艾孜海爾·哈力克，艾合麥提·麥麥提阿吉

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

在現(xiàn)實世界中,兩個種群之間有著多種相互作用.其中捕食-食餌關(guān)系是最常見和最原始的生態(tài)相互作用之一.值得注意的是,數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的整個領(lǐng)域都是從種群間的捕食-食餌相互作用的種群動力學(xué)開始的,例如Lotka[1]和Volterra[2]的工作.近年來國內(nèi)外學(xué)者對種群捕食者-食餌動力系統(tǒng)進行了廣泛的研究[1-8],并且取得了很多研究結(jié)果.在描述捕食者及其食餌的動態(tài)相互作用時,大多數(shù)種群捕食-食餌動力系統(tǒng)研究總是利用功能反應(yīng)函數(shù)(比例依賴函數(shù))來描述捕食者的捕食率和轉(zhuǎn)化率[3-8].例如,文獻[5]研究了以下具有Crowley-Martin功能反應(yīng)函數(shù)的兩種群自治捕食-食餌系統(tǒng)

的持久性、非持久性以及幾個正平衡點的局部和全局漸近穩(wěn)定性.其中x(t)和y(t)分別是食餌種群和捕食者種群x和y在時刻t的密度;在系統(tǒng)(1)中cy(t)(1+a1x(t)+b1y(t)+c1x(t)y(t))-1和fx(t)(1+a1x(t)+b1y(t)+c1x(t)y(t))-1表示Crowley-Martin功能反應(yīng)函數(shù),并且作者在文獻[1]中用這兩個功能反應(yīng)函數(shù)來描述捕食者和食餌之間的捕食-食餌關(guān)系.值得注意的是,Crowley-Martin功能反應(yīng)與Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的主要區(qū)別是Crowley-Martin功能反應(yīng)是依賴于捕食者.文獻[5]指出,依賴于捕食者的功能性反應(yīng)可以更好地描述一系列捕食者-食餌數(shù)量上的捕食行為.

另一方面,在自然界中種群的棲息地環(huán)境都會隨著時間的變化而發(fā)生變化,這導(dǎo)致這些種群的生長特征發(fā)生變化.所以建立種群動力學(xué)模型時應(yīng)該考慮非自治模型,這將與真正的生態(tài)系統(tǒng)更加相似.因此,研究非自治種群捕食-食餌動力學(xué)模型很有價值.本文結(jié)合以上的研究工作和模型(1),研究下面的具有Crowley-Martin功能反應(yīng)函數(shù)的兩種群非自治捕食-食餌系統(tǒng)

通過應(yīng)用微分方程比較原理和Lyapunov函數(shù)方法研究系統(tǒng)(2)的有界性、持久性、滅絕性、正周期解的存在性以及全局吸引性等動力學(xué)行為.

1 預(yù)備知識

在本文中,假設(shè)系統(tǒng)(2)滿足下面的初始條件:

(H1) a1(t),b1(t),c1(t),d(t),c(t),f(t)和e(t)是區(qū)間[0,+∞)上有界,連續(xù)的正函數(shù)；

(H2) a1(t),b1(t),c1(t),d(t),c(t),f(t)和e(t)是ω-周期正連續(xù)函數(shù).

為了敘述方便,對任意在區(qū)間[0,+∞)上連續(xù)的函數(shù)f(t),我們用下面的記號

此外,我們還將用到如下一些定義和引理.

定義1[8]我們稱系統(tǒng)(2)是持久的,如果存在正的常數(shù)mi,Mi(i=1,2)和T*使得系統(tǒng)(2)的每個正解(x(t),y(t))對于任何給定初始條件Φ滿足m1≤x(t)≤M1,m2≤y(t)≤M2,?t≥T*,其中T*依賴于Φ.

