李健

【摘要】現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué).因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，能夠充分暴露數(shù)學(xué)家、教材編寫者、教師和學(xué)生的思維活動(dòng)，闡明數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成、發(fā)展和應(yīng)用過程，這對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的完善以及數(shù)學(xué)知識(shí)體系的形成都具有重要意義.本文透過“兩角差的余弦公式”的視角，展現(xiàn)如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中暴露思維，揭示該公式的產(chǎn)生、形成與發(fā)展過程.

【關(guān)鍵詞】思維過程;兩角差的余弦公式;數(shù)學(xué)教學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

思維的本質(zhì)是人腦中的高級(jí)精神活動(dòng)，是人這一主體對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)，以及對(duì)主體自身活動(dòng)的能動(dòng)反映或理性認(rèn)識(shí).它是人們認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，事物間相互聯(lián)系及其規(guī)律的必要手段.然而，在實(shí)際的教學(xué)過程中，由于部分教師片面地追求知識(shí)的記憶與運(yùn)用過程，忽視了概念的萌生過程、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程、方法的形成過程、問題的提出過程、規(guī)律的揭示過程，學(xué)生的思維活動(dòng)常被這些教師“滿堂灌”的教學(xué)模式所掩蓋.這種教學(xué)模式不利于學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，因此愈來愈不被教育工作者認(rèn)可，故建立暴露思維過程的教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的教育理念對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義.

一、暴露思維過程的意義

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)枯燥乏味的過程，如果教師再采用“滿堂灌”的教學(xué)方式，直接呈現(xiàn)知識(shí)的形成過程，忽略學(xué)生的思維活動(dòng)，那么整個(gè)課堂就會(huì)顯得死氣沉沉，毫無吸引力.在這種教學(xué)模式下，學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，機(jī)械地記憶知識(shí)，死板地運(yùn)用知識(shí)，故難以掌握知識(shí)的本質(zhì)，學(xué)習(xí)效率得不到提升，學(xué)習(xí)積極性自然也會(huì)降低.故教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，需要充分地暴露學(xué)生的思維過程，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地思考、分析、討論，從而抽象概括出數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣學(xué)生才能真實(shí)地參與到每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之中，理解知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、形成過程，從而提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性.

一個(gè)完善的思維結(jié)構(gòu)能賦予人一定的觀察、記憶能力，有助于理解、分析和解決問題，由于學(xué)生主要的思維活動(dòng)方式就是學(xué)習(xí)，因此教師如何通過課堂教學(xué)，幫助學(xué)生形成良好的思維結(jié)構(gòu)是他們需要考慮的重點(diǎn)問題.在教學(xué)過程中，不同的思維形式作用于思維過程的不同環(huán)節(jié)，只有充分暴露思維過程的各個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生的思維形式才能均衡發(fā)展，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)才會(huì)良好地形成.

學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)大多是零散的，難以找到知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系，故隨著學(xué)生知識(shí)的不斷增長，知識(shí)的遺忘速度也在加快.造成這種現(xiàn)象的根本原因在于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，被掩蓋了某些思維過程，導(dǎo)致認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)出現(xiàn)偏差，也就不能形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).因此教師在教學(xué)過程中，充分暴露思維過程，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立、推廣、發(fā)展具有巨大作用，有助于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)，全面、深刻地了解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而建立一個(gè)良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).

二、四種思維活動(dòng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

張乃達(dá)先生發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，存在著三種思維活動(dòng)，即數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)、教師的思維活動(dòng)和學(xué)生的思維活動(dòng)，而成功的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是實(shí)現(xiàn)這三種思維活動(dòng)的和諧與統(tǒng)一.除此之外，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，還存在教材編寫者的思維活動(dòng).一套良好的數(shù)學(xué)教材，應(yīng)該是在數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)前提下，教師以教材編寫者的思維活動(dòng)為母版，通過創(chuàng)新設(shè)計(jì)，達(dá)到數(shù)學(xué)家、教材編寫者、教師、學(xué)生的思維活動(dòng)的和諧統(tǒng)一，從而幫助學(xué)生形成良好的思維結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).

