程 宏

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

Korteweg-de Vries(KdV)方程是一種單向運(yùn)動(dòng)淺水波偏微分方程，最早由Boussinesq 在1870年提出[1].KdV 方程在研究淺水中小振幅長(zhǎng)波運(yùn)動(dòng)以及描述弱非線性回復(fù)力的淺水波現(xiàn)象中具有重要作用[2].同時(shí)，KdV 方程也廣泛應(yīng)用于磁流體波、離子聲波、彈性棒中的縱色散波等方面.當(dāng)前，對(duì)KdV 方程的數(shù)值方法的研究主要有有限差分法、有限元方法、擬(譜)方法及保結(jié)構(gòu)算法等[3-5].

本文考慮如下一類周期邊界KdV方程的初邊值問題：

初值條件和邊界條件分別為

其中φ(t)為周期函數(shù)，α，β，γ為非負(fù)常數(shù)，u0(x)為已知函數(shù).當(dāng)α=0 時(shí)，方程(1)即為經(jīng)典的KdV 方程.實(shí)驗(yàn)室水流模擬結(jié)果表明[6]，當(dāng)邊界條件中φ(t)為時(shí)間周期邊界時(shí)，淺水波的流動(dòng)也具有周期性，且保持了與邊界相同的周期，這就促使我們尋找一個(gè)精確的數(shù)值方法，來驗(yàn)證在此條件下淺水波流動(dòng)的周期性.

1 高精度差分格式

我們考慮建立KdV 方程(1)-(3)的三層線性四階精度差分格式.首先，構(gòu)造如下網(wǎng)格：xj=xl+jh,tn=nτ, 0≤j≤J, 0 ≤n≤N,其中h=(xr?xl)/J和τ=T/N分別為空間和時(shí)間方向上的步長(zhǎng).設(shè)unj為u(xj,tn)的近似解，即unj≈u(xj,tn).為方便計(jì)，引入如下記號(hào)：

令w=?αux?βuux?γuxxx,則式(1)可寫為w=ut.對(duì)式(1)兩邊同時(shí)對(duì)變量x求二階導(dǎo)數(shù)，則有

同時(shí)，利用泰勒展開得到

對(duì)于三階導(dǎo)數(shù)的離散，我們采用如下四階離散格式[7]

這里

由式(4)-(6)，我們可得

同時(shí)，我們有

由式(7)-(8)，我們對(duì)式(1)-(3)建立如下高精度差分格式：

由于式(9)在時(shí)間方向上是三層格式，在具體運(yùn)算的時(shí)候，還需要知道u1的值.為此，考慮如下兩層時(shí)間格式：

其中1 ≤j≤J?1.可以看到，式(11)同樣在時(shí)間方向上是二階精度，在空間方向上是四階精度.

2 收斂性和穩(wěn)定性分析

為證明式(9)-(11)的收斂性和穩(wěn)定性，我們只考慮齊次方程零邊界的情況，即φ(t)= 0，且記

引理1[8-9]任取兩個(gè)函數(shù)u,v∈Zh0，則有

引理2[7]任取函數(shù)u∈Zh0，則有＜u…x,u＞= 0.

引理3任取函數(shù)u∈Zh0，則有

證明由于u∈Z0h，有

引理4[10]任取函數(shù)u∈Z0h，存在不依賴h的常數(shù)C＞0，使得

定理1假定u0(x)∈H20(Ω)，則式(9)-(11)的解滿足進(jìn)一步有

證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明.由式(10)可得第一層u1的值可由式(11)計(jì)算，可得假定式(9)兩端對(duì)做內(nèi)積，由引理1得

由柯西-施瓦茲不等式[8]及引理2得

定理2若u0(x)∈H20(Ω)，則差分格式(9)-(11)的解是唯一的.

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明，由于u0和u1分別可由初始條件(10)和兩層格式(11)唯一確定，假設(shè)u1，u2，…，un是唯一可解的，考慮式(9)的齊次方程形式：

式(14)與un+1做內(nèi)積，由引理1，2，3 得從而因此，式(14)存在唯一的零解，故而式(9)-(11)存在唯一的解.

定理3若u0(x)∈H20(Ω)，則差分格式(9)-(11)的解收斂到式(1)-(3)的解，且收斂階為O(τ2+h4).

證明令這里和分別表示初邊值問題式(1)-(3)的精確解和式(9)-(11)的數(shù)值解，則誤差方程為

由引理1和定理1可得

同時(shí)，由柯西-施瓦茲不等式得

將式(17)-(18)代入式(16)中得

由式(11)得e0=0,Λ1=O(τ2+h4)2, 則由離散Gronwall不等式[11-12]得Λn≤O(τ2+h4)2，即由引理4 可得從而可知式(9)-(11)的解以‖?‖和‖?‖∞范數(shù)收斂到式(1)-(3)的解，收斂階為O(τ2+h4).

類似于定理3的證明過程，可得定理4：

定理4若u0(x)∈H02(Ω)，則式(9)-(11)的解以‖?‖和‖?‖∞范數(shù)穩(wěn)定.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1在KdV方程中取如下參數(shù)(α=0,β=1,γ=1,φ(t)= 0)，可得如下方程[13]：

初值條件為

該問題的解析解為

在本算例中，我們選取如下參數(shù)：κ=0.3,x0=0,Ω =[?30,30], 表1給出T=10,h=1.0,τ=0.5 時(shí)誤差和收斂階，這里收斂階為[15]

從表1可以看出，本文格式精度接近于理論分析的四階精度，這就驗(yàn)證了理論分析的正確性.

表1 誤差和收斂階Tab.1 Error and convergence rate

為了和其他格式比較，式(20)的如下守恒量[14，16-17]：

表2中列出了h=1.0,τ=0.5,T=10時(shí)本文格式、Sinc方法[14]和Lines方法[16]計(jì)算這些守恒量的誤差值比較.從表2中可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果比Sinc方法[14]和Lines方法[16]都要精確.

表2不同守恒量誤差值的比較Tab.2 Comparison of errors of different conserved quantities

例2在KdV方程中取如下參數(shù)(α=1,β=2,γ=3)，可得如下方程[14]：

此問題的初值可取式(21)，但其精確解是不知道的.

本算例我們?nèi)∪缦聟?shù)：x∈[0,1],h=0.01,T=1,τ=0.001,κ=0.5,x0=5.圖1中分別給出邊界條件φ(t)= sin(5πt)和sin(10πt)時(shí)三維波的傳播圖形.從圖1可以看出，波的傳播具有周期性，且周期與邊界條件中的函數(shù)φ(t)的周期性相同，這就驗(yàn)證了我們最初的猜想是正確的.

圖1 波的傳播周期解三維圖形Fig.1 3D figure of periodic solutions for wave propagation

4 結(jié)語

本文主要是對(duì)周期邊界的Korteweg-de Vries方程建立了三層線性高精度差分格式，格式的收斂階為O(τ2+h4)，并嚴(yán)格證明了所構(gòu)造數(shù)值格式解的存在唯一性、穩(wěn)定性與收斂性，數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了數(shù)值解保持了與邊界周期相同的周期性.