趙 青，韓光明，梁 娟

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

學(xué)習(xí)空間理論是在知識(shí)空間理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.知識(shí)空間理論[1-2]是Doignon 和Falmagne 于1985年提出的以集合論和組合數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的知識(shí)表示和自適應(yīng)評(píng)估理論．它的基本思想是通過學(xué)生對(duì)某學(xué)科一些問題的應(yīng)答情況，得出能夠解釋一切應(yīng)答反應(yīng)的問題集合．這個(gè)問題的集合就刻畫了學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)水平．由于確定學(xué)生知識(shí)水平的過程實(shí)質(zhì)上反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，因此在知識(shí)空間理論的基礎(chǔ)上發(fā)展出了遵循教學(xué)基本規(guī)律的學(xué)習(xí)空間理論[3]．

目前該理論在美國和歐洲不僅廣泛的用于測(cè)評(píng)個(gè)體的知識(shí)水平和自適應(yīng)教學(xué)，如計(jì)算機(jī)教育系統(tǒng)ALEKS，RATH 和APeLS 等，還成功地用在設(shè)備錯(cuò)誤分析、醫(yī)療診斷和模式識(shí)別等領(lǐng)域[3]．國內(nèi)對(duì)知識(shí)空間理論也有一定的研究.孫波和傅騫[4-5]從理論上概述了技能結(jié)構(gòu)相關(guān)內(nèi)容，對(duì)比研究了知識(shí)空間理論與項(xiàng)目反應(yīng)理論.楊文正等[6]運(yùn)用知識(shí)空間理論分析概念圖，增強(qiáng)了概念圖的教學(xué)功用.苗奪謙等[7]研究了知識(shí)空間的粒度空間模型.麥裕華等[8]應(yīng)用知識(shí)空間理論分析了學(xué)生的氧化還原反應(yīng)學(xué)習(xí)情況.李進(jìn)金等[9]通過知識(shí)空間的基建立了知識(shí)空間和形式背景間的聯(lián)系.

在知識(shí)空間理論中，個(gè)體的知識(shí)水平不僅可以由問題集刻畫[10-14]，還可以由技能集刻畫.為了更高效的表示知識(shí)，F(xiàn)almagne等[14]等在認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上建立了問題和技能之間的聯(lián)系，給出了技能函數(shù)和問題函數(shù)的雛形．在此基礎(chǔ)上，Doignon[15]引入了技能映射的概念，根據(jù)解決問題所需技能間的“或”、“與”關(guān)系，提出了析取模型和合取模型．隨后，學(xué)者們針對(duì)基于技能的擴(kuò)展知識(shí)空間展開了深入的研究[16-18].

同一個(gè)技能映射，析取模型下導(dǎo)出的是知識(shí)空間[16]，合取模式下是閉包空間[18]．兩種情況下，他們都不一定是學(xué)習(xí)空間．學(xué)習(xí)空間作為基于教學(xué)規(guī)律的特殊的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在解釋個(gè)體知識(shí)水平評(píng)估結(jié)果，確定學(xué)習(xí)方向等方面有明顯的優(yōu)勢(shì)．因此，探討技能映射和學(xué)習(xí)空間的關(guān)系是很有意義的.

由于學(xué)習(xí)空間的判別方法[3]一般都是基于所有知識(shí)狀態(tài)或者原子間關(guān)系給出的，而技能映射下導(dǎo)出知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程也需要遍歷技能子集，因此按照常規(guī)方法來判定導(dǎo)出的知識(shí)結(jié)構(gòu)是否是學(xué)習(xí)空間會(huì)導(dǎo)致大量的計(jì)算.這就要求我們根據(jù)技能模型的特點(diǎn)，尋找高效的判定方法.事實(shí)上，析取模型下每項(xiàng)技能所能解決的問題集有可能是所誘導(dǎo)出的知識(shí)空間的原子，這就為我們直接在技能映射下尋找誘導(dǎo)出學(xué)習(xí)空間的條件提供了可能.雖然我們的方法不必求出所有的原子，省去了大量的計(jì)算過程，但其本質(zhì)是建立在原子上的.于是，本文首先給出了基于原子的學(xué)習(xí)空間判別定理，在此基礎(chǔ)上探討了析取模型下導(dǎo)出學(xué)習(xí)空間的條件.然后利用合取模型與析取模型導(dǎo)出的知識(shí)結(jié)構(gòu)的對(duì)偶性，得到了合取模型下導(dǎo)出學(xué)習(xí)空間時(shí)技能映射需滿足的條件.

