鄧賢彬

以輕繩連接體為背景的物理試題往往能夠充分考查物體的受力平衡、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、動(dòng)量、能量守恒和功能關(guān)系等重要力學(xué)知識(shí)（如圖1所示），以及平行四邊形定則、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)同學(xué)們的理解能力和數(shù)學(xué)計(jì)算能力的要求較高。要想快速準(zhǔn)確地求解輕繩連接體問題，就必須清楚輕繩的力學(xué)特性和輕繩連接的兩個(gè)物體間具有的速度關(guān)系、加速度關(guān)系、位移關(guān)系等。下面歸納整理典型的輕繩連接體問題的求解策略，供大家參考。

一、輕繩之瞬間問題

1.輕繩的定義：沒有質(zhì)量，形變量微小到可以忽略不計(jì)的繩子。

2.輕繩的力學(xué)特性：輕繩不發(fā)生顯著形變就能產(chǎn)生彈力，故形變的產(chǎn)生、恢復(fù)或改變幾乎不需要時(shí)間，其彈力可以發(fā)生突變。

例1 如圖2所示，用兩段不可伸長的輕繩懸掛質(zhì)量為m 的小球，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，小球左側(cè)輕繩水平，右側(cè)輕繩與豎直方向間的夾角為θ。以下說法中正確的是（ ）。

A.剪斷水平輕繩的瞬間，小球的加速度為gtan θ

B.剪斷水平輕繩的瞬間，小球的加速度為gsin θ

C.剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球的加速度為g

D.剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球的加速度為g/sin θ

解析：剪斷輕繩的瞬間，其彈力會(huì)發(fā)生突變。分析此時(shí)輕繩的彈力情況需要根據(jù)小球以后的運(yùn)動(dòng)情況，因?yàn)榇藭r(shí)輕繩的彈力應(yīng)為小球以后的運(yùn)動(dòng)提供力學(xué)條件。

剪斷水平輕繩的瞬間，小球開始做圓周運(yùn)動(dòng)。小球的受力情況如圖3所示，將重力沿繩和垂直于繩方向分解，則T=mgcos θ，F(xiàn)合=mgsin θ，因此小球的加速度a=F合/m =gsin θ，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確。

剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球開始做自由落體運(yùn)動(dòng)（水平繩無拉力），則小球的加速度a=g，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。

答案：BC

例2 如圖4所示，質(zhì)量為M的木塊用長為L 的輕繩懸掛于O點(diǎn)，處于靜止?fàn)顟B(tài)。一質(zhì)量為m 的子彈以水平速度v0 高速射入木塊，子彈沒射出木塊。不考慮一切阻力，求：

（1）子彈射入木塊后，子彈和木塊的共同速度v共。

（2）子彈射入木塊時(shí)輕繩的拉力F。

（3）子彈射入木塊后，子彈和木塊上升的最大高度H 。

解析：（1）子彈射入木塊的時(shí)間很短，木塊的位置幾乎沒有變化，子彈和木塊就達(dá)到共同速度。由子彈和木塊組成的系統(tǒng)受輕繩對(duì)它豎直向上的拉力和豎直向下的重力，因而在水平方向上受到的合力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則mv0 = （m + M ）v共，解得v共=mv0/m +M 。

（2）子彈射入木塊后，由子彈和木塊組成的系統(tǒng)開始做圓周運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的受力情況如圖5所示，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得F - （m +M ）g =（m +M ）（v2共/L），解得F=（m +M ）g+[m2v20/（m +M ）L]。

（3）子彈和木塊在向右運(yùn)動(dòng)的過程中，因?yàn)檩p繩的拉力始終不做功，只有重力做功，所以由子彈和木塊組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)系統(tǒng)的速度為零時(shí)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得1/2（m +M ）v2共=（m +M ）gH ，解得H = [m2/2g（m +M ）2]v20。

二、輕繩連接之死結(jié)、活結(jié)問題

1.“死結(jié)”：可理解為把輕繩分成兩段，且不可以沿輕繩自由移動(dòng)的結(jié)點(diǎn)。其特點(diǎn)是“死結(jié)”讓結(jié)兩側(cè)的兩段輕繩變成兩根獨(dú)立的輕繩，因此兩段輕繩的張力一般不相等。理論上，一根輕繩可以存在無數(shù)個(gè)“死結(jié)”下的力學(xué)平衡狀態(tài)。

2.“活結(jié)”：可理解為把輕繩分成兩段，且可以沿輕繩自由移動(dòng)的結(jié)點(diǎn)。其特點(diǎn)是輕繩在結(jié)點(diǎn)處發(fā)生彎曲，張力方向發(fā)生變化，但輕繩仍是同一根繩，“活結(jié)”兩側(cè)的兩段輕繩的張力大小一定相等。一般情況下，處于確定的力學(xué)平衡狀態(tài)下的一根輕繩只能有一個(gè)“活結(jié)”。

例3 （2020年高考全國Ⅲ卷） 如圖6所示，懸掛物體甲的細(xì)線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩上O 點(diǎn)處，細(xì)繩的一端固定在墻上A 點(diǎn)，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體的質(zhì)量相等。系統(tǒng)平衡時(shí)，O 點(diǎn)兩側(cè)細(xì)繩與豎直方向間的夾角分別為α 和β，若α=70°，則β 等于（ ）

A.45° B.55°

C.60° D.70

解析：本題是輕繩連接體的平衡問題，既有“死結(jié)”，又有“活結(jié)”。選滑輪處為研究對(duì)象，滑輪處為一“活結(jié)”，因而滑輪兩側(cè)的兩段細(xì)繩的張力大小相等，且等于物體乙的重力。設(shè)甲、乙兩物體的質(zhì)量均為m ，選O 點(diǎn)為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，如圖7所示，因?yàn)門1=T2，所以其合力T 在其角平分線上，即∠1= ∠2，根據(jù)三力平衡條件可知，TOA 和T 等大反向，則∠1=β。根據(jù)幾何關(guān)系得∠1+ ∠2+α =180°，解得∠1=55°，即β=55°。

