楊麗虹 李捷生

[摘? 要] 通過分析人教A版必修2教材中“平面與平面垂直的判定”的教學(xué)設(shè)計案例，以落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，借助于深度學(xué)習(xí)“U型教學(xué)模式”，經(jīng)過“下沉—潛行—上浮”的教學(xué)過程，建立起經(jīng)驗與知識的聯(lián)系，由表層的理解深入到知識的核心，讓書本知識內(nèi)化為學(xué)生的個人知識.

[關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);U型教學(xué)模式;面面垂直判定定理;核心素養(yǎng)

為適應(yīng)新課程的改革和實(shí)施，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，許多教師都在探索新的教學(xué)方式. 而深度學(xué)習(xí)便是典型的培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)方式[1]，因此筆者嘗試運(yùn)用深度學(xué)習(xí)“U型教學(xué)模式”對人教A版必修2“2.3.2 平面與平面垂直的判定”中的“平面與平面垂直的判定定理”進(jìn)行教學(xué)案例創(chuàng)新，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

[?]U型教學(xué)模式

深度學(xué)習(xí)的研究源于國外[2]，并應(yīng)用于人工智能[1]，當(dāng)人們以教育的角度研究深度學(xué)習(xí)時，發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)能夠有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)并且對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)起著重要作用. 在深度學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要有效地建立起新舊知識的聯(lián)系，將書本知識內(nèi)化為學(xué)生的個人知識，從而能夠解決相關(guān)問題.

郭元祥在《“U型學(xué)習(xí)”與學(xué)習(xí)投入——談?wù)n程改革的深化》一文中提出了“U型學(xué)習(xí)”概念[3]，這是他對美國著名教育家杜威的“經(jīng)驗主義過程理論”的概括. “U型教學(xué)模式”指的是教師通過教學(xué)內(nèi)容的整合和還原，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識的下沉，并運(yùn)用各種教學(xué)手段幫助學(xué)生對知識進(jìn)行“自我加工”，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行反思，以實(shí)現(xiàn)知識的升華和上浮，達(dá)到對知識深度理解的一種教學(xué)模式.

在“U型教學(xué)模式”的“下沉—潛行—上浮”的教學(xué)過程中，教師主要起引導(dǎo)作用，推動教學(xué)進(jìn)程. 在這一過程中，存在著兩層聯(lián)系：一是學(xué)生把表層的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為知識;二是教師教授的書本知識經(jīng)過學(xué)生的加工內(nèi)化為學(xué)生的個人知識.

“U型教學(xué)模式”能夠用于解釋多維度的教與學(xué)的過程，更注重學(xué)生經(jīng)歷完整的“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題”的數(shù)學(xué)研究過程以及“輸入—轉(zhuǎn)化—輸出”的學(xué)習(xí)體驗過程，是非常實(shí)用的一個教學(xué)模式，同時順應(yīng)了教育改革的方向，所以在數(shù)學(xué)課堂中如何應(yīng)用“U型教學(xué)模式”進(jìn)行授課非常值得深究.

[?]教學(xué)案例分析

在人教A版必修2“2.3.2 平面與平面垂直的判定”一節(jié)中，教材先提出了“二面角”概念，接著列出“面面垂直”的定義，最后列出“面面垂直的判定定理”的內(nèi)容. 新課程注重學(xué)生知識結(jié)構(gòu)體系的完整性，因此包括這一節(jié)在內(nèi)的立體幾何的內(nèi)容會更加注重定義、定理的產(chǎn)生與聯(lián)系. 關(guān)于“平面與平面垂直的判定定理”這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計一般應(yīng)用兩種教學(xué)模式，分別為“一型教學(xué)模式”與“L型教學(xué)模式”[3].

在“平面與平面垂直的判定定理”這一內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計中，文章[4][5]采用的是“一型教學(xué)模式”，先是給出了以下兩個例子：

例1：建筑工人利用鉛垂線筑墻;

例2：教師展示開門、關(guān)門，在這個過程中門與地面的位置關(guān)系.

教師借助于以上生活實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納定理.

有的文章[6][7][8][9]采用的則是“L型教學(xué)模式”，先是給出了以下例題：

例3：在正方體ABCD-A1B1C1D1中（如圖2所示）：

（1）求二面角D1-AB-D的大小;

（2）證明面A1B1BA⊥面ABCD.

