張昆 張乃達(dá)

[摘? 要] 數(shù)學(xué)解題解題活動具有重要的教學(xué)價(jià)值. 數(shù)學(xué)思維監(jiān)控對于探究數(shù)學(xué)解題思路、選擇解題路徑、降低數(shù)學(xué)解題環(huán)節(jié)中的計(jì)算量具有定向、控制與調(diào)節(jié)作用，是通過數(shù)學(xué)解題思維活動過程必須培養(yǎng)的一項(xiàng)重要的教學(xué)目標(biāo). 文章以一道高考題的探究解題思路的實(shí)例說明之.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題;思維監(jiān)控;教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)價(jià)值在于：其一，培養(yǎng)學(xué)生的基本能力，提高學(xué)生獨(dú)立地分析問題、解決問題能力以及創(chuàng)造能力;其二，加深與鞏固所學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識，啟發(fā)學(xué)生積極思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣;其三，幫助學(xué)生在真實(shí)的數(shù)學(xué)問題解決中形成具體的解決問題的方法;其四，萌生數(shù)學(xué)問題解決的思維品質(zhì)，如深刻性、批判性、靈活性、敏捷性等思維品質(zhì);其五，促使學(xué)生體驗(yàn)自己的思維方式，感受思維環(huán)節(jié)中的某些要素的作用，如數(shù)學(xué)思維監(jiān)控系統(tǒng)的體驗(yàn)與感悟;其六，訓(xùn)練依靠直覺思維獲得解題思路并轉(zhuǎn)化為說服他人的邏輯表達(dá)的能力. 本文舉例說明思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)解題中的作用.

[?]從一個數(shù)學(xué)解題教學(xué)的例子說起

為了理清數(shù)學(xué)思維的監(jiān)控結(jié)構(gòu)的概念，為實(shí)際數(shù)學(xué)解題課堂教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思維監(jiān)控找到現(xiàn)實(shí)的依據(jù)，我們選擇一個典型的解題活動的例子，并從這個例子中的探究解題思路的心理活動說起.

例1 （1983年全國高考數(shù)學(xué)卷·理·題四）計(jì)算行列式（要求結(jié)果最簡）：

sinα? cos（α+φ）? cosα

cosβ? sin（β-φ）? sinβ

sinφ? cos2φ? ? ?cosφ

關(guān)于這道題解題思路的探析，利用《數(shù)學(xué)教學(xué)論》講授“數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)”的處理策略的機(jī)會，在高師師范三年級數(shù)學(xué)師范生課堂上，筆者首先呈示了這道高考題，并且要求學(xué)生盡可能快速地分析獲得解決這道題的思路. 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，一部分學(xué)生不假思索地利用三階行列式的展開途徑，解決了問題;一部分學(xué)生雖然也采用了行列式展開的方式，但在課堂上有限時間里，沒有得到解決問題所要求的最終結(jié)論;還有一部分學(xué)生運(yùn)用了行列式的相關(guān)性質(zhì)，而沒有進(jìn)行行列式展開，比較簡捷地解決了問題;另外一部分學(xué)生雖然準(zhǔn)備使用行列式性質(zhì)，在有限時間內(nèi)卻沒有得到問題的最終結(jié)果. 現(xiàn)通過采訪使用行列式性質(zhì)解決問題途徑的學(xué)生，將利用行列式性質(zhì)探究解題思路的想法敘述如下：

首先，這部分學(xué)生認(rèn)識到，這是一個三階行列式，可以將行列式展開，使其形成一般性的數(shù)式變形運(yùn)算，部分學(xué)生直接據(jù)此想法展開了行列式，部分學(xué)生沒有展開（因?yàn)?，他們產(chǎn)生了更深層次的思維分析）.

其次，展開行列式與未展開行列式的學(xué)生，都遇到了同樣的問題，由于展開行列式產(chǎn)生了六項(xiàng)求和運(yùn)算的形式，再加上這個和式的每一項(xiàng)的因式中具有兩角和、差或二倍角的三角展開式，如此，又在前述和式的各項(xiàng)中生成的兩相和的因式，從而又分成了十二項(xiàng)的求和運(yùn)算，每一項(xiàng)中具有三個因子，如此，通過分組分解因式的變形活動將會非常煩瑣（當(dāng)然，因?yàn)楣P者敘述所花費(fèi)的時間比較多，所以學(xué)生的思考沒花多長時間便可以完成這種結(jié)論. 為了行文方便，記這種解題活動為“展開式方法”），雖然可以解題，但解決問題的技術(shù)途徑比較繁雜，將會花費(fèi)不少時間（那些沒有展開行列式的學(xué)生就是使用思維分析的途徑，這便是思維監(jiān)控的內(nèi)涵所在）.

再次，由此想到可否拋開“展開式方法”解決問題.