答案：B

三、輕繩連接體之系統(tǒng)問題

例4 如圖8所示，一根輕繩跨過光滑定滑輪，兩端分別連接物體A 和B，物體A 和B 的質(zhì)量分別為m 和M ，物體A 懸掛在空中，物體B 放于水平地面上。假設(shè)輕繩的長度不發(fā)生改變，且滑輪的大小可忽略不計(jì)。在用水平變力F 拉物體B 沿水平方向向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過程中，（ ）。

A.物體A 也做勻速直線運(yùn)動(dòng)

B.輕繩的拉力始終等于物體A 的重力

C.物體A 做加速運(yùn)動(dòng)

D.輕繩對(duì)物體A 的拉力逐漸減小

解析：根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，將物體B 在初始位置的瞬時(shí)速度分解到沿繩方向和垂直于繩方向，如圖9所示，則物體A 的速度vA =vB//=vBcos α。物體B 向右勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，vB 保持不變，輕繩和水平方向間的夾角α 逐漸減小，cos α 逐漸增大，則vA 逐漸增大，即物體A做加速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A 錯(cuò)誤，C正確。對(duì)物體A進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得TA -mg=maA ，即TA >mg，選項(xiàng)B 錯(cuò)誤。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，隨著α 角的減小，cos α 的值變化減慢，物體A 的速度改變變慢，即aA 減小，故TA 逐漸減小，選項(xiàng)D正確。

答案：CD

問題1：輕繩連接的兩物體瞬時(shí)速度大小相等嗎？

原理分析：為了研究方便，假設(shè)物體A和物體B 開始時(shí)分別處于位置A 和位置B，令經(jīng)過一段時(shí)間Δt，物體A 和物體B 分別運(yùn)動(dòng)到圖10 中的A1 和B1 位置，設(shè)該段時(shí)間內(nèi)，物體A 和物體B 的位移分別為xA 和xB 。以O(shè) 點(diǎn)為圓心，以O(shè)B 長為半徑畫圓弧BB2 交OB1 于B2 點(diǎn)。

位移大小關(guān)系：輕繩不能伸長，根據(jù)幾何關(guān)系得xA =xB//，xB >xB//。

原因分析：物體A 和物體B 在相等時(shí)間內(nèi)的位移、速度大小不等的根本原因是物體B 沿垂直于輕繩方向發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)。

結(jié)論1：輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時(shí)速度大小一定相等，即vA//=vB//。

問題2：輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時(shí)加速度大小相等嗎？

原理分析：物體A 做加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)物體A 應(yīng)用牛頓第二定律得TA -mg=maA ，其中aA >0。物體B 做勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體B 受到重力Mg，拉力F，輕繩拉力T，地面摩擦力和支持力作用，處于平衡狀態(tài)。如圖11所示，以水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥 軸，將輕繩的拉力T 正交分解，則F =f +Tcos α，N +Tsin α=Mg，其中f=μN(yùn) 。如圖12所示，以沿繩方向?yàn)閤 軸，垂直于繩方向?yàn)閥 軸，設(shè)物體B沿繩方向的加速度為aB//，則（Mg-N）sin α+（F-f）cos α-T=MaB//。聯(lián)立以上各式解得aB//=0。因此aA ≠aB//。

結(jié)論2：輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時(shí)加速度大小不一定相等。

問題3：什么條件下輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時(shí)加速度大小一定相等？

原理分析：因?yàn)檩p繩連接的物體沿垂直于繩方向有轉(zhuǎn)動(dòng)造成了兩物體位移、速度大小不等，所以當(dāng)輕繩連接的兩物體沿垂直于繩方向上均沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩物體都只在沿繩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物體沿繩方向的位移、瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度大小一定相等。

結(jié)論3：當(dāng)輕繩連接的兩物體沿垂直于繩方向上沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩物體都只在沿繩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物體沿繩方向的瞬時(shí)加速度大小和瞬間速度大小一定相等。

練習(xí)1：如圖13所示，一根輕繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪，兩端分別系在物體A、B 上，物體A的質(zhì)量M1 =2 kg，物體B 的質(zhì)量M2 =1 kg，初始狀態(tài)下物體A 離地高度H =0.5 m。將物體A 與B 由靜止開始釋放，取重力加速度g=10 m/s2，則物體A 由靜止下落0.3 m 時(shí)的速度為（ ）。

A.根號(hào)下2 m/s B.3 m/s

C.2 m/s D.1 m/s

答案：A 提示：將物體A 與B 由靜止開始釋放后，物體A 豎直下落，物體B 豎直上升，均只沿繩方向運(yùn)動(dòng)，因此兩物體的瞬間加速度大小、運(yùn)動(dòng)時(shí)間、瞬時(shí)速度大小均相等。對(duì)由兩物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得（M1-M2）gh=1/2（M1+M2）v2，解得v=根號(hào)下2 m/s。

問題4：既然物體B 做勻速直線運(yùn)動(dòng)，加速度aB =0，為什么物體B 沿繩方向和垂直于繩方向的速度都在發(fā)生變化？原理分析：將物體B 在B 點(diǎn)和B1 點(diǎn)的速度vB 、vB1 沿繩方向和垂直于繩方向進(jìn)行分解，并將vB1 及其分量平移到B 點(diǎn)，如圖14所示。從vB//矢量的末端向vB1//矢量的末端引有向線段，