施婷婷，鮑 猛，林福財(cái)，2

（1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000；2.閩南師范大學(xué)粒計(jì)算及其應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建漳州363000；3.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610064）

拓?fù)淙鹤鳛閿?shù)學(xué)中一個(gè)研究領(lǐng)域一直被廣泛研究，比如Arhangel’skii等[1]的專著.拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群作為拓?fù)淙旱耐茝V，它是比群具有更弱的代數(shù)結(jié)構(gòu).2008年，Ungar[2]引入了回轉(zhuǎn)群的定義，而拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的定義在2017年被Atiponrat[3]首次提出，此后許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入研究.2017年，Atiponrat[3]研究了拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的一些性質(zhì)，證明了拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的直積還是拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群等結(jié)果.此外，Cai[4]證明了每一個(gè)第一可數(shù)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群是可度量化的.2019年，鮑猛等[5-7]在提出了強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的定義之后也證明了一些相關(guān)結(jié)論，比如：1)每一個(gè)T0強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群是完全正則的;2)每一個(gè)具有可數(shù)偽特征的T0強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群是子可度量化的，等等.但是目前，對(duì)左強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的研究相對(duì)來說較少，仍然有許多需要解決的問題.

本文主要定義了左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群和左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，研究左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的基本性質(zhì)并證明左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的相關(guān)結(jié)論，將每一個(gè)可數(shù)Hausdorff左拓?fù)淙菏怯砷]離散子集生成的結(jié)論推廣到左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群上，證明了每一個(gè)可數(shù)Hausdorff左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G是由閉離散子集生成的.

1 拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的相關(guān)定義

定義1[2]設(shè)(G，⊕)是廣群，(G，⊕)稱為回轉(zhuǎn)群，如果它的二元運(yùn)算滿足條件：

1)任取a∈G，存在單位元0 ∈G使得0⊕a=a=a⊕0；

2)任取x∈G，存在逆元素?x∈G，使得?x⊕x=0 =x⊕(?x)；

3)任取x，y∈G，存在gyr[x，y]∈Aut(G，⊕)，對(duì)所有z∈G，x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕gyr[x，y](z)；

4)任取x，y∈G，gyr[x⊕y，y]=gyr[x，y].

注群是回轉(zhuǎn)群(G，⊕)，使得gyr[x，y]是恒等映射，對(duì)所有x，y∈G.

定義2[9]設(shè)(G，⊕)是回轉(zhuǎn)群，G的一個(gè)非空子集H被稱為回轉(zhuǎn)子群，表示為H≤G，如果下面的條件成立：

1)限制⊕|H×H是H上的二元運(yùn)算，即(H，⊕|H×H)是一個(gè)廣群；

2)對(duì)任意x，y∈H，H到gyr[x，y]的限制，gyr[x，y]|H：H→gyr[x，y](H)，是雙射同態(tài)的；

3)(H，⊕|H×H)是一個(gè)回轉(zhuǎn)群.

定義3(G，τ，⊕)稱為左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群(右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群)，若滿足以下條件：

1)(G，τ)是拓?fù)淇臻g；

2)(G，⊕)是回轉(zhuǎn)群；

3)對(duì)任意x∈G，G上的左轉(zhuǎn)換Lx：G→G：Lx(y)=x⊕y(右轉(zhuǎn)換ρx：G→G：ρx(y)=y⊕x)，其中y∈G，是連續(xù)映射.

定義4G稱為左強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群(右強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群)，若G是左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群(右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群)且存在單位元的鄰域基γ，使得對(duì)任意x，y∈G和U∈γ有g(shù)yr[x，y](U)?U(gyr[x，y](U)?U).

定義5[1]群G上拓?fù)洇臃Q為G上的左(右)拓?fù)淙?，若?duì)任意a∈G，G上的左轉(zhuǎn)換La(右轉(zhuǎn)換ρa(bǔ))是G→G的連續(xù)映射.

定義6若(G，τ，⊕)是半拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，則滿足以下條件：

1)(G，τ)是拓?fù)淇臻g；

2)(G，⊕)是回轉(zhuǎn)群.

3)對(duì)任意x∈G，G上的左轉(zhuǎn)換Lx：G→G：Lx(y)=x⊕y和右轉(zhuǎn)換ρx：G→G：ρx(y)=y⊕x，其中y∈G，都是連續(xù)映射.

顯然半拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群既是左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群又是右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群.

2 左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的基本性質(zhì)

本節(jié)研究左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群與右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的基本性質(zhì)，主要證明了任意的左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群和右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群都是齊性空間，從而任意的半拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群是齊性空間.首先，回顧回轉(zhuǎn)群的一些運(yùn)算性質(zhì).

引理1[4]設(shè)(G，⊕)是回轉(zhuǎn)群，則對(duì)任意x，y，z∈G，有下列結(jié)論：

1)(?x)⊕(x⊕y)=y；

2)(x⊕(?y))⊕gyr[x，?y](y)=x；

3)(x⊕gyr[x，y](?y))⊕y=x；

4)gyr[x，y](z)=?(x⊕y)⊕(x⊕(y⊕z)).

其中，1）為左消去律；2)為右消去律.

命題1設(shè)G是左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，任取x∈G，則G的左轉(zhuǎn)換Lx：G→G是同胚映射.

證明由定義2和引理7可得Lx是連續(xù)的雙射.對(duì)任意y∈G，Lx(y)=x⊕y，則

所以L?x°Lx是恒等映射，可得Lx的逆也是連續(xù)的.因此Lx：G→G是同胚映射.

命題2設(shè)G是右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，任取x∈G，則G的右轉(zhuǎn)換ρx：G→G是同胚映射.

證明根據(jù)命題1的證明過程，只需證ρx的逆是連續(xù)的.對(duì)任意y∈G，ρx(y)=y⊕x.由引理1，

因?yàn)樵贕中對(duì)回轉(zhuǎn)群運(yùn)算和逆運(yùn)算都封閉，gyr[y，x](?x)=?(y⊕x)⊕y∈G.因此，

所以ρgyr[y，x](?x)是ρx的逆并且也是連續(xù)的，從而ρx：G→G是同胚映射.

命題3若G是一個(gè)半拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，那么G中所有的左轉(zhuǎn)換與右轉(zhuǎn)換都是同胚映射.

由命題1和命題2，推論1是顯然的.

推論1如果左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G的回轉(zhuǎn)子群H包含G的一個(gè)非空開子集，則H在G中是開的.

命題4設(shè)G是左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，U是G的開子集且A是G的任意子集，則A⊕U(U⊕A)在G中是開的.

證明我們只證明左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的情形，右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群類似可證.因?yàn)镚的每一個(gè)左轉(zhuǎn)換都是同胚的，且所以A⊕U在G中是開的.

推論2如果G是半拓?fù)淙?，則對(duì)G的任意開子集U和G的任意子集A，U⊕A和A⊕U都是開的.

命題5設(shè)G是右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，且A是G的回轉(zhuǎn)子群.如果A是開的，則A也是閉的.

證明假設(shè)A在G中是開的.對(duì)任意z∈，A⊕z是包含z的開集，則(A⊕z)?A≠φ.那么存在a1，a2∈A使得a1⊕z=a2.所以z=(?a1)⊕a2∈A，因此A是閉的.

定理1如果G是右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群且逆連續(xù)，則對(duì)G的每一個(gè)子集A和單位元0 處的每一個(gè)開鄰域U，

證明因?yàn)槟媸沁B續(xù)的，則存在單位元0處的開鄰域V，使得?V?U.

任取x∈，V⊕x是x的開鄰域.所以(V⊕x)?A≠φ.那么存在a∈A和ν∈V使得a=ν⊕x，則x=(?v)⊕a∈(?V)⊕A?U⊕A.

定理2每一個(gè)左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群都是齊性空間.

證明設(shè)G是左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群，任取x，y∈G，令z=y⊕gyr[y，x](?x).則由 引理1 可得Lz(x)=z⊕x=(y⊕gyr[y，x](?x))⊕x=y，而且Lz是同胚映射，所以G是齊性空間.