最后，過渡到了審視這個行列式中的元素之間的關(guān)系，考慮能否利用其整體結(jié)構(gòu)性，進(jìn)而考慮可否使用行列式的相關(guān)性質(zhì)獲得解決問題的思路，最終決定使用行列式性質(zhì)使相關(guān)的信息生成解構(gòu)的途徑，來尋找解決問題的思路，這是一個非常好的想法. 于是，筆者決定采用這種探究思路的方法（為了行文方便，這種方法簡稱為“結(jié)構(gòu)性方法”）.

在“結(jié)構(gòu)性方法”的數(shù)學(xué)觀念指引下，這部分學(xué)生意識到首先使用行列式中的一行（如第三行中）的三個元素，試圖尋獲這三個元素之間可能存在的某種關(guān)系，有學(xué)生說，他是先將cos2φ展開成cos2φ-sin2φ，結(jié)果發(fā)現(xiàn)將第三列乘以cosφ，第一列乘以sinφ的相反數(shù)，將數(shù)乘變換后的第三列加到第一列上去，就使得第三行第一列上的那個元素成為cos2φ，與第三行第二列上的那個元素相同了，檢視第一、第二行中的元素之間經(jīng)由數(shù)乘以后的關(guān)系，也得到了與第三行相似的結(jié)果，意味著問題已經(jīng)得到了解決. 現(xiàn)將這部分學(xué)生關(guān)于例1的這種“結(jié)構(gòu)性方法”解答過程實(shí)錄如下：

sinα? cos（α+φ）? cosα

cosβ? sin（β-φ）? sinβ

sinφ? ?cos2φ? ? ? cosφ（等式的性質(zhì)，行列式的性質(zhì)）=-·-sinαsinφ? cos（α+φ）? cosαcosφ

-cosβsinφ? sin（β-φ）? sinβcosφ

-sinφsinφ? cos2φ? ? ?cosφcosφ（利用“第三列加到第一列上去，行列式值不變”的性質(zhì)）=-·cosαcosφ-sinαsinφ? cos（α+φ）? cosαcosφ

sinβcosφ-cosβsinφ? sin（β-φ）? ?sinβcosφ

cosφcosφ-sinφsinφ? ?cos2φ? ? ? cosφcosφ（利用相關(guān)的三角恒等式公式）= -cos（α+φ） cos（α+φ） cosαcosφ

sin（β-φ）? sin（β-φ）? sinβcosφ

cos2φ? ? cos2φ? ? cosφcosφ

（兩列相等的行列式的值為零）=0.

這是關(guān)于三階行列式的運(yùn)算或者變形的問題，關(guān)于運(yùn)算或變形能力，十三院校協(xié)編組編制的《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》在論述關(guān)于“運(yùn)算能力”的教學(xué)目標(biāo)時指出，“我們加上了‘正確、迅速與合理的要求. 其實(shí)，只有在運(yùn)算中具有了‘合理的要求，即只有運(yùn)算步驟、運(yùn)算過程完全合理，才能實(shí)現(xiàn)‘正確、迅速的這種要求，反之，要實(shí)現(xiàn)‘正確、迅速的要求，運(yùn)算也必須要‘合理.”[1]要實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的“合理”性，就需要特別強(qiáng)調(diào)不能進(jìn)行盲目運(yùn)算，盲目性的操作往往使得解題活動過程事倍功半，因此，要發(fā)揮思維對于運(yùn)算步驟、運(yùn)算過程的指導(dǎo)作用. 那么，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動中，如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維對于數(shù)學(xué)運(yùn)算的指導(dǎo)作用呢？為此，我們引入“思維的監(jiān)控結(jié)構(gòu)”這個概念加以說明.

[?]數(shù)學(xué)思維的監(jiān)控結(jié)構(gòu)

通過數(shù)學(xué)問題解決的思維心理學(xué)的研究認(rèn)識到，在主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存有一個所謂的“思維的監(jiān)控結(jié)構(gòu)”. 思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)內(nèi)涵的實(shí)質(zhì)就是，在面臨具體問題時，思維者對于自己的思維及其指導(dǎo)下的操作活動行為的可行性或優(yōu)劣層級能夠自我意識、自我提醒、自我評價(jià)與自我把握，或者就是對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的發(fā)動思維活動某些方向做出認(rèn)識、評估，進(jìn)而進(jìn)行達(dá)到結(jié)論的可能性的價(jià)值判斷，最終做出選擇或者放棄趨近這個方向的思維路徑，簡單地說，這就是主體對于自己的認(rèn)知活動自身的認(rèn)識. 關(guān)于思維的監(jiān)控結(jié)構(gòu)，使用一種形象的說法，就是在思維的指導(dǎo)下采取行動時，主體的意識結(jié)構(gòu)中似乎有兩個人，其中一個人在行動，另一個人在評價(jià)那個行動的人所發(fā)出的行為是否正確、可靠，從而提醒那個行動的人是否選擇或放棄正在執(zhí)行的行動過程.