教師引用例題（例3），回顧二面角的相關(guān)知識，借由問題（2）讓學(xué)生判斷出使用定義法證明面面垂直不夠簡便，引導(dǎo)學(xué)生探究更加簡潔的解題方法;再引入上文的例1和例2，得到面面垂直的判定定理.

“平面與平面垂直的判定”一節(jié)蘊(yùn)藏著“由點(diǎn)到線到面”這一“簡單到復(fù)雜”的過程，即“線線垂直—線面垂直—面面垂直”這一循序漸進(jìn)的過程，實(shí)際上這就是前后內(nèi)容之間的遷移與拓展. 而“U型教學(xué)模式”便能很好地幫助學(xué)生建立新舊知識的有效聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)較完整的學(xué)習(xí)遷移. “U型教學(xué)模式”的“下沉—潛行—上浮”的教學(xué)過程實(shí)為“發(fā)現(xiàn)、提出問題—分析問題—解決問題”的教學(xué)過程. 它在教學(xué)過程中給學(xué)生提供了實(shí)踐的機(jī)會，讓學(xué)生參與課堂，建立起經(jīng)驗與知識的聯(lián)系，由表層的理解深入到知識的核心，讓書本知識內(nèi)化為學(xué)生的個人知識，使學(xué)生能夠逐漸建立起完整的知識體系，在學(xué)生掌握了“四基四能”的同時培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，并且讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

[?]基于“U型教學(xué)模式”的“平面與平面垂直的判定定理”的教學(xué)過程

1. 下沉階段

問題1：同學(xué)們，我們上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了二面角的內(nèi)容，那請大家觀察一下我們課室的墻面與地面所形成的二面角，根據(jù)二面角的大小指出墻面與地面的位置關(guān)系.

問題2：在工程建設(shè)中，為什么建筑工人用一端系有鉛錘的線來筑墻呢？

問題3：為什么他們能夠通過鉛垂線檢查墻面與地面是否垂直？

總體設(shè)計意圖：回顧舊知識，創(chuàng)設(shè)情境，建立經(jīng)驗與知識的聯(lián)系，引出探討的主題，旨在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力以及數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

2. 潛行階段

問題4：請同學(xué)們拿出我們的數(shù)學(xué)書本，將其豎立放在桌面上，請觀察書本所在的平面與桌面所在的平面的位置關(guān)系.

問題5：現(xiàn)在請同學(xué)們將書本繞著書脊旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，請觀察書本所在的平面與桌面所在的平面的位置關(guān)系.

問題6：請同學(xué)們就“線與面的位置關(guān)系”及“面與面的位置關(guān)系”中“哪些位置關(guān)系是不變的”重新觀察上述的兩個過程（問題4和問題5的過程），并進(jìn)行小組討論，5分鐘后小組的代表發(fā)言.

問題7：我們在旋轉(zhuǎn)書本的過程中，有哪些平面是一直在變化的？這些變化對問題6的結(jié)果會產(chǎn)生影響嗎？

設(shè)計意圖：問題4是對靜態(tài)模型的觀察，問題5是對動態(tài)模型的觀察.學(xué)生先通過親手操作、觀察感知，再高度參與討論，主動性得到了充分發(fā)揮.對于問題7，大部分學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)的過程中，書本所在的平面一直在變化，并且不會改變問題6中所得出的兩個“不變關(guān)系”. 這時教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不管書本所在的平面如何改變，只需滿足兩個條件——“書脊所在的直線垂直于桌面所在的平面”和“書脊所在的直線都在書本所在的平面上”——即可得到“書本所在的平面與書桌所在的平面垂直”的結(jié)論.

總體設(shè)計意圖：學(xué)生通過動手操作、交流探究，將經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為知識，總結(jié)歸納后得出“平面與平面垂直的判定定理”. 該環(huán)節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與邏輯推理等核心素養(yǎng).