定義2[9]稱系統(tǒng)(2)是全局吸引的,如果系統(tǒng)(2)的任意的兩個解(x(t),y(t))和(u(t),v(t))滿足

引理1[10]考慮下面的方程

則下面一般形式的泛函微分方程

一定存在周期為ω的正周期解.其中x(t)∈Rn而F(t,xt)是n維連續(xù)實泛函,x(t,0,Φ)=(x1(t,0,Φ),x2(t,0,Φ),···,xn(t,0,Φ)).

引理3[11]設(shè)f是定義在[0,∞)上的一個非負函數(shù)使得在[0,∞)上可積,并且在[0,∞)上一致連續(xù),則

2 有界性、持久性、滅絕性和正周期解的存在性

定理1 假設(shè)H1成立,則存在常數(shù)Mi＞0(i=1,2),使得系統(tǒng)(2)的任一個正解(x(t),y(t))滿足下面的條件

證明 設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(2)滿足初始條件(4)的任一個正解.首先,當t＞0時由系統(tǒng)(2)第一個方程可以得到

考慮下面的輔助方程

由引理1可以得到

根據(jù)微分方程的比較原理,存在一個常數(shù)T0＞0,使得當t＞T0時x(t)≤M1.下一步,當t＞0時由系統(tǒng)(2)第二個方程可以得到

與上面方法類似,對y(t)存在一個常數(shù)T1＞0,使得當t＞T1時y(t)≤M2.其中

定理2 假設(shè)H1成立并且bM1＞cL,R＞0,則系統(tǒng)(2)是持久的.其中

證明 設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(2)滿足初始條件(4)的任一個正解.首先,當t＞0時由系統(tǒng)(2)第一個方程可以得到

考慮下面的輔助方程

由引理1可以得到

根據(jù)微分方程的比較原理,存在一個常數(shù)T2＞0,使得當t＞T2時x(t)≥m1.下一步,當t＞0時由系統(tǒng)(2)第二個方程可以得到

與上面的方法類似,存在一個常數(shù)T3＞max{T0,T1,T2},使得當t＞T3時y(t)≥m2.

由引理1的第二個結(jié)論,可以得到下面的推論.

推論1 假設(shè)H1成立并且則系統(tǒng)(2)中的捕食者種群y滅絕.

由引理2,可以得到下面的推論.

推論2 假設(shè)H2成立并且則系統(tǒng)(2)是持久的并且至少有一個正ω-周期解.

3 系統(tǒng)的全局吸引性

首先,為了方便我們記

其中

定理3 假設(shè)定理2的條件成立,且A＞0,B＞0,則系統(tǒng)(2)是全局吸引的.

證明 設(shè)(x(t),y(t))和(u(t),v(t))是系統(tǒng)(2)的任意兩個正解.由系統(tǒng)(2)的持久性,存在常數(shù)T＞0,mi＞0,Mi＞0(i=1,2)使得

對一切t≥T成立.定義Liapunov函數(shù)

則沿著系統(tǒng)(2)計算V(t)的右上導(dǎo)數(shù),得到

令C=min{A,B},則得到

在區(qū)間[T,t]上積分(6),我們得到

從而

由(5),(7)和(8)我們可以得到x(t),u(t)和y(t),v(t)的導(dǎo)數(shù)˙x(t),˙u(t)和˙y(t),˙v(t)在區(qū)間[T,+∞)上是有界的.從而|x(t)-y(t)|+|u(t)-v(t)|在區(qū)間[T,∞)上是一致連續(xù)的,由引理3我們得到

因此,

由推論2和定理3,我們有下面的結(jié)論.

推論3 假設(shè)推論2的條件成立,且A＞0,B＞0,則系統(tǒng)(2)有一個全局吸引的正ω-周期解.

4 結(jié)論

本文研究了具有Crowley-Martin功能反應(yīng)函數(shù)的非自治捕食-食餌系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).首先運用不等式估計方法和微分方程的比較原理得到模型的有界性、持久性、滅絕性、正周期解的存在性.其次模型在持久的條件下構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù)得到了模型的全局吸引性.本文中研究的模型和得到的結(jié)論推廣了文獻[5]的結(jié)果.