1 預(yù)備知識(shí)

在知識(shí)空間理論中，知識(shí)是用問題的集合來表示的．我們將能夠反映某領(lǐng)域知識(shí)的所有最基本的有代表性的問題的集合稱為問題域，用Q表示．類似的，將解決Q里問題所需的方法、算法和技巧等的集合稱為技能域，用S表示．

知識(shí)空間理論中最核心的概念就是知識(shí)狀態(tài)和知識(shí)結(jié)構(gòu)．前者由理想狀態(tài)下個(gè)體能正確解決的問題組成，體現(xiàn)了個(gè)體的知識(shí)水平，后者是知識(shí)狀態(tài)的集族，呈現(xiàn)了知識(shí)的組織形式．

定義1[2]設(shè)Q是非空問題域是含有Q和?的Q的子集族，稱K∈知識(shí)狀態(tài)(Q，)為知識(shí)結(jié)構(gòu)．若是并封閉的，則稱(Q,)是知識(shí)空間．

若Q有限，我們稱(Q，)是有限的；若有限，則稱(Q，)是本質(zhì)有限的．教育背景下關(guān)于某領(lǐng)域知識(shí)的都是本質(zhì)有限的，并且通過約簡(jiǎn)可以轉(zhuǎn)化為有限問題域上的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

定義2[2]若′是由的子集族的并構(gòu)成的集族，即??，有∪∈′，則稱′是的張成或張成′，記作′=().

定義3[2]若()=且??，()=，有=，則稱是的基.

定義4[3]若知識(shí)結(jié)構(gòu)(Q，)滿足下列兩個(gè)條件，則稱其為學(xué)習(xí)空間．

[L1]?K,L∈，若K?L，則存在有限狀態(tài)鏈K=K0?K1?…?Kp=L使得|KiKi?1|=(1 ≤i≤p)，并且|LK|=p;

[L2]?K,L∈，?q∈Q，若K?L且K+{q} ∈，則L∪{q} ∈．

注L2中的+表示不相交的并，即q?K.

公理[L1]和[L2]反映了教育學(xué)中兩條最基本的教學(xué)規(guī)律：循序漸進(jìn)的原則和保持學(xué)習(xí)的連貫性.

如果集族里任何兩個(gè)集合都可以通過彼此僅相差一個(gè)元素的集合序列聯(lián)系起來，并且序列中所有集合都屬于此集族，這個(gè)集族就是良級(jí)的.學(xué)習(xí)空間一定是良級(jí)知識(shí)空間，反之亦然.此外，學(xué)習(xí)空間一定是可辨識(shí)的，即問題域中不存在具有同樣信息的問題，否則無法保證任意兩個(gè)知識(shí)狀態(tài)間都存在緊路徑.一個(gè)不可辨識(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)通過約簡(jiǎn)可轉(zhuǎn)化為可辨識(shí)的.通常我們考慮的知識(shí)結(jié)構(gòu)都是可辨識(shí)的.

定義5[3]稱三元組(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射，其中Q為非空問題域，S為非空技能域，映射τ:Q→2S{?}.

當(dāng)Q和S明確時(shí)，有時(shí)也直接稱τ為一個(gè)技能映射.定義里的S可以是無限集，例如可以用實(shí)數(shù)集來表示某種能力水平.但在實(shí)際應(yīng)用中，S都是有限的.

?q∈Q，τ(q)∈2S{?}即為與問題q的求解相關(guān)的技能集合.?s∈S，用τ?1(s)來記和技能s相關(guān)的Q中問題的集合，即τ?1(s)={q∈Q|s∈τ(q)}.如果刪除任意一個(gè)技能會(huì)改變導(dǎo)出的知識(shí)結(jié)構(gòu)，則稱此技能映射為極小技能映射.相應(yīng)地，將去掉了冗余技能的技能集稱為極小技能集.有限知識(shí)空間一定存在極小技能映射.極小技能映射不唯一時(shí)，彼此同構(gòu).

