陳志龍，劉 鵬，黃 鳴，舒 凱

(1.南昌理工學(xué)院，江西南昌 330044;2.華東交通大學(xué)機(jī)電與車(chē)輛工程學(xué)院，江西南昌 330013)

0 引言

陀螺是構(gòu)成慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的核心部件，為了測(cè)出從地面飛向太空的火箭、人造衛(wèi)星和宇宙飛船等宇航設(shè)備的角速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角度，并控制他們的姿態(tài)，陀螺是必不可少的[1]。振動(dòng)式陀螺是應(yīng)用微機(jī)械加工技術(shù)與微電子工藝技術(shù)制作的一種慣性傳感器，它具有體積小、質(zhì)量輕、功耗低、易于集成等特點(diǎn)，在車(chē)輛驅(qū)動(dòng)防滑控制系統(tǒng)、機(jī)器人姿態(tài)感知與控制系統(tǒng)、平臺(tái)穩(wěn)定系統(tǒng)、炮彈制導(dǎo)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-4];振弦式陀螺是把振動(dòng)式陀螺的工作機(jī)理與振弦式傳感器的測(cè)量機(jī)理相結(jié)合的一種陀螺。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與檢測(cè)系統(tǒng)是振動(dòng)式陀螺重要組成部分，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的主要功能是使敏感部件產(chǎn)生高頻振動(dòng)，振動(dòng)式陀螺的驅(qū)動(dòng)方式主要是運(yùn)用場(chǎng)力來(lái)驅(qū)動(dòng)，如靜電力、電磁力等。文獻(xiàn)[5-7]報(bào)道的振動(dòng)陀螺都是采用靜電驅(qū)動(dòng)，雖然靜電驅(qū)動(dòng)具有功耗低的特點(diǎn)，但工作電壓高，與目前片上常用的工作電壓(<5 V)不兼容，難以適應(yīng)系統(tǒng)集成與微電子器件的發(fā)展趨勢(shì)[8]。檢測(cè)系統(tǒng)的主要功能是對(duì)敏感部件受到外界信號(hào)的檢測(cè)，振動(dòng)式陀螺的檢測(cè)方式主要有運(yùn)用壓電、光電、頻率來(lái)檢測(cè)信號(hào)，文獻(xiàn)[9]報(bào)道的壓電振動(dòng)陀螺，該陀螺輸出非線性特性?xún)?yōu)于0.1%FS，但制造工藝比較復(fù)雜；文獻(xiàn)[10]提到了一種光電檢測(cè)傳感器，該傳感器能達(dá)到分辨率為0.1%FS，數(shù)據(jù)擬合曲線比較線性，但還處在試驗(yàn)階段，傳感器體積較大。隨著高深寬比微結(jié)構(gòu)加工的半導(dǎo)體工藝、設(shè)備的發(fā)展，原先困擾電磁驅(qū)動(dòng)與頻率檢測(cè)研究的加工手段問(wèn)題已不再突出[11]；頻率檢測(cè)能獲得較高的頻率分辨率。

1 振弦式陀螺的工作原理與頻率檢測(cè)模型

1.1 振弦式陀螺工作原理

圖1為振弦式陀螺的簡(jiǎn)化模型。質(zhì)量塊m固連在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的xy平面內(nèi)，模型具有2個(gè)振動(dòng)模式，每個(gè)模型簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼-質(zhì)量模型。假定質(zhì)量塊在y方向受到某種激勵(lì)作用而受迫振動(dòng)，而z軸有角速度Ω輸入時(shí)，質(zhì)量塊在x方向就會(huì)受到交變的科氏力(Coriolis force)作用而沿x軸方向產(chǎn)生誘發(fā)振動(dòng)，從而可通過(guò)振弦的頻率檢測(cè)，測(cè)出角速度輸入量[12]。

圖1 振弦式陀螺的簡(jiǎn)化模型

1.2 振弦式陀螺頻率檢測(cè)數(shù)學(xué)模型

振弦式陀螺敏感元件為振弦絲結(jié)構(gòu)，其具有較大的長(zhǎng)徑比，振弦式陀螺在工作時(shí)，檢測(cè)結(jié)構(gòu)模型可以簡(jiǎn)化為兩端固支的振弦絲結(jié)構(gòu)，振弦在振動(dòng)時(shí)受力如圖2所示。

圖2 兩端固支彈性弦絲振動(dòng)受力示意圖

取振弦上任意一微小段(x，x+dx)，振弦傳感在工作時(shí)，其振動(dòng)幅度相對(duì)比較小，所選微小段對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)近似為dx，對(duì)微段進(jìn)行受力分析有如下平衡式：

