng)Fε(x)滿足如下假設(shè)條件：對(duì)a.e.x∈?和?s∈R都 成立，且存在常數(shù)α＞0滿足：

(H4)(x,s)為?上的可測(cè)函數(shù)，(x,0)∈L∞(?)，且對(duì)?ε＞0存在一個(gè)與 ε無(wú)關(guān)的常數(shù)β＞0，使得

(H5)存在非負(fù)函數(shù)h(x)∈L∞(?)，使得

(H6)假定Fε∈L1(?), 非負(fù)函數(shù)bε∈L1(?)，且存在正常數(shù) Γ與非負(fù)函數(shù)f∈Lq(?)（常數(shù)）使得

注1.2條件(H3)意味著當(dāng)解u趨于無(wú)窮時(shí)，方程的主算子趨于零，亦即當(dāng)解u趨于無(wú)窮時(shí)，擴(kuò)散現(xiàn)象消失。這些方程可用來(lái)刻畫產(chǎn)生飽和效應(yīng)的反應(yīng)模型[10,11]。

基于上述假設(shè)條件，可以得到本文的第一個(gè)主要結(jié)果（問(wèn)題(Pε)的弱解的存在唯一性）：

定理1.3設(shè)條件(H3)?(H6)成立，則問(wèn)題(Pε)的弱解的存在唯一的弱解uε∈Vε∩L∞(?)，且存在與ε無(wú)關(guān)的正常數(shù)M滿足

定義1.4一可測(cè)函數(shù)u∈V，稱為問(wèn)題(P)的弱解，如果對(duì)?v∈V滿足

為證明問(wèn)題(Pε)的弱解uε收斂于問(wèn)題(P)的弱解u，需要對(duì)系數(shù)(x,s)，bε(x)以及自由項(xiàng)Fε(x)的極限性態(tài)做如下假設(shè)：

(H7)對(duì)當(dāng)時(shí)有在中幾乎處處收斂，且關(guān)于s是一致連續(xù)。

(H8)對(duì)，當(dāng)時(shí)有，bε(x)→b(x) 在中強(qiáng)收斂。

(H9)對(duì)當(dāng)時(shí)有，F(xiàn)ε(x)→F(x)在中強(qiáng)收斂。

上述條中的極限函數(shù)aij(x,s)，b(x)以及F(x)滿足如下假設(shè)條件：

(H10)aij(x,s)=aji(x,s)對(duì)a.e.x∈?和?s∈R都 成立，且存在常數(shù)α＞0滿足：

(H11)aij(x,s)為?上的可測(cè)函數(shù)，aij(x,0)∈L∞(?)，且存在常數(shù)β＞0，使得

(H12)存在非負(fù)函數(shù)h(x)∈L∞(?)使得對(duì)任意s1,s2∈R

(H13)假定F∈L1(?)，非負(fù)函數(shù)b∈L1(?)滿足

基于上述假設(shè)條件，可以得到本文的第2個(gè)主要結(jié)果（問(wèn)題(Pε)的弱解的存在唯一性）：

定理1.5設(shè)條件(H1)?(H13)成立，uε∈Vε∩L∞(?)為問(wèn)題(Pε)的唯一弱解，u∈V∩L∞(?)為問(wèn)題(P)的唯一弱解。則有

2 主要結(jié)果的證明

定義

為了敘述方便，本文中將用Ci(i=1,2...)表示與n,ε無(wú)關(guān)的常數(shù)。

定理1.3的證明：主要分為存在性與唯一性兩步進(jìn)行。

第一步：存在性的證明。

定義

現(xiàn)在引入如下逼近問(wèn)題

其中IN為N階單位矩陣。

類似于定理3.1[5]的證明，可知對(duì)任意固定的n≥1，問(wèn)題(Pεn)存在唯一的弱解uεn∈Vε，使得

對(duì)任意k＞0，在式(3)中取v=(|?(uεn)|?k)+sgn(uεn)，由條件(H3)可得

利用條件(H6)可得到

根據(jù)引理3.2[5]可得

將以上兩式代入式(4)中，立即得到

進(jìn)一步在式(5)取k＞??1(Γ)，可得

接下來(lái)可以利用經(jīng)典結(jié)果[12]，可知

在式(3)中取v=uεn，由條件(H3),(H6)和式(7)可得

根據(jù)式(7)和式(8)可知存在uεn的一個(gè)子列（仍用uεn表示）和一個(gè)函數(shù)當(dāng)n→+∞，有以下結(jié)果：

利用經(jīng)典方法[13]，可以得到

在式(3)中令n→+∞立即得到函數(shù)L∞(?)為問(wèn)題(Pε)的解，且有

第二步：唯一性的證明。

現(xiàn)假定uε,wε∈Vε為問(wèn)題(Pε)的兩個(gè)弱解，則由弱解定義知，uε,wε滿足

在式(9)和式(10)中取v=Tk(uε?wε)，兩式相減得到

進(jìn)而利用假設(shè)條件(H3)～(H5)容易得到

利用勒貝格控制收斂定理，上式意味著

因?yàn)閗→0時(shí)，故有。因此uε(x)=wε(x)在?中幾乎處處成立。唯一性得證。

定理1.5的證明：因?yàn)闉閱?wèn)題(Pε)的唯一弱解，由定理1.3的結(jié)果可得uε滿足式(1)，且有

在積分等式(1)中取v=uε，容易得到

根據(jù)上述2個(gè)估計(jì)可知存在uε的一個(gè)子列（仍用un表示）和一個(gè)函數(shù)當(dāng)ε→0有以下結(jié)果：

再一次利用經(jīng)典方法[12]，可以得到

在式(1)中令ε→0，利用上述收斂結(jié)果與假設(shè)條件(H1)?(H2)和(H7)?(H9)，立即得到函數(shù)u∈為問(wèn)題(P)的解。

另一方面，類似于定理1.3的證明，利用假設(shè)條件(H10)?(H13)可知問(wèn)題(P)的有界弱解存在且唯一。定理證畢。

3 結(jié)論

1）主要研究了一類含薄層區(qū)域上的非線性退化橢圓型等值面邊界值問(wèn)題，在自由項(xiàng)與零階項(xiàng)的系數(shù)均為L(zhǎng)1可積并滿足一定的相關(guān)性條件下證明了問(wèn)題有界弱解的存在性與唯一性。

2）假定方程的系數(shù)與自由項(xiàng)與零階項(xiàng)的系數(shù)滿足一定收斂條件，當(dāng)薄層區(qū)域收斂于一曲面時(shí)，證明了原薄層區(qū)域上問(wèn)題的解收斂于一類等值交界面問(wèn)題的弱解。

3）當(dāng)薄層區(qū)域厚度充分小時(shí)，在實(shí)際計(jì)算中可以將薄層區(qū)域上的等值面問(wèn)題近似為一個(gè)不含薄層區(qū)域的等值交界面問(wèn)題來(lái)處理。