（一）數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)是展開數(shù)學(xué)教學(xué)的前提

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)家雖然沒有直接參與，但每一個(gè)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、形成都充分蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)，故數(shù)學(xué)家的思維過程表現(xiàn)在教學(xué)活動(dòng)的方方面面.因此學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，就是在教師、課本的引導(dǎo)下，重現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)，從而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程.因此，數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)得以展開的前提.

（二）學(xué)生的思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）提出的課程目標(biāo)是通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的“四基”“四能”.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生能否通過重現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維過程，體會(huì)數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)，總結(jié)數(shù)學(xué)家的思維方法，反思自己思維活動(dòng)中出現(xiàn)的問題，推進(jìn)自身思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變，是實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)要求達(dá)到的目標(biāo)，推動(dòng)學(xué)生“四基”“四能”發(fā)展的關(guān)鍵，故學(xué)生的思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵.

（三）教師的思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)順利實(shí)施的保障

學(xué)生由于受自身認(rèn)知水平和知識(shí)水平的限制，往往不能獨(dú)立地完成對(duì)數(shù)學(xué)家思維過程的重現(xiàn)，也不能從已暴露的數(shù)學(xué)家的思維過程中完成對(duì)數(shù)學(xué)信息的編碼，也就不能使數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)順利地進(jìn)行.教師作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)者，就需要依據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，通過指導(dǎo)、調(diào)控的方式，幫助學(xué)生解決思維活動(dòng)中的問題，清除學(xué)生遇到的障礙，推進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)與數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)同步，以保證數(shù)學(xué)教學(xué)過程順利進(jìn)行.

（四）教材編寫者的思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程的母版

數(shù)學(xué)教材是教材編寫者依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，按照數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)，設(shè)計(jì)出的輔助教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的藍(lán)本.因此，數(shù)學(xué)教材充分暴露了教材編寫者的思維活動(dòng).需要注意的是，教材編寫者的思維活動(dòng)是根據(jù)學(xué)生一般心理狀況設(shè)計(jì)的，故教師在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)時(shí)，如果不考慮學(xué)生的實(shí)際情況，只是跟著教材走，也不利于學(xué)生形成良好的思維結(jié)構(gòu).因此教材編寫者的思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程的母版，教師需要在此母版之上，進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與改編，設(shè)計(jì)出符合學(xué)生思維的教學(xué)設(shè)計(jì).

三、暴露思維過程的“兩角差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)

“兩角差的余弦公式”是最新高中數(shù)學(xué)人教A版（以下簡稱新版教材）必修第一冊(cè)第五章第五節(jié)“三角恒等變化”的內(nèi)容.從知識(shí)結(jié)構(gòu)上分析，三角恒等變化是三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變化的立足點(diǎn)與生長點(diǎn)，而“兩角差的余弦公式”作為三角恒等變化的基礎(chǔ)與起始點(diǎn)，是前面學(xué)過的誘導(dǎo)公式的延續(xù)與發(fā)展，也是接下來學(xué)習(xí)半角、倍角公式的依據(jù).從學(xué)生認(rèn)知水平分析，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)（新版教材還未學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念），對(duì)于誘導(dǎo)公式的記憶還較深刻，會(huì)求特殊三角函數(shù)值.從學(xué)生能力水平分析，學(xué)生通過前期的學(xué)習(xí)，具備一定的運(yùn)算能力和解決問題能力，但畢竟是高一的學(xué)生，語言表達(dá)能力與邏輯推理能力還有待提高.

兩角差的余弦公式屬于原理性知識(shí)，而原理性知識(shí)教學(xué)可分為原理結(jié)論（命題）的發(fā)現(xiàn)與關(guān)于這個(gè)命題的證明兩部分.

（一）循序漸進(jìn)，提出問題

師：回憶誘導(dǎo)公式的有關(guān)內(nèi)容，回答下列問題.