式中：β為阻尼系數(shù)；ρ為振弦絲的線密度。

由于振弦振動(dòng)的幅度相對(duì)比較小，α1≈α2≈0，則有：

(2)

振弦式陀螺采用永磁體電磁間歇式驅(qū)動(dòng),初始時(shí)刻所有的點(diǎn)均處于平衡位置,則有初始條件：

y(x，0) =0，y(0，t) =0，y(1，t) =0

對(duì)于永磁體電磁驅(qū)動(dòng)的振弦式陀螺信號(hào)敏感系統(tǒng)來(lái)講，高頻信號(hào)的檢測(cè)難度要高于低頻信號(hào)，因而要盡量保證振弦式陀螺振弦敏感結(jié)構(gòu)處于基頻狀態(tài)。當(dāng)振弦處于1階振動(dòng)模態(tài)時(shí)，振弦中心處振幅最大，在該處對(duì)振弦振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，有利于提高信號(hào)的信噪比，因而只需解算出振弦中心1階振型的振動(dòng)方程[13]。

(3)

約去高階小量整理并由歐拉公式得到振弦中點(diǎn)的振動(dòng)方程為

(4)

則振弦絲振動(dòng)的頻率可用式(5)表示:

(5)

通過(guò)檢測(cè)振弦自由振動(dòng)的基頻，利用上述公式即可解算出振弦所受科氏力大小，進(jìn)而可計(jì)算出輸入角速度大小。

2 振弦式陀螺檢測(cè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析

振弦式陀螺電磁驅(qū)動(dòng)初步結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。它是由一對(duì)背軛架為支撐的對(duì)桿磁鐵和一個(gè)帶有支架的線圈框架組成的，線圈框架位于永磁體邊界內(nèi)，獲得均勻的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

圖3 驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)示意圖

2.1 振弦式陀螺頻率檢測(cè)部分結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

振弦式陀螺采用振弦與中心敏感質(zhì)量塊組合的方式來(lái)敏感科氏力，通過(guò)檢測(cè)振弦上的頻率改變量來(lái)實(shí)現(xiàn)輸入角速度ω的轉(zhuǎn)化。由驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)初步得到的參數(shù)可知，線圈框架的尺寸參數(shù)：寬度為15 mm、長(zhǎng)度為30 mm、厚度為3 mm；314不銹鋼絲韌性好、抗磨損、硬度高、彈性強(qiáng)，選擇314不銹鋼絲作為振弦材料。采用軟銅板簧片作為驅(qū)動(dòng)框架的兩端支撐，這樣有利于線圈框架的驅(qū)動(dòng)且可以克服線圈框架的重力。

2.2 振弦線徑對(duì)模態(tài)頻率的影響

振弦的線徑不同會(huì)影響振弦的振動(dòng)，也會(huì)影響驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)振弦驅(qū)動(dòng)與檢測(cè)。根據(jù)314不銹鋼的材料特性，定義振弦模型的彈性模量為2.06×1011N/m2，泊松比為0.3，密度為7 750 kg/m3，材料阻尼為0.02。根據(jù)振弦式陀螺的初步結(jié)構(gòu)尺寸，選擇30 、50 、80、100 μm的線徑、長(zhǎng)度為30 mm的不銹鋼絲，建立有限元振弦模型，應(yīng)用ANSYS軟件進(jìn)行分析，分析數(shù)據(jù)處理采用基數(shù)為1.5×104Hz上的增量值，分析結(jié)果如圖4所示。

由圖4分析結(jié)果可知，隨著振弦線徑的增大，各階響應(yīng)頻率也隨之增大，這是由于振弦線徑的增大，振弦剛度系數(shù)也隨之增大，使得振弦基頻以及高階頻率也隨之增大。但在選擇振弦時(shí)也需考慮振弦在振動(dòng)過(guò)程中受重力、空氣阻力影響，如果振弦線徑太大，則振弦振動(dòng)產(chǎn)生的駐波波節(jié)相對(duì)較短，使得振弦弦振動(dòng)時(shí)間較短，電磁驅(qū)動(dòng)周期增大，且振幅也會(huì)減小，不易驅(qū)動(dòng)；目前國(guó)內(nèi)外的振弦傳感器選用的振弦直徑均在50 μm左右；其次由振弦式陀螺頻率檢測(cè)數(shù)學(xué)模型可知，振弦振動(dòng)頻率與振弦長(zhǎng)度成反比，對(duì)于受相同科氏力的振弦而言，長(zhǎng)度越長(zhǎng)，振弦振動(dòng)頻率越小，傳感器靈敏度下降，且會(huì)帶來(lái)振弦式陀螺結(jié)構(gòu)尺寸的變大；基于振弦式陀螺結(jié)構(gòu)尺寸以及市場(chǎng)上能滿(mǎn)足的要求，選擇線徑為30 μm，長(zhǎng)度為30 mm，振弦式陀螺頻率檢測(cè)初步結(jié)構(gòu)模型如圖5所示。

