姜付錦 吳 珊

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)，湖北 武漢 430300)

1 提出問題[1]

圖1 4個(gè)單擺

如圖1所示,在一條張緊的繩子掛4個(gè)擺,其中A、B的擺長相等．當(dāng)A擺振動的時(shí)候,通過張緊的繩子給其他各擺施加驅(qū)動力,使其余各擺做受迫振動．驅(qū)動力的頻率等于A擺的頻率．其他各擺的固有頻率取決于自己的擺長．B、C、D3個(gè)擺在驅(qū)動力作用下開始擺動,觀察它們的振幅的差別．3個(gè)擺的振幅與它們固有頻率有什么關(guān)系?

教師用書上說,A擺是驅(qū)動擺為其它擺提供周期性的驅(qū)動力,頻率就是A擺的固有頻率．因?yàn)锽擺與A擺的擺長相同,固有頻率一樣,所以B擺做受迫振動的振幅最大,C、D兩擺的固有頻率與A擺相差較大,所以受迫振動的振幅比B擺?。?/p>

2 心存疑惑

筆者通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):只要時(shí)間足夠長,A擺和B擺的振幅相對較大,且振幅隨時(shí)間做周期性變化;C、D兩擺的振幅相對較小,振幅也是隨時(shí)間做周期性變化,4個(gè)擺的運(yùn)動不具備簡諧運(yùn)動的特征,所以筆者以為它們不是受迫振動,也不是簡諧振動,而是一種復(fù)雜的振動系統(tǒng)．筆者嘗試對這個(gè)振動系統(tǒng)提出一種理論模型,通過理論分析和數(shù)值模擬對實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的一些現(xiàn)象做出一些解釋．

3 問題解析

固定框架上兩端張緊的輕繩等距懸掛擺長不等的若干單擺,設(shè)擺長分別為L1、L2、L3……Ln,n個(gè)單擺組成振動系統(tǒng),為簡便取擺球質(zhì)量均為m．假定擺系統(tǒng)的總機(jī)械能在擺動過程中沒有損失,輕繩因力的作用而產(chǎn)生微小彈性形變,正是這微小的彈性形變傳遞了機(jī)械能．圖2所示為垂直于張緊輕繩的小球擺動所在正視面,小球擺動引起輕繩在水平位置微小位移,忽略輕繩在豎直方向上的形變量,取輕繩平衡位置為原點(diǎn)O,建立坐標(biāo)Ox軸,位移向右為正,向左為負(fù);擺角向右為正,向左為負(fù),圖中d是彈性輕繩相對平衡位置的水平方向上的微小位移．設(shè)某一時(shí)刻各個(gè)小球相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置如圖2中所示,根據(jù)牛頓運(yùn)動定律寫出每個(gè)小球的動力學(xué)微分方程如下.

圖2 建立動力學(xué)微分方程

3.1 3個(gè)擺球的振動系統(tǒng)

圖3 3個(gè)單擺

如圖3所示,張緊的水平繩上吊著A、B、C3個(gè)小球,B靠近A,但兩者的懸線長度不同;C遠(yuǎn)離球A,但兩者的懸線長度相同,現(xiàn)讓A在垂直于水平繩的方向擺動,分析另外兩個(gè)球的運(yùn)動規(guī)律．為了研究問題方便,不妨設(shè)L1=L2=L,L3,m1=m2=m3=m.

(1)

3.2 3個(gè)小球振動的本征頻率

設(shè)m=1 kg,k=5 N/m,L=20 m,L3=10 m,v0=1 m/s,g=10 m/s2,代入以上微分方程組(1)式后得

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的方法可以發(fā)現(xiàn),式(2)是二階常系數(shù)線性齊次方程組,具有

x1=A1ept,x2=A2ept,x3=A3ept.

形式的解,代入式(2),得

(3)

此方程組非零解的充要條件是

(4)

由此得6個(gè)本征值為

(5)

其實(shí)本征頻率只有3個(gè),即式(5)中的3個(gè)正值．

再結(jié)合式(5)和初始條件可以求得3個(gè)小球的振動方程如下

(6)

3.3 數(shù)值模擬

圖4 A球的振動圖像

圖5 C球的振動圖像

圖6 B球的振動圖像

通過分析以上三幅圖可以發(fā)現(xiàn),A、C兩球振動的幅度相對較大,振動特點(diǎn)類似耦合擺,[4]且振幅變化規(guī)律與差拍現(xiàn)象[3]類似;B球的振幅相對較小,它們的振幅都是隨時(shí)間周期性變化,而且振幅變化周期近似相同,它們不具備簡諧振動的特征．?dāng)?shù)值模擬的這些特點(diǎn)與在實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象是吻合的．

4 結(jié)語

這種理論模型可以解釋實(shí)驗(yàn)中觀察到的一些現(xiàn)象:共振演示儀中各個(gè)小球的機(jī)械能是通過張緊的輕繩在各個(gè)小球之間來回傳遞,當(dāng)系統(tǒng)振動達(dá)到穩(wěn)定后,不再有“受迫擺”和“驅(qū)動擺”之分,它們對系統(tǒng)穩(wěn)定的貢獻(xiàn)是“平權(quán)”的,沒有主次之分．?dāng)[長相等的兩個(gè)擺振動幅度相對較大,振動規(guī)律近似相同,而擺長不同的擺振動幅度相對較?。總€(gè)小球的振幅都是隨時(shí)間做周期性變化,且振幅變化的周期近似相同,所以每個(gè)小球發(fā)生的振動不是簡諧振動,是一種特殊的振動現(xiàn)象．理論分析還表明:系統(tǒng)振動的本征頻率個(gè)數(shù)與單擺個(gè)數(shù)相等,各個(gè)本征頻率與各個(gè)小球的質(zhì)量、擺長、輕繩的彈性系數(shù)及重力加速度有關(guān)．