本文只考慮Q和S有限的情況.本節(jié)涉及的未詳細(xì)闡述的概念和結(jié)論，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[3]及[18].

2 析取模型和合取模型

個(gè)體的知識(shí)狀態(tài)可以由技能決定，因?yàn)橹挥姓莆樟讼鄳?yīng)的技能才能解決問題.析取模型和合取模型是技能與知識(shí)狀態(tài)間常見關(guān)系的形式化.

定義6[3]設(shè)(Q,S,τ)是一個(gè)技能映射，T?S，則K={q∈Q|τ(q)∩T≠?}稱為析取模型下由技能集T確定的知識(shí)狀態(tài).

定義7[3]設(shè)(Q,S,τ)是一個(gè)技能映射，T?S，則K={q∈Q|τ(q)?T} 稱為合取模型下由技能集T確定的知識(shí)狀態(tài).

析取模型意味著要解決問題q，個(gè)體至少需掌握τ(q)中的一項(xiàng)技能;而合取模型則要求個(gè)體必須掌握τ(q)中的所有技能才能解決問題q．

當(dāng)個(gè)體具有的技能T取遍S的子集時(shí)，可得依析取模型和合取模型導(dǎo)出的所有知識(shí)狀態(tài)的集合，分別記作和顯然和都是知識(shí)結(jié)構(gòu).

依上述兩個(gè)定義，我們發(fā)現(xiàn)

1)?s,t∈S，若τ?1(s)=τ?1(t)，則在誘導(dǎo)或時(shí)，s和t的作用一樣，可認(rèn)為是同一種技能，去掉s或t中任何一項(xiàng)技能不會(huì)改變誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2)?a,b∈Q，若τ(a)=τ(b)，則無論是還是中，凡是含有a的狀態(tài)一定含有b.從知識(shí)掌握角度看，即個(gè)體若掌握了a，就一定會(huì)掌握b，反之亦然，問題a和b含有的信息是一樣的.此時(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)無法區(qū)分a和b，是不可辨識(shí)的.此種情況下，和都不可能是學(xué)習(xí)空間.

例1設(shè)Q={a,b,c,d}，S={s,t,u,v}，定義 技 能映射τ:Q→2S{?} 為τ(a)={s,t,v}，τ(b)={u}，τ(c)={t,u}，τ(d)={s,t,v}.

此例中τ?1(s)= τ?1(v)，去掉s或v中任一技能后誘導(dǎo)出的和保持不變.因?yàn)棣?a)τ(d)，說明問題a和d體現(xiàn)了同樣的信息.無論是還是中，我們看到凡是含有a的狀態(tài)一定含有d，因此，和都不可能是學(xué)習(xí)空間.

定理1[3]設(shè)(Q,S,τ)是一個(gè)技能映射，則是知識(shí)空間，是簡(jiǎn)單閉包空間且相互對(duì)偶.

3 析取模型下學(xué)習(xí)空間判別定理

目前，學(xué)者們已從不同角度給出了學(xué)習(xí)公理的等價(jià)形式[3，19].因?yàn)槲鋈∧Ｐ拖聠雾?xiàng)技能所能解決的問題集和導(dǎo)出的知識(shí)空間的原子間存在聯(lián)系，所以本節(jié)先給出了基于原子的學(xué)習(xí)空間判別定理，然后在此基礎(chǔ)上提出了析取模型下的學(xué)習(xí)空間判別定理.

引理1[3]設(shè)是有限集族，()是的張成，則下面兩個(gè)條件等價(jià).

2)?q∈，?G∈，若G是q的極小集，則G{q} 是的子集族的并.

定理2是學(xué)習(xí)空間的基

定理2 是引理1 的推論，在文獻(xiàn)[3]和[19]中也有其他形式的類似結(jié)論.若是學(xué)習(xí)空間的基，那么中的原子只能是唯一一個(gè)問題的原子，即?B∈σ(q)，當(dāng)B≠{q} 時(shí)需要注意的是，此時(shí)q∈?可能存在多個(gè)原子，即有可能|σ(q)|＞1.