那么，在數(shù)學(xué)解題活動中，當(dāng)主體面對有些相當(dāng)難度的問題時，思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)可以發(fā)揮怎樣的作用呢？長年的解題活動與解題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，使我們認(rèn)識到，思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)解題思維的過程中具有定向、控制與調(diào)節(jié)等方面的作用.

其一，定向. 思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)的定向作用主要體現(xiàn)在主體對于自己的思維方向的選擇上. 它表現(xiàn)在對于面臨的外在提供的客觀數(shù)學(xué)化信息的某些要素所組成的輪廓的價(jià)值、難度、性質(zhì)，趨近于最終的解題結(jié)果的可能性，思維運(yùn)動向度的恰當(dāng)與否做出估計(jì)、評價(jià)與判斷，從而在啟動行為時做出方向上的選擇.

思維的定向表現(xiàn)在對于思維的課題是否合于某種價(jià)值的判斷;還表現(xiàn)于在思維探索方向的選取上，評價(jià)這個方向?qū)τ趩栴}的解決是否有前途，或者估計(jì)這個方向所遇到的困難，所花費(fèi)的時間等都有所預(yù)計(jì). 因此，思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)中的定向，在啟動思維時，于可能產(chǎn)生的眾多方向中確定某一個主攻方向，這個方向?qū)τ跊Q定后來的環(huán)節(jié)具有非常重要的作用，它決定了這個方向是否可以解決問題，在能夠解決問題的前提下，完成這個方向的具體活動是簡潔的，還是煩瑣的，因此，在數(shù)學(xué)解題活動的教學(xué)中，特別要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維定向這一環(huán)節(jié)，它直接關(guān)乎解題的成功與否，或者解題所花費(fèi)的代價(jià)的高低.

例如，在探究例1這道題的解題思路時，在思維的起始處，所有的學(xué)生都沒有繞過“展開式方法”的這一步，在形成這種思維方向以后，有的學(xué)生不加思索而盲目地按照這個方向具體地執(zhí)行下去. 由于過于復(fù)雜，結(jié)果大部分學(xué)生沒有走到最終答案就停止了行動. 此時，對于這批學(xué)生來說，如果給予他們充足的時間，其中的一部分學(xué)生可能想到選擇其他的方法（“結(jié)構(gòu)性方法”）解決問題，另一部分學(xué)生可能放棄這條思路了，這部分學(xué)生主要就是沒有充分意識到自己的思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)所發(fā)揮的定向作用;還有一些學(xué)生在使用“展開式方法”時，沒有盲目地跟進(jìn)計(jì)算操作，而是對于這條思路采用的思維手段加以估計(jì)、評價(jià)與判斷，認(rèn)為這條思路解決問題途徑漫長，可能會事倍功半. 于是，轉(zhuǎn)化為使用“結(jié)構(gòu)性方法”這種途徑的方向上，如此，認(rèn)識結(jié)構(gòu)中的思維活動就努力趨近于這個方向.

其二，控制. 思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)的控制作用主要體現(xiàn)在主體對于自己的思維方向的控制上. 數(shù)學(xué)思維的監(jiān)控結(jié)構(gòu)不僅體現(xiàn)于思維的起點(diǎn)與定向環(huán)節(jié)，而且貫穿于整個數(shù)學(xué)解題的思維活動過程之中，這是因?yàn)椋瑢τ诰哂幸欢y度的數(shù)學(xué)問題，探究思路活動的過程將會呈現(xiàn)于由多個環(huán)節(jié)所組成的探究活動，其中的每一個比較難的環(huán)節(jié)都需要啟動與定向，從而表現(xiàn)為思維活動的控制上. 它對于思維活動所組成的環(huán)節(jié)不斷地進(jìn)行自我評估、判斷，從而實(shí)現(xiàn)每一個環(huán)節(jié)對于解題結(jié)果的作用.

思維的控制表現(xiàn)在對于解題主體認(rèn)為正確的、有發(fā)展前途的那種思維方向的活動給予鼓勵;對于那些干擾信息，或者由思維結(jié)構(gòu)所估計(jì)到了的那些雖然可以解決問題但是需要巨大代價(jià)的思路做出摒棄或排除;并且對于思維活動的可能進(jìn)展做出評價(jià);對思維過程中可能出現(xiàn)的錯誤及時地識別、糾正與彌補(bǔ). 主體對于思維活動的控制，還表現(xiàn)在對選擇的思維策略所具有的清醒態(tài)度，在于正確區(qū)分猜想與事實(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)換與非等價(jià)轉(zhuǎn)換的認(rèn)識上. 總之，對思維過程的控制是思維預(yù)見性與思維實(shí)際發(fā)生過程相比較的結(jié)果，它是進(jìn)一步對思維過程做出調(diào)整的根據(jù).