2.觀察以上公式，你們找到什么共同點(diǎn)了嗎？

3.對(duì)于以上公式，你們能提出什么一般性問題？（多媒體顯示）

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)問題的提出不可能一蹴而就，學(xué)生的思維難以達(dá)到數(shù)學(xué)家的思維水平，也就不能從復(fù)雜的信息源中，找到合適的信息，提出合適的問題，故教師要根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，找到符合學(xué)生認(rèn)知的合適根據(jù)地.這里教師通過回憶誘導(dǎo)公式的有關(guān)內(nèi)容，尋找四個(gè)誘導(dǎo)公式中共同點(diǎn)的方式，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生從特殊的誘導(dǎo)公式中，一步一步地抽象出如何求cos（α-β）的問題.

（二）活動(dòng)探究，提出猜想

生1：cos π2-β=sin β…①，cos（π-β）=-cos β…②，cos 3π2-β=-sin β…③，cos（2π-β）=cos β…④.在這幾個(gè)誘導(dǎo)公式中，都是求一個(gè)特殊角減β的余弦值，那能不能通過一個(gè)一般性的角α代替這四個(gè)特殊角，得到一個(gè)有關(guān)于cos（α-β）…⑤的公式？

師：很好，那你覺得這個(gè)公式的表達(dá)式可能是什么？

生1：……

師：直接說出表達(dá)式有點(diǎn)難度，我們先仔細(xì)觀察①②③④四個(gè)式子，猜測公式⑤中有哪些元素？

生2：cos β和sin β.

師：你是怎么猜測的？

生2：上述誘導(dǎo)公式①②③④的結(jié)果中都含有cos β和sin β，如果將α替換成誘導(dǎo)公式中的π2，π，3π2，2π，那么對(duì)于式子⑤中應(yīng)該含有cos β和sin β.

師：很好，老師也覺得公式⑤中存在cos β和sin β這兩個(gè)元素.那么，除了這兩個(gè)元素以外，還存在其他元素嗎？

生2：因?yàn)閏os（α-β）=cos[-（β-α）]=cos（β-α）…⑥，所以也可以將β替換成π2，π，3π2，2π，那么公式⑤中應(yīng)該還有cos α和sin α.

師：非常好，通過誘導(dǎo)公式⑥，我們知道α和β具有對(duì)等性，所以對(duì)于公式⑤，就一定含有cos β，sin β，cos α，sin α這四個(gè)元素.那么，接下來我們就要探討這四個(gè)元素能構(gòu)成怎樣的運(yùn)算結(jié)構(gòu).

生3：因?yàn)閟in π=0，所以我判斷肯定沒有除法結(jié)構(gòu)，并且通過賦值的方式，我發(fā)現(xiàn)這四個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)構(gòu)也不是全部相加和全部相乘.

師：你能說得更具體一些嗎？

生3：因?yàn)閟in π=0，如果有除法結(jié)構(gòu)，公式⑤就可能沒有意義.又因?yàn)閟inπ2=1，cosπ2=0，將α替換成π2代入公式①，那么公式①的結(jié)果就應(yīng)該有1，0，cos β和sin β這四個(gè)元素，但是實(shí)際上只有sin β這一個(gè)元素，所以我判斷這四個(gè)元素不是全部相加或相乘.

師：好，生3已經(jīng)通過賦值的方式為我們排除了多種運(yùn)算結(jié)構(gòu)，我們?cè)倮^續(xù)思考，公式①的結(jié)果本來應(yīng)該包含1，0，cos β和sin β四個(gè)元素，但實(shí)際上公式①中只含有sin β一個(gè)元素，那是不是因?yàn)槟撤N運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使其他三個(gè)元素都省略了？

生4：因?yàn)樵诠舰僦?，不存在cos β，而cos α=cos π2=0，我猜測應(yīng)該有一項(xiàng)是cos αcos β.又因?yàn)棣梁挺率菍?duì)等的，sin α=sin π2=1，所以另一項(xiàng)應(yīng)該是sin αsin β，所以cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β…⑦或者是cos（α-β）=sin αsin β-cos αcos β…⑧.