推論1設(shè)是學(xué)習(xí)空間的基，則

證明因?yàn)?中任何一個(gè)問題都有原子，所以若，則中至少有一個(gè)原子是多個(gè)問題的原子，矛盾.

引理2設(shè)(Q,S,τ)是技能映射，A{τ?1(s)|s∈S}，則τ,∨= S(A).

證明K∈τ,∨??T?S，s.t.K ={q∈Q|τ(q)?T≠?}

定理3設(shè)(Q,S,τ)是技能映射，={τ?1(s)|s∈S}，則τ,∨是學(xué)習(xí)空間

證明設(shè)是τ,∨的基，由引理2，Kτ,∨=()，有?.先證必要性：?A∈A，若A∈，由定理2 知若則再證充分性：?A∈，若則A?.若則不僅A∈，而且還是唯一問題的原子.這說明中的知識(shí)狀態(tài)，要么不是原子，要么僅是唯一問題的原子.由定理2可推斷τ,∨是學(xué)習(xí)空間.

推論2設(shè)(Q,S,τ)是技能映射，若|S|＜|Q|，則不是學(xué)習(xí)空間.

由引理2和推論1易證.

4 合取模型下學(xué)習(xí)空間判別定理

利用合取模型和析取模型下分別導(dǎo)出的知識(shí)結(jié)構(gòu)的對(duì)偶性，在第4 節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，提出了合取模型下的學(xué)習(xí)空間判別定理.由于(Q,S,τ)依合取模型誘導(dǎo)的是交封閉的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而學(xué)習(xí)空間一定是并封閉的，可辨識(shí)的.因此只需要研究τ在何種情況下誘導(dǎo)的是并封閉的.又因?yàn)楹褪菍?duì)偶的，所以我們可將問題轉(zhuǎn)化為研究既是并封閉又是交封閉的條件，即是擬序空間的條件.

引理3[20]知識(shí)空間(Q，)是交封閉的??q∈Q有|σ(q)|=1.

根據(jù)引理3，(Q，)若是擬序空間，則?q∈Q只有唯一的原子，反之亦然.

定理4設(shè)(Q,S,τ)是技能映射，S′是析取模型下S的極小技能集，則τ,∧是學(xué)習(xí)空間Q與{τ?1(s)|s∈S′}一一對(duì)應(yīng).

證明由于τ,∧是交封閉的，則是學(xué)習(xí)空間?是序空間，即可辨識(shí)的擬序空間.又和相互對(duì)偶，因此τ,∧是擬序空間?是擬序空間.下面證明，τ,∧是可辨識(shí)的?是可辨識(shí).?q∈Q，設(shè)即τ,∨(q)是τ,∨中所有含有問題q的知識(shí)狀態(tài)集族.若τ,∨不可辨識(shí)，則至少則說明τ,∧不可辨識(shí)，反之亦然.因此，是序空間?是序空間.而是序空間?是?q∈Q只有唯一原子的學(xué)習(xí)空間?Q與的基是一一對(duì)應(yīng)的.而當(dāng)S′是析取模型下S的極小技能集時(shí)，{τ?1(s)|s∈S′} 就是的基.命題得證.

5 結(jié)束語

學(xué)習(xí)空間作為一種特殊的知識(shí)空間，能夠通過學(xué)生的知識(shí)水平評(píng)估結(jié)果，給予師生更加自然和簡(jiǎn)潔的教學(xué)指導(dǎo).但是給定一個(gè)技能映射，由它導(dǎo)出的知識(shí)結(jié)構(gòu)卻不一定是學(xué)習(xí)空間.本文在基于原子的學(xué)習(xí)空間判別定理的基礎(chǔ)上，提出了依析取模型和合取模型誘導(dǎo)學(xué)習(xí)空間時(shí)技能映射需要滿足的條件.這些結(jié)果豐富了技能映射和學(xué)習(xí)空間的聯(lián)系.后續(xù)我們準(zhǔn)備將本文的成果應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中，并試圖直接在技能映射下尋找關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑.