吳怡敏

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建漳州363000）

分數(shù)階微分方程在自動控制、航天技術(shù)、信號識別、生物數(shù)學、物理學、力學等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-3].相比于整數(shù)階導(dǎo)數(shù),分數(shù)階導(dǎo)數(shù)為描述過程的記憶性和遺傳性提供了極好的工具[4].方程中含有函數(shù)p(t),會給研究工作帶來一定的困難.文獻[5]中給出并證明了幾類含p(t)項的整數(shù)階微分方程解的存在性和唯一性,但對于含p(t)項的分數(shù)階脈沖微分方程解的研究還未給出.受文獻[5]啟發(fā),構(gòu)造如下Riemann?Liouville分數(shù)階脈沖微分方程：

其中,是保持下限為0 不變的Riemann?Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)；1 ＜α＜2；(t,y(t))∈Ω,Ω =[0，1]×R;f∈C[Ω,R]?L1[Ω,R];η∈R;其中是2 ?α階的R?L型分數(shù)階積分；J=[0,1],0 =t0＜t1＜…＜tm+1=1;Ik、Jk、Rk∈C(R,R),k=1,2,…,m;p(t)∈C1(J,R+)；Δy|t=tk=y(t+k)?y(t?k),y(t+k)和y(t?k)分別是y(tk)的右極限和左極限,且y(t?k)=y(tk),此外和也有類似的定義.

1 預(yù)備知識

引理1[1]設(shè)[a,b](?∞＜a＜b＜+∞)是R上的有限區(qū)間,那么α∈R+階Riemann?Liouville分數(shù)階積分定義為：

其中,Γ(α)為Gamma函數(shù),右端積分在R+(R+={x|x＞0,x∈R})上逐點有定義.當a=0時,一般省略下標,記為Iα.

引理2[1]函數(shù)f:[a,+∞)→R的α∈R+階Riemann?Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

其中,當α≠N+時,n=[α+1],[α]表示α的整數(shù)部分；當α=N+時,n=α.右端在R+上逐點有定義.

引理3[2]設(shè)α＞0,如果f∈L1([a,b],RN)且In?α f∈ACn([a,b],RN),那么等式

在[a,b]上幾乎處處成立,其中n是大于或等于α的最小整數(shù).

2 主要結(jié)果

考慮分段連續(xù)函數(shù)空間PC(J,R)={y:J→R|y(t)在t≠tk處連續(xù),t=tk處左連續(xù)};PC(J,R)是Banach空間,范數(shù)記PC?(J,R)={y:D?0+y(t)∈PC(J,R)}(?=α,α?1)，賦范數(shù)‖y‖PC?=顯然,PC?(J,R)是Banach空間.

引理4[3]如果α＞0,β＞0,那么

引理5設(shè)y∈PC2(J,R)，I2?αy∈AC2(J,R)且1 ＜α＜2,那么是式（1）的解當且僅當

其中

引理6假設(shè)：

定義算子T:PC[J,R]→PC[J,R]，且則T是全連續(xù)算子.

證明i)由f、Jk、p(s)的連續(xù)性知g(s)連續(xù),由Ik、Rk、H連續(xù)得Ty連續(xù).

ii)對?λ＞0,令Bλ={y∈PC(J,R):‖y‖≤λ}.那么對?y∈Bλ,t∈[0,1],有|g(s)|≤d，其中則，故T(Bλ)一致有界.

iii)對?y∈Bλ,t1,t2∈[0,1]且t1＜t2，則|顯然當t1→t2時,不等式右端趨于0,即(Ty)(t1)→(Ty)(t2),故T(Bλ)為等度連續(xù)集.由Arzele?ascoli定理知,T全連續(xù).

定理1對引理6中的定義的有界集

記M(β,θ,γ)=[γa+(βΓ(α+1)+θα)p0b],當時,式（1）在[0,1]上至少有一個解.

證明由于易知‖Ty(t)‖≤λ,故T(Bλ)是PC(J,R)中的一個列緊子集,由Schauder不動點定理知T在[0,1]中至少存在一個不動點y∈Bλ，因此式（1）在[0,1]上至少有一個解y∈Bλ.

定理2假設(shè)：

1)Ik、Jk、Rk滿足

2)‖f(t,x)?f(t,y)‖≤M1‖x?y‖

證明對?x,y∈PC(J,R),有

由條件知上式滿足Banach壓縮映像原理,T在PC(J,R)上存在唯一不動點，故式（1）在[0,1]上有唯一解.

3 實例

例1考慮如下分數(shù)階脈沖微分方程邊值問題：

證明由于故且滿足引理6的條件,當0.846時滿足定理1 的條件,故式（2）在[0,1]中至少存在一個解.顯然式（2）滿足條件定理2 的條件，且故由定理2知式（2）在[0,1]存在唯一的解.