胡允社

【摘 要】 數(shù)學(xué)概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，具有抽象性的特點。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要依據(jù)學(xué)生的心理特征、知識背景和認(rèn)知規(guī)律，處理好數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維的形象性之間的矛盾，為學(xué)生提供探究的空間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的概括過程，從中體驗數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的歷程，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從整體上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) ? 經(jīng)歷過程 ? 活動經(jīng)驗 ? 數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生認(rèn)知、判斷、理解和解決問題的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)基本技能形成與提高的必要條件。小學(xué)數(shù)學(xué)是一門概念性很強(qiáng)的學(xué)科，在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時，教師要明確概念教學(xué)并非直白地告訴，也不能單純地理解成學(xué)生會解決幾個問題，而是要使概念的呈現(xiàn)體現(xiàn)層次性，為學(xué)生提供充分的探究空間，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，讓學(xué)生在經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程中理解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展和形成過程，進(jìn)而理解概念本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。

一、重直觀，化抽象為形象

數(shù)學(xué)概念的理解與掌握，往往需要經(jīng)歷一個由生動的直觀表象到抽象的思維，再從抽象思維到實踐運用的過程。在整個小學(xué)階段，教材中大部分概念沒有嚴(yán)格的定義，而是從學(xué)生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性。但對小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念還是抽象的。因此，在概念教學(xué)中要加強(qiáng)直觀教學(xué)，以學(xué)生的感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個主動的、復(fù)雜的思維過程，通過自己的觀察、操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物主要的本質(zhì)特征或?qū)傩裕母行陨仙秊槔硇?，進(jìn)而把握概念的內(nèi)涵和外延。

例如，在教學(xué)《平行與垂直》這節(jié)課時，為了讓學(xué)生理解“平行線”的抽象含義，體會“不相交”的真正內(nèi)涵，筆者和學(xué)生一起經(jīng)歷了如下的探究過程：

1.認(rèn)識“相交”和“不相交”

（1）收集展示：教師收集學(xué)生將直線“平移和旋轉(zhuǎn)”后畫在紙上的情況。

（2）分類討論：根據(jù)他們的位置關(guān)系，你能給他們分類嗎？

（3）反饋交流：在多種方法的辨析中聚焦以平移和旋轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)的分類方法。

當(dāng)學(xué)生對④和⑤有爭議時，借助直尺和幾何畫板進(jìn)行直觀展示，利用“直線可以無限延長的特點”明晰位置關(guān)系，學(xué)會“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”。

（4）觀察旋轉(zhuǎn)后的兩條直線，揭示“相交”和“不相交”。

2.認(rèn)識平行

（1）引導(dǎo)學(xué)生聚焦在“不相交”這一類，并思考它們有什么特點。

（2）討論：永不相交。

師：永不相交是什么意思？

生：不管怎么延長，這兩條直線是永遠(yuǎn)也不會相交的。

（師引導(dǎo)學(xué)生回顧幾何畫板上平行線的位置關(guān)系，通過課件背景的格子圖直觀感受平行線間的距離處處相等）

生：它們之間的寬度都是一樣的，所以永不相交。

師：像這樣的兩條直線叫作“平行線”，你能說一說什么叫平行線嗎？

生：不相交的兩條直線叫作平行線，也可以說這兩條直線互相平行。

3.完善概念

（1）我們剛才一起討論了平行線，看看書上是怎么介紹平行線的。

看了書之后你有要補(bǔ)充的或不明白的地方嗎？（指出：同一平面）

（2）借助課件和實物教具，直觀認(rèn)識“同一平面”，并完善概念。

通過上述操作、想象、辨析、明晰等一系列活動，為學(xué)生在直觀感知和抽象概念之間搭建橋梁，將抽象的概念直觀呈現(xiàn)，逐層深入，學(xué)生在探究和矛盾中深刻地建立起“平行”的意義，使學(xué)生多層次、多角度感悟“平行線”的本質(zhì)。這一過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維得以錘煉、發(fā)展的過程，對學(xué)生形成由表及里的縱深思維具有潛移默化的影響。

二、巧勾連，化單一為系統(tǒng)

學(xué)生對概念的認(rèn)識，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)程度的提高，由淺入深，逐步深化，由此建立起數(shù)學(xué)思維。在概念教學(xué)中，教師要重視概念的關(guān)聯(lián)，從學(xué)生日常生活提取素材，從數(shù)學(xué)知識體系出發(fā)去溝通概念間的聯(lián)系，處理好概念的階段性和連續(xù)性的關(guān)系，讓學(xué)生在經(jīng)歷概念形成的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，感受概念間的密切聯(lián)系，幫助學(xué)生形成完整的、系統(tǒng)的知識。