設(shè)G是右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群.對(duì)任意x，y∈G，令z=?x⊕y.則ρz(x)=x⊕z=x⊕(?x⊕y)=y.又因?yàn)橛易儞Qρz：G→G是同胚映射，所以G是齊性空間.

命題6任意的半拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群都是齊性空間.

推論3設(shè)f：G→H是左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的同態(tài).如果f在G的單位元0處的是連續(xù)的，則f是連續(xù)的.

推論4設(shè)G是左(右)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群且令g∈G.對(duì)G在單位元0處的任意基β，集族是G在g點(diǎn)的一組基.

3 左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群的相關(guān)結(jié)論

本節(jié)證明每一個(gè)可數(shù)Hausdorff左強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G是由閉離散子集生成的，推廣了文獻(xiàn)[8]中的一個(gè)重要結(jié)果.先證明引理2.

令G是回轉(zhuǎn)群，取n∈N.對(duì)任意x1，…，xn∈G和ε1，…，εn∈{- 1，1}，R[ε1x1，…，εnxn]表 示 直 積ε1x1⊕…⊕εnxn中加括號(hào)后的所有元素的集合，使得ε1x1⊕…⊕εnxn∈G，其中

顯然，R[ε1x1，…，εnxn]是可數(shù)集，將R[ε1x1，…，εnxn]記為{fm(ε1x1，…，εnxn)：m∈N}.如果A1，…，An?G，則我們定義：

引理2設(shè)V是左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G中的非空開集，則是G中開的左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群.

證明因?yàn)閂是左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G中的非空開集，即V?G且V≠φ.設(shè)V0=?V⊕V，則V0顯然是開集且只需要證中任意點(diǎn)ν都存在非空開集W使得事實(shí)上，對(duì)任意則存在ν1，…,νn∈V和ε1，…，εn∈{-1，1}使得v=f(ε1ν1，…，εnνn).又因?yàn)棣通扸0=f(ε1ν1，…，εnνn)⊕V0是G中開集且所以是G中開的左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群.

引理3設(shè)H是Hausdorff左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G中的開且稠的左拓?fù)浠剞D(zhuǎn)子群，則H=G.

證明由命題5，對(duì)右拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群顯然成立.只需證左強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群情況.設(shè)G中單位元鄰域基γ滿足定義4.假設(shè)H≠G，則對(duì)任意的x∈G-H，因?yàn)镠是G中稠子集，從而對(duì)任意U∈γ且U?H有(x⊕U)?H≠φ，那么存在u∈U和h∈H，使得x⊕u=h.因此由引理1的右消去律有

矛盾.

定理3每一個(gè)可數(shù)Hausdorff左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G是由閉離散子集生成的.

證明只證左強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群情況，右強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群類似可證.

1）如果G是離散的，定理顯然成立.

2）假設(shè)G不是離散的.

令G={}gn：n≥1，通過歸納法，對(duì)每一個(gè)n≥0，下證可以找到gn的開子集Un和有限子集Fn?G，使得滿足以下條件：

令U0=F0=φ，設(shè)集F0，…，F(xiàn) k，U0，…，Uk滿足(i)(ii).由假設(shè)知GUk≠φ且GUk包含G中的非空開集.顯然，且因?yàn)镚不是離散的，所以由引理2 知是G中開回轉(zhuǎn)子群且在G中是稠的.因?yàn)樵贕中是開的則由引理3知因此，存在有限子集F?Y且不失一般性，存在點(diǎn)由于G是Hausdorff，從而存在G的單位元0 的鄰域V使得

令Uk+1=Uk?(gk+1⊕V)且Fk+1=Fk?F，下證Uk+1和Fk+1滿足條件i）和ii）.

推論5[8]每一個(gè)可數(shù)Hausdorff左拓?fù)淙?右拓?fù)淙?G是由閉離散子集生成的.

推論6任意可分的非離散的Hausdorff左(右)強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G可由無處稠子集拓?fù)渖?

證明只證左強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群情況，右強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群類似可證.因?yàn)樽髲?qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群G是可分的，所以存在可數(shù)稠的左強(qiáng)拓?fù)浠剞D(zhuǎn)群H.由定理3 知H可由閉離散子集D生成，從而D是G中的無處稠子集且拓?fù)渖蒅.