圖5 頻率檢測(cè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)示意圖

3 振弦式陀螺結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化

對(duì)振弦式陀螺諧振頻率分析時(shí)可以利用瑞利能量法得到振弦式陀螺機(jī)械結(jié)構(gòu)各階振動(dòng)模態(tài)的諧振頻率的表達(dá)式[14]：

(6)

式中：kτ為板簧片連接方向τ的剛度系數(shù)；mτ為線圈驅(qū)動(dòng)框架等效質(zhì)量。

振弦式陀螺機(jī)械結(jié)構(gòu)各階振動(dòng)模態(tài)與kτ和mτ有關(guān)，而kτ、mτ也僅與結(jié)構(gòu)材料和尺寸有關(guān)，因此可知，振弦式陀螺各階模態(tài)的諧振頻率主要取決于振弦式陀螺板簧片在各方向的剛度系數(shù)和被板簧片所帶動(dòng)部分的等效質(zhì)量，這兩項(xiàng)參數(shù)都由振弦式陀螺的結(jié)構(gòu)材料和尺寸決定。因此，當(dāng)材料一定時(shí)，可以通過(guò)改變振弦式陀螺的結(jié)構(gòu)尺寸達(dá)到模態(tài)匹配的效果。

3.1 板簧片結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)模態(tài)的影響

采用單一變量分析原則，應(yīng)用ANSYS有限元軟件分析板簧片結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)振弦式陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)諧振頻率的影響；在對(duì)板簧片長(zhǎng)度仿真分析時(shí)，仿真條件為：驅(qū)動(dòng)框架采用樹(shù)脂材料，板簧片采用銅鋁合金材料，線圈驅(qū)動(dòng)框架采用等效質(zhì)量，激振力為1 N，兩板簧片連接端面全約束進(jìn)行仿真。

3.1.1 板簧片長(zhǎng)度的影響

選擇板簧片寬度為3 mm，厚度為0.1 mm，考慮振弦式陀螺的設(shè)計(jì)尺寸，取板簧片長(zhǎng)度為3～9 mm，步長(zhǎng)為1 mm。圖6為板簧片長(zhǎng)度與模態(tài)頻率的關(guān)系。振弦式陀螺的各階模態(tài)頻率隨著板簧片的長(zhǎng)度增長(zhǎng)而不斷減小。在板簧片長(zhǎng)度增大至8 mm時(shí)，前三階模態(tài)頻率趨于穩(wěn)定，基于振弦式陀螺抗振考慮，1階模態(tài)頻率須在1 kHz左右，3階模態(tài)頻率須在2 kHz以上，但也不能過(guò)高，不然會(huì)使高頻驅(qū)動(dòng)電路設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜；綜合考慮振弦式陀螺尺寸，選擇板簧片有效長(zhǎng)度4 mm為宜；這樣有利于減小振弦式陀螺整體結(jié)構(gòu)尺寸。

圖6 板簧片長(zhǎng)度對(duì)驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率的影響

3.1.2 板簧片厚度的影響

選擇板簧片寬度為3 mm，有效長(zhǎng)度為4 mm，考慮振弦式陀螺的設(shè)計(jì)尺寸與電磁驅(qū)動(dòng)最大驅(qū)動(dòng)力，取板簧片厚度為0.1～0.5 mm，步長(zhǎng)為0.1 mm進(jìn)行仿真。圖7為板簧片厚度與模態(tài)頻率的關(guān)系。隨著板簧片厚度增加，驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率也逐漸增加，這是由于板簧片厚度的增加使得板簧片剛度系數(shù)增加，前四階模態(tài)頻率增加較快?？紤]不讓驅(qū)動(dòng)力過(guò)大和振弦式陀螺抗振等問(wèn)題，選擇1階模態(tài)頻率大于1 kHz，4階模態(tài)頻率低于5 kHz，選擇板簧片厚度應(yīng)在0.2～0.3 mm。