1.溝通內(nèi)部聯(lián)系

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材在編排時采用螺旋上升的處理原則，對于那些較為抽象或深刻的數(shù)學(xué)概念，在認(rèn)識上要經(jīng)歷較長的學(xué)習(xí)階段。教學(xué)這類概念時，教師應(yīng)溝通知識點間的密切聯(lián)系，站在數(shù)學(xué)知識體系及學(xué)生心理的角度，深入分析每一個概念出現(xiàn)的必要性和合理性，從而對學(xué)習(xí)對象的深度、廣度等方面體現(xiàn)出螺旋上升的做法。如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時，教材分兩個階段編排，應(yīng)分別把握好兩個階段的教學(xué)目標(biāo)。第一階段編排在三年級，教材從學(xué)生的實際出發(fā)，讓學(xué)生在具體操作中認(rèn)識幾分之一和幾分之幾，在概念的呈現(xiàn)上采用描述式：“像1/2、1/3、1/4、1/5這樣的數(shù)，就是分?jǐn)?shù)”，再由原來的一個物體或一個圖形漸漸地引申到一個整體的幾分之幾。整體編排借助直觀，讓學(xué)生在經(jīng)歷直觀操作的基礎(chǔ)上初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，并嘗試解決簡單的問題。第二階段編排在五年級，讓學(xué)生在第一階段的基礎(chǔ)上系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，在頭腦中建立起“整體意識”，也就是“單位1”，從而明確分?jǐn)?shù)的意義。在概念的呈現(xiàn)上采用定義式：把“單位1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。這一階段的認(rèn)識從直觀到抽象，在教學(xué)時要注意溝通概念間的內(nèi)在聯(lián)系，運用同化概念進(jìn)行教學(xué)，讓新概念與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念相聯(lián)系，讓學(xué)生在經(jīng)歷分階段呈現(xiàn)概念的過程中明確目標(biāo)、理解深刻，同時幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的、系統(tǒng)的知識。學(xué)生對這種概念體系印象深刻，同時也獲得了精確的、可辨性強(qiáng)的知識。

2.發(fā)掘生活背景

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，許多數(shù)學(xué)概念都是從我們?nèi)粘Ｉ钪谐橄蠡纬傻?。教師在教學(xué)時要從學(xué)生的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗出發(fā)，為他們創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的問題情境，使學(xué)生在經(jīng)歷“從生活中來、到生活中去”的過程中體驗概念的形成過程，從而促進(jìn)概念內(nèi)化，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。如在教學(xué)《三角形的認(rèn)識》時，通過列舉生活中無處不在的三角形實例，讓學(xué)生尋找這些實例的共同點，接著圍繞問題“三角形在生活中的運用非常廣泛，是否與它的特性有聯(lián)系呢？我們帶著這一問題繼續(xù)今天的學(xué)習(xí)——三角形的認(rèn)識”進(jìn)行展開，然后在讓學(xué)生經(jīng)歷將實物抽象成三角形的過程中尋找共性并得出三角形的概念，認(rèn)識三角形各部分名稱、用實驗的方法驗證三角形的穩(wěn)定性，通過動手實踐、對比、辨析三角形具有穩(wěn)定性的特點，最后再引導(dǎo)學(xué)生思考課前情境中各是運用了三角形的什么特性，從而使學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動力。

三、多列舉，化被動為主動

數(shù)學(xué)概念往往都是在實踐的基礎(chǔ)上經(jīng)過多級的抽象概括產(chǎn)生的，小學(xué)生的抽象思維能力還處在發(fā)展的過程中，其思維能力以直觀、感性為主。因此教師在概念教學(xué)中，應(yīng)尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和身心特點，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生在列舉的過程中理解并掌握抽象的概念。