師：很好，生4已經(jīng)幫助我們推測出cos（α-β）的結(jié)果只有兩種情況了，還可不可以通過賦值的方法繼續(xù)推測？

生5：將α替換成π代入公式⑦，cos（π-β）=sin πsin β+cos πcos β，而sin π=0，cos π=-1，代入，得cos（π-β）=-cos β滿足公式②.將sin π=0，cos π=-1代入公式⑧不滿足，在繼續(xù)將α替換成3π2，2π代入公式⑦，其結(jié)果也滿足公式③和④，所以cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β.

設(shè)計(jì)意圖：在整個(gè)公式的猜想過程中，教師并沒有直接闡明公式的具體形式，而是作為一個(gè)主導(dǎo)者，通過一系列問題，幫助學(xué)生通過觀察、分析、比較、抽象、推理和概括，找到cos（α-β）可能含有的元素、猜測與驗(yàn)證元素組成的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，進(jìn)而推測出兩角差的余弦公式的具體形式.這種充分暴露學(xué)生思維的教學(xué)活動(dòng)，有利于加深學(xué)生對(duì)于公式的理解，推動(dòng)學(xué)生形成良好的思維結(jié)構(gòu).

（三）故技重演，驗(yàn)證猜想

師：我們已經(jīng)猜想出cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β，那么接下來就要證明這個(gè)猜想是否正確.大家還記得誘導(dǎo)公式是通過什么推導(dǎo)的嗎？

生：單位圓.

師：那我們還能不能繼續(xù)通過單位圓推導(dǎo)出公式⑦？

生：……

師：首先，我們確定單位圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A（1，0），以x軸非負(fù)半軸做始邊作角α，β，α-β.（α≠β+2kπ），它們的終邊分別與單位圓交于P1（cos α，sin α），A1（cos β，sin β），P（cos（α-β），sin（α-β））.觀察圖1，α-β可以用哪個(gè)角來表示？

生1：∠P1OA1和∠POA.

師：這兩個(gè)角相等，你能得到什么結(jié)論？

生1：因?yàn)橥粋€(gè)圓中相等的角所對(duì)的弧、弦相等，所以P1A1=PA.

師：由P1A1=PA，又能得到什么式子？

生1：因?yàn)镻1A1=PA，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得到[（cos α-β）-1]2+sin（α-β）2=（cos α-cos β）2+（sin α-sin β）2…⑨.

化簡，得cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β.

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)于公式的證明，由于新版教材并未學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念，所以這里通過單位圓來證明公式.然而，學(xué)生難以想到通過兩點(diǎn)間的距離公式來證明公式⑦，故這里先通過找α-β角，再由角相等得到弦相等，由弦相等得到式子⑨，最后化簡得到公式⑦，學(xué)生通過一步步的分析，最終完成公式的證明.因此在教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生的思維過程遇到阻礙時(shí)，教師就需要通過設(shè)計(jì)合適的問題，指導(dǎo)、調(diào)控學(xué)生的思維活動(dòng)，幫助學(xué)生的思維過程與成功的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)同步，從而縮短獲得知識(shí)所需的時(shí)間，提高課堂效率.

四、簡要結(jié)語

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”南宋詩人陸游教育自己的兒子，想要深入理解書本上的知識(shí)，必須要親自實(shí)踐，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)同樣如此.在教學(xué)中，如果學(xué)生并沒有深刻理解知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、形成、應(yīng)用過程，思維活動(dòng)沒有在教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)中充分暴露，也就難以掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成良好的思維結(jié)構(gòu).因此，教師在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)時(shí)，要有暴露學(xué)生思維過程的意識(shí)，體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)主體的理念，結(jié)合知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生真正學(xué)習(xí)知識(shí)而不是記憶知識(shí).

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