圖7 板簧片厚度對(duì)驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率的影響

3.1.3 板簧片寬度的影響

選擇板簧片有效長(zhǎng)度為4 mm，厚度為0.2 mm，考慮振弦式陀螺的設(shè)計(jì)尺寸與板簧片縱向抵抗重力剛度，取板簧片寬度為2～3 mm，步長(zhǎng)為0.2 mm進(jìn)行仿真。如圖8所示，從板簧片寬度與模態(tài)頻率的關(guān)系可知，隨著寬度的增加，各階模態(tài)頻率有微幅度增加，在寬度為2.8 mm左右，2、3、4階模態(tài)頻率有降低趨勢(shì)；考慮振弦式陀螺抗振性以及抵抗線圈框架重力因素的剛度問(wèn)題，選擇板簧片寬度應(yīng)在3 mm為宜；這樣有利于在電磁驅(qū)動(dòng)時(shí)受力，且縱向剛度可以很好地抵抗線圈框架的重力，很好地抵抗外界頻率的干擾。

圖8 板簧片寬度對(duì)驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率的影響

3.2 敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)檢測(cè)模態(tài)的影響

振弦式陀螺敏感科氏力最重要的一部分就是敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)，合理設(shè)計(jì)敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于提高結(jié)構(gòu)靈敏度以及提高振弦式陀螺振動(dòng)頻率具有重要意義。圖9為振弦式陀螺敏感質(zhì)量塊與限位器示意圖。

圖9 敏感質(zhì)量塊與限位器示意圖

3.2.1 敏感質(zhì)量塊直徑對(duì)檢測(cè)模態(tài)的影響

考慮質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)以及加工裝配問(wèn)題，限位器采用樹(shù)脂材料，質(zhì)量塊采用圓柱紫銅材料。選擇長(zhǎng)度為4 mm，考慮敏感質(zhì)量塊的設(shè)計(jì)尺寸，取質(zhì)量塊直徑為0.6～3 mm，步長(zhǎng)為1 mm，進(jìn)行仿真分析。如圖10所示，振弦式陀螺的各階模態(tài)頻率隨著敏感質(zhì)量塊直徑增大而不斷減小，當(dāng)質(zhì)量塊直徑增加到2 mm以上時(shí)，振弦式陀螺檢測(cè)1階模態(tài)非常低，非常容易受外界的干擾，考慮1階模態(tài)頻率大于1 kHz、檢測(cè)模態(tài)與驅(qū)動(dòng)模態(tài)相匹配、敏感質(zhì)量塊重力對(duì)振弦頻率的影響問(wèn)題，選擇敏感質(zhì)量塊直徑為1 mm左右為宜。

圖10 敏感質(zhì)量塊直徑對(duì)模態(tài)頻率的影響

3.2.2 敏感質(zhì)量塊長(zhǎng)度對(duì)檢測(cè)模態(tài)的影響

在進(jìn)行敏感質(zhì)量塊長(zhǎng)度仿真分析時(shí)，選擇振弦長(zhǎng)度為30 mm，質(zhì)量塊直徑為0.8 mm，取長(zhǎng)度為2～6 mm，步長(zhǎng)為1 mm；如圖11所示，振弦式陀螺的1、2階模態(tài)頻率線幾乎重合，且振弦式陀螺的各階模態(tài)頻率隨著敏感質(zhì)量塊長(zhǎng)度增大而不斷減小，前三階模態(tài)減小的幅度較??；長(zhǎng)度增大到3 mm時(shí)，高階模態(tài)下降的幅度較大。質(zhì)量塊長(zhǎng)度增加到6 mm時(shí)，振弦式陀螺檢測(cè)1階模態(tài)非常低，非常容易受外界的干擾，考慮1階模態(tài)頻率大于1 kHz、檢測(cè)模態(tài)與驅(qū)動(dòng)模態(tài)相匹配、敏感質(zhì)量塊重力對(duì)振弦頻率的影響問(wèn)題，選擇敏感質(zhì)量塊長(zhǎng)度為4 mm。

圖11 敏感質(zhì)量塊長(zhǎng)度對(duì)模態(tài)頻率的影響

4 振弦式陀螺振動(dòng)響應(yīng)仿真分析

4.1 振弦振動(dòng)有限元靜態(tài)分析

在ANSYS Workbench軟件中選擇不銹鋼材料，定義振弦模型材料屬性，314不銹鋼材料屬性如表1所示。

表1 314不銹鋼材料屬性

根據(jù)前面章節(jié)確定的振弦尺寸：選擇線徑為30 μm，長(zhǎng)度為30 mm。用Solidworks三維軟件建立振弦模型，并保存IGS格式文件，導(dǎo)入到ANSYS Workbench 軟件Static Structural模塊中；首先定義材料參數(shù)，采用四面體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，設(shè)置單元長(zhǎng)度為0.1 mm，采用全約束振弦的一端，另一端采用Y、Z方向約束，在X方向施加1 N的預(yù)應(yīng)力，最后進(jìn)行靜態(tài)求解。振弦預(yù)應(yīng)力加載整體節(jié)點(diǎn)變形量圖如圖12所示。