概念抽象需要典型實例，如果教師自己舉例、概括，自己給定義，就可能枯燥乏味，學(xué)生被動聽，參與欲望不強(qiáng)，導(dǎo)致理解不透。如果讓學(xué)生舉例，就能調(diào)動學(xué)生參與的積極性，迫使學(xué)生開動腦筋，百花齊放、生動活潑的場面自然形成，而且在舉例過程中，有獨立思考、合作交流，甚至有爭辯，這就形成了促進(jìn)概念理解的機(jī)制。實際上，概念教學(xué)中的“參與”，其關(guān)鍵是參與從典型實例中概括概念本質(zhì)特征的活動。如在教學(xué)《乘法的初步認(rèn)識》時，讓學(xué)生通過分一分小棒、寫一寫算式、給算式分類的過程中初步感知“相同加數(shù)”，再讓學(xué)生在師生互動、生生互動的過程中自主地編含有相同加數(shù)的算式、寫含有相同加數(shù)的算式，當(dāng)編出9個2相加、51個2相加、95個2相加等算式時，學(xué)生感覺到寫這樣的算式太累了，促使其進(jìn)一步思考更簡潔的表達(dá)方式，從而自然地引出“乘法”。學(xué)生在列舉中主動研究自己、老師或同伴的例子，促進(jìn)學(xué)生的思維深度參與，幫助學(xué)生在經(jīng)歷概念的形成過程中感悟概念、積累活動經(jīng)驗。

四、強(qiáng)應(yīng)用，化知識為能力

讓學(xué)生在經(jīng)歷應(yīng)用概念的過程中理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延，既能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深刻理解，又能讓學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的價值。教師在概念教學(xué)中應(yīng)重視精心設(shè)計一些與概念密切相關(guān)的習(xí)題，為學(xué)生創(chuàng)造舉一反三的機(jī)會，讓學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷運用概念去解決同類事物的過程。例如，筆者在教學(xué)《平均數(shù)》一課時，設(shè)計如下練習(xí)：

（1）下圖是艾艾所在小組前3名隊員跳遠(yuǎn)距離的統(tǒng)計圖，虛線所在位置能反映他們跳遠(yuǎn)平均距離的是（ ? ? ）。

（2）經(jīng)過計算，前3名隊員跳遠(yuǎn)的平均距離是168厘米，當(dāng)輪到艾艾時，他想：如果自己也能跳到168厘米，小組的平均成績將不變。你認(rèn)為正確嗎？什么情況下他們小組的平均成績將會發(fā)生變化？

（3）夢夢的跳遠(yuǎn)成績比艾艾差。艾艾認(rèn)為：夢夢所在小組的平均成績肯定比自己所在小組的平均成績差。他說得對嗎？

平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中的一個重要概念，它常用于表示統(tǒng)計對象的整體水平，在學(xué)生知道了平均數(shù)的概念和計算方法后設(shè)計這樣的練習(xí)，讓學(xué)生在經(jīng)歷概念運用的過程中加深對平均數(shù)本質(zhì)意義和特點的理解。第一題通過選擇感受平均數(shù)的取值范圍，也為“移多補(bǔ)少”方法的應(yīng)用提供了支撐，學(xué)生在加強(qiáng)對平均數(shù)理解的同時，數(shù)感也得到了培養(yǎng)。第二題讓學(xué)生在辨析中體會到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)會受到這組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)的影響，感悟到平均數(shù)的敏感性。第三題讓學(xué)生在對比中明白平均數(shù)并不是一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)，其中的數(shù)據(jù)有可能高于平均數(shù)，也有可能低于平均數(shù)，這就是平均數(shù)的“虛擬性”。概念教學(xué)的基本目標(biāo)是讓學(xué)生理解并能運用概念表達(dá)思想和解決問題，為實現(xiàn)對概念的深度理解，要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)靈活運用概念的機(jī)會，讓學(xué)生在運用的過程中對概念內(nèi)涵的理解引向深入，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，進(jìn)而深度建構(gòu)模型。

李邦河院士認(rèn)為，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”任何數(shù)學(xué)概念的發(fā)展、形成，都經(jīng)歷了數(shù)學(xué)家無數(shù)的觀察、分析、猜測、實驗、判斷、辨析、調(diào)整、優(yōu)化等一系列數(shù)學(xué)思維活動。對這種創(chuàng)造過程的了解，可以讓學(xué)生體會到一種活的、真正的數(shù)學(xué)思維過程。從這個意義上說，數(shù)學(xué)概念的形成過程可以引導(dǎo)我們經(jīng)歷知識的再創(chuàng)造過程。教師應(yīng)為學(xué)生提供參與概念本質(zhì)特征形成的過程，避免出現(xiàn)概念教學(xué)走過場、以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象。通過這樣的過程，學(xué)生不僅能獲得知識與技能，而且感悟到知識的產(chǎn)生與發(fā)展，習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從整體上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

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