馮 靚，胡 成，于 娟

(新疆大學 數學與系統(tǒng)科學學院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

1971年，蔡少棠教授首次提出了憶阻器,并以此刻畫電荷和磁通量間的關系[1].由于憶阻器能夠模擬人腦的記憶和遺忘機制,因而被研究者引入到神經網絡,建立了憶阻神經網絡(MNNs).目前,諸如穩(wěn)定性[2]、同步[3]等MNNs的動力學行為已被各領域學者廣泛研究.另一方面,由于比實值神經元具有更高的計算能力和信息存儲能力,近年來復值神經元在模式識別、非線性濾波等方面得到了廣泛的應用,并且憶阻復值神經網絡(MCNNs)也成為了當前的研究熱點[4,5].而在大多數的研究中,作者先將復值系統(tǒng)分離成兩個實值子系統(tǒng),再利用實值神經網絡的經典理論分析兩個實值系統(tǒng)的動力學行為.雖然這種分離方法是有效的,但忽略了網絡的復值特征和優(yōu)勢,也會給理論分析和計算帶來一定的困難.因此,探索分析MCNNs的新方法具有重要的理論價值和實際意義.

固定時間控制比傳統(tǒng)的反饋控制具有更快的收斂速度,相較于有限時間控制,停息時間又不受初始條件的限制,因而近年來被各領域學者廣泛研究.盡管目前已有相當豐富的實值MNNs的固定時間同步結果[6,7],而憶阻復值神經網絡卻由于理論分析上的困難極少受到關注.

基于上述分析,本文將研究具有時變時滯的耦合復值憶阻神經網絡的固定時間同步.首先,為了避免現(xiàn)有結果[4,5]中將耦合憶阻復值神經網絡分離為兩個實值子系統(tǒng),再設計兩個實值控制器的復雜分析方法,本文引入了復值符號函數和復數域中的新范數,使控制器設計、Lyapunov函數的選取以及理論分析都能夠在復數域內直接進行.其次,建立并證明了一個新的固定時間穩(wěn)定性定理,改進了現(xiàn)有的結果[8].基于該定理,對耦合憶阻復值神經網絡設計了新的固定時間控制策略,簡化了以往的控制器設計,并得到了低保守性的固定時間同步準則.

1 模型描述及預備知識

參考Chen等提出的MCNN模型[9],本文考慮由N個MCNNs耦合而成的復雜網絡,其動力學模型描述為:

對任意的1≤i≤N,定義同步誤差為ei(t)=yi(t)-xi(t),那么由(3)和(5)可得,

為了得到本文的主要結論,還需引入如下引理及假設.

假設1 對任意的k=1,2,···,n,存在正常數Lk,Hk以及νk使得對任意的x1,x2∈C,

定義1 若存在正常數T*(φ,ψ),使得

并且存在正常數Tmax,使得對任意的φ,ψ∈CNn有T*(φ,ψ)≤Tmax,則稱主從耦合MCNNs(1)和(4)是固定時間同步的,其中e(t)=(e1(t)T,e2(t)T,···,eN(t)T)T,φ和ψ分別為系統(tǒng)(1)和(4)的初始值.

引理1[12]對任意的i=1,2,···,N,假設bi≥0,并且0＜θ≤1,δ＞1,那么

引理4[12]對任意復數z∈C,如下結論成立:

定義2[14]令V(x(t)):Rn→R是一個正定、正則且徑向無界的函數,并且x(t)在[0,+∞)的任意閉區(qū)間上是絕對連續(xù)的,那么x(t)和V(x(t))在t∈[0,+∞)上幾乎處處可微,并且

其中:?V(x(t))表示V(x(t))的廣義梯度.

引理5 假設V(x(t)):Rn→R+是一個正定、正則且徑向無界的函數,并且x(t)在[0,+∞)的任意閉區(qū)間上是絕對連續(xù)的,如果

2 主要結論

注1 在定理1中,如果β=0,T0的估計值將退化為如下形式

注2 在以往關于MCNNs動力學分析的理論研究中[4,5],其主要結論是通過將復值系統(tǒng)事先分離成兩個實值子系統(tǒng),再進行理論分析而得到的.不同于這種分離方法,本文復值符號函數的引入使得控制器設計、Lyapunov函數的選取以及理論分析均在復數域內進行.

注3 在大多數關于固定時間同步的研究中[6,7],關于同步誤差的線性項在控制器設計中是必不可少的.與此不同,本文給出的控制策略移除了該線性部分,簡化了傳統(tǒng)的控制設計.另外,引理5將現(xiàn)有的固定時間穩(wěn)定性推廣到不連續(xù)系統(tǒng)中,并提高了已有工作[8]中給出的停息時間估計精度.

3 數值模擬

本部分將通過一個數值實例說明所得結論的有效性.

在系統(tǒng)(1)和(4)中,選取網絡節(jié)點數為N=12,n=2,Πik={xik(t)∈C;|Re(xik(t))|+|Im(xik(t))|≤1.5,k=1,2},fk(xik(t))=tanh(Re(xik(t)))+i sin(Im(xik(t))),k=1,2,憶阻連接權重定義為:當xik(t),yik(t)∈Πik,di1=1.07+0.22i,di2=0.49-0.60i,ai11=2.20-1.03i,ai12=-0.14+0.60i,ai21=-5.10+3.49i,ai22=3.00-2.02i并且bi11=-1.59+0.10i,bi12=-1.19-0.13i,bi21=-0.10-0.42i,bi22=-2.10-1.90i;當xik(t),yik(t)∈/Πik,di1=0.98+0.12i,di2=0.51-0.62i,ai11=2.10-0.99i,ai12=-0.11+0.56i,ai21=-5.12+3.51i,ai22=3.10-2.08i,并且b i11=-1.65+0.15i,bi12=-1.11-0.12i,bi21=-0.19-0.40i,bi22=-1.99-1.89i.

基于以上參數,系統(tǒng)(1)中孤立節(jié)點的實部和虛部動力學行為模擬如圖1和圖2所示,這里x1(0)=-2.18-1.09i,x2(0)=-1.97+1.22i.

圖1 孤立節(jié)點的實部相

圖2 孤立節(jié)點的虛部相圖

對任意的i=1,2,···,12,k=1,2,選取gk(xik(t))=tanh(Re(xik(t)))+i tanh(Im(xik(t))).通過簡要計算可得,Lk=νk=1,Hk=2.在控制器(8)中,選取下列控制參數:mi=14.70,ρ1=11.20,ρ2=34.26,θ=1.42.則由定理1可知,耦合MCNNs(1)和(4)是固定時間同步的,如圖3和圖4所示.此外,對應的停息時間估計分別為T*0=22.00,T*2=21.82.

圖3 β=0.5時的同步誤差演化

圖4 β=0時的同步誤差演化

4 結論

本文主要討論了一類具有時滯的耦合憶阻復值神經網絡的固定時間同步.基于引入的復值符號函數和新的固定時間穩(wěn)定性理論,設計了新的不連續(xù)復值控制策略,并通過構造新的Lyapunov函數來分析網絡的固定時間同步.此外,所提出的控制方法通過移除線性部分簡化了傳統(tǒng)控制設計.未來工作將研究脈沖系統(tǒng)或時空網絡的固定時間控制問題.