例如，在探究例1的解題思路時，學(xué)生在使用“結(jié)構(gòu)性方法”解決這道題時，如果解題主體探究行列式的“三列”之間數(shù)式關(guān)系，他可能就會采用將第一列與第三列進(jìn)行相應(yīng)的處理，從而獲得處理結(jié)果與第二列的具體數(shù)式關(guān)系. 他可能選擇其中非常熟悉的一行（例如，第三行）中的某個要素作為特例來展開研究，如此，就將思維活動控制在找到解決這種設(shè)計(jì)的具體操作技術(shù)途徑上了，并且堅(jiān)定地認(rèn)識到了這種“結(jié)構(gòu)性方法”比“展開式方法”要優(yōu)越得多的結(jié)論，從而堅(jiān)定了放棄“展開式方法”而選擇“結(jié)構(gòu)性方法”的途徑.

其三，調(diào)節(jié). 思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)作用主要體現(xiàn)在主體對于自己的思維方向的調(diào)節(jié)上. 調(diào)節(jié)是思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)對于思維活動過程做出評價(jià)后采取的應(yīng)變決策，正是這種調(diào)節(jié)的作用，才使思維活動成為一種有目的、有控制的組織活動. 在長期實(shí)際解題活動中，我們發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在某一條思路上原地設(shè)圈，形成了一種封閉的循環(huán)路徑，這可能與其數(shù)學(xué)知識、解題經(jīng)驗(yàn)等有關(guān)，但更重要的是，與他不善于進(jìn)行思維的調(diào)節(jié)有關(guān);可能也與數(shù)學(xué)教師沒有細(xì)心地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)有關(guān).

例如，在探究例1的思路過程中，從“展開式方法”轉(zhuǎn)化為“結(jié)構(gòu)性方法”就是思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)之下的思維調(diào)節(jié)活動的過程，其實(shí)，這種思維調(diào)節(jié)活動展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性品質(zhì). 如果一個學(xué)生不能從“展開式方法”轉(zhuǎn)化為“結(jié)構(gòu)性方法”，那么他就會花去許多考場上寶貴的時間，還不一定能夠達(dá)到最終的這個簡化結(jié)果，這將是得不償失的. 由于創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動在解題時是一種不斷嘗試的過程，因此，必要時就需要經(jīng)常對思維過程及其成果做出調(diào)整[2].

[?]滲透思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)在課堂教學(xué)中需要注意的問題

關(guān)于通過解題活動過程向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師特別要注意的是，不能將這種“展開式方法”與“結(jié)構(gòu)性方法”直白地提供于學(xué)生，那樣就會極大地?fù)p失數(shù)學(xué)解題思維活動的教學(xué)價(jià)值，應(yīng)該由他們自己選擇，首先出示問題，進(jìn)行課堂布白，鼓勵學(xué)生自行思考探究問題的思路，這樣學(xué)生就會自行地發(fā)現(xiàn)解決問題的不同路徑或方向;然后，對于這些路徑或方向自己依據(jù)各種不同的線索，進(jìn)行比較與價(jià)值評估，從而選擇最優(yōu)化的方向或途徑，這正是通過解題教學(xué)活動過程，滲透思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)的途徑所在. 如此，才能比較好地實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思維監(jiān)控結(jié)構(gòu)的目的.

[?]簡要結(jié)語

在數(shù)學(xué)解題活動過程中，真正的解題智慧并非有一套固定不變的原則可依循，而是對應(yīng)著不同的現(xiàn)實(shí)問題的難局，有恰如其分的不同對策，這種“難局”及其產(chǎn)生的“對策”必然需要思維的監(jiān)控結(jié)構(gòu)的幫助才能實(shí)現(xiàn)[3]. 所以愚昧的人，偶爾也會出現(xiàn)深具智慧的反應(yīng);倒是聰明的人往往因?yàn)榫o守著某些原則，遂做出錯誤的判斷來. 因此，數(shù)學(xué)問題解決中的大智慧其實(shí)是“無心”的，不會被既有的原則、經(jīng)驗(yàn)和思考方式所局限. 能靈活、彈性地深入變動詭譎的難局里，洞見常人所不能見的問題核心，察知常人所不能知的長遠(yuǎn)發(fā)展，而其擬定的對策，也往往出乎常人的想象，甚至初看起來是違反常識的，唯有等到問題完全解決，才能看清這深遠(yuǎn)通透的智慧來.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 十三院校協(xié)編組. 中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法（總論）[M]. 北京：人民教育出版社，1980.

[2]? 張乃達(dá). 數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M]. 南京：江蘇教育出版社，1990.

[3]? 張昆. 數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新實(shí)踐研究——基于“美學(xué)”的視點(diǎn)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（5）.