圖12 振弦預(yù)應(yīng)力加載整體節(jié)點(diǎn)變形量圖

在振弦繃緊的狀態(tài)下，振弦在X、Y、Z方向上的最大變形量與最小變形量如表2所示。

表2 振弦在不同方向上的變形量 mm

從有限元靜態(tài)分析與有限元分析可以看出頻率檢測(cè)振弦部分振動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生小變形狀態(tài)，但是變形量相對(duì)較小，對(duì)驅(qū)動(dòng)沒(méi)有帶來(lái)影響。

4.2 振弦振動(dòng)有限元模態(tài)分析

模態(tài)分析技術(shù)常用于結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)特性的研究，因此為了研究頻率檢測(cè)結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，利用ANSYS Workbench有限元分析軟件中的模態(tài)分析Pre-Modal模塊對(duì)頻率檢測(cè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模態(tài)分析。將上一步完成的預(yù)應(yīng)力靜態(tài)分析結(jié)果加載到模態(tài)分析過(guò)程中，加載模態(tài)為前六階，然后開(kāi)啟模態(tài)求解器分析有預(yù)應(yīng)力作用下頻率檢測(cè)振弦的6階模態(tài)值，圖13為頻率檢測(cè)振弦的1、2模態(tài)。

圖13 頻率檢測(cè)振弦的1、2階模態(tài)

在做Pre-Modal有限元模態(tài)分析的同時(shí)也可以得出每階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率大小，結(jié)果如表3所示。

表3 振弦6階模態(tài)頻率值 Hz

4.3 振弦陀螺整體結(jié)構(gòu)有限元仿真分析

結(jié)合振弦式陀螺初步設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)尺寸分析結(jié)果，優(yōu)化設(shè)計(jì)振弦式陀螺結(jié)構(gòu)，設(shè)定振弦式陀螺振動(dòng)板簧片結(jié)構(gòu)參數(shù)：4 mm ×0.2 mm ×2.8 mm，敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)：直徑為0.8 mm、長(zhǎng)度為4 mm，線圈框架的尺寸參數(shù)：寬度為15 mm、長(zhǎng)度為30 mm、厚度為3 mm；為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的振弦式陀螺結(jié)構(gòu)的可行性，通過(guò)SolidWorks三維軟件建立陀螺模型，采用ANSYS有限元仿真方法對(duì)振弦式陀螺的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，圖14為仿真網(wǎng)格劃分與1階模態(tài)圖。

圖14 振弦式陀螺仿真圖

在進(jìn)行優(yōu)化后的振弦式陀螺驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)，施加驅(qū)動(dòng)力為1～10 N,步長(zhǎng)為1 N；如圖15所示，振弦式陀螺驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)隨著驅(qū)動(dòng)力的增大而增大，且驅(qū)動(dòng)力與位移量之間具有很好的線性關(guān)系；從模態(tài)分析中得到驅(qū)動(dòng)頻率達(dá)到1 922.6 Hz；從而可以很好地減小電磁驅(qū)動(dòng)難度，提高陀螺框架控制精度，且驅(qū)動(dòng)過(guò)程中驅(qū)動(dòng)基頻很好地抵抗外界干擾，具有很好的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)。

圖15 驅(qū)動(dòng)力大小對(duì)驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)位移量的影響

5 結(jié)束語(yǔ)

采用電磁驅(qū)動(dòng)與頻率檢測(cè)的工作原理建立了振弦式陀螺頻率檢測(cè)數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用ANSYS軟件分析了振弦線徑與響應(yīng)頻率的關(guān)系，振弦線徑增大時(shí)，各階響應(yīng)頻率也隨之增大，使得振弦基頻以及高階頻率也隨之增大；從初步的振弦式陀螺檢測(cè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，得出振弦式陀螺頻率檢測(cè)系統(tǒng)主要受板簧片尺寸、振弦尺寸、敏感質(zhì)量塊尺寸等因素的影響。通過(guò)分析頻率檢測(cè)系統(tǒng)中板簧片結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)驅(qū)動(dòng)模態(tài)的影響，優(yōu)化了振弦式陀螺整體結(jié)構(gòu)，建立了振動(dòng)響應(yīng)仿真；結(jié)果表明頻率檢測(cè)模型頻率滿(mǎn)足驅(qū)動(dòng)與檢測(cè)設(shè)計(jì)要求。