3. 上浮階段

問題8：請同學(xué)們根據(jù)我們對問題7的分析，大膽猜測：要使得書本所在的平面垂直于書桌所在的平面，需要滿足怎樣的條件？

問題9：現(xiàn)在同學(xué)們知道建筑工人利用鉛垂線檢查墻面與地面是否垂直的理論依據(jù)了嗎？

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生討論、分析問題和整合歸納后得出結(jié)論，使學(xué)生將表層經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為知識. 教師還需引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合立體幾何的探究經(jīng)驗，將特殊情況一般化，得到面面垂直的判定定理. 問題9回歸創(chuàng)設(shè)情境中所發(fā)現(xiàn)的問題，構(gòu)成完整的“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題”的過程.

問題10：我們身邊還有哪些生活例子可以使用面面垂直的判定定理進(jìn)行解釋呢？

問題11：請同學(xué)們利用面面垂直的判定定理完成以下兩題.

題1：如圖7所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，證明：面A1B1BA⊥面ABCD.

題2：如圖8所示，在△BCD中，∠C=90°，且AB⊥平面BCD，證明：面ABC⊥面ACD.

設(shè)計意圖：問題10旨在讓學(xué)生能夠體會從特殊到一般再到特殊的知識認(rèn)知過程，且體會到數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活. 問題11的題目難度由小到大，用以檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果. 教師需要詳細(xì)板書題2的證明過程，通過題2講解，讓學(xué)生體會到使用面面垂直的判定定理的過程實(shí)為“面面垂直 [轉(zhuǎn)化]線面垂直 [轉(zhuǎn)化]線線垂直”的過程，體會到空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生形成“降維”的轉(zhuǎn)化與化歸思想. 同時引導(dǎo)學(xué)生建立起新知識與舊知識的聯(lián)系，完善立體幾何的知識體系.

問題12：大家通過今天的課程，有什么收獲呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)并用自己的語言表達(dá)所學(xué)內(nèi)容，教師提煉、補(bǔ)充、深化以輔助學(xué)生更好地將書本知識內(nèi)化為個人知識，最后教師需要布置相應(yīng)的課后作業(yè)，鞏固學(xué)生對定理的認(rèn)知.

總體設(shè)計意圖：學(xué)生內(nèi)化并表達(dá)定理內(nèi)容，運(yùn)用定理解決問題，學(xué)生將書本知識內(nèi)化為個人知識. 同時教師利用題目引導(dǎo)學(xué)生掌握“降維”的轉(zhuǎn)化與化歸思想，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想方法. 上浮階段主要是引導(dǎo)學(xué)生解決問題并在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

[?]思考與總結(jié)

1. “U型教學(xué)模式”有助于學(xué)生建立完整的知識體系，有利于學(xué)生對知識的內(nèi)化，體會相關(guān)的思想方法

以“平面與平面垂直的判定”為案例，采用“一型教學(xué)模式”能夠幫助學(xué)生快速找到經(jīng)驗與知識之間的聯(lián)系，達(dá)到學(xué)生對知識的直接認(rèn)同與確認(rèn)的目的，實(shí)現(xiàn)知識的直接傳授，可以在某種程度上有利于課程的安排. 采用“L型教學(xué)模式”則讓學(xué)生快速掌握知識的同時能夠使學(xué)生加深對知識背景的了解，知道知識的來源與本質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.而本課例采用的是“U型教學(xué)模式”，按照“下沉—潛行—上浮”的過程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，使得學(xué)生完整地經(jīng)歷“從輸入到轉(zhuǎn)化到輸出”的學(xué)習(xí)體驗過程，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.在此模式下，學(xué)生能夠?qū)⒈韺拥慕?jīng)驗轉(zhuǎn)化為知識，有效地將書本知識內(nèi)化為個人知識，使得學(xué)生能夠掌握相應(yīng)的知識與技能，并且通過實(shí)踐積累研究問題的經(jīng)驗. 在本案例中，學(xué)生能夠體會到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想，達(dá)到教育的真正目的——利用知識載體，傳達(dá)數(shù)學(xué)思想.

2. “U型教學(xué)模式”是落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的有效途徑

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于深度學(xué)習(xí)理念的“U型教學(xué)模式”作為教學(xué)探索的方向之一具備獨(dú)到的優(yōu)點(diǎn)和特色. 它能夠有效地促進(jìn)學(xué)生深入思維，讓數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)更加合理，所形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)固. 本案例，教師通過“U型教學(xué)模式”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與學(xué)習(xí)，有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及直觀想象等核心素養(yǎng).

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