（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610031）

1 研究背景

作為鐵路車輛中最為核心的走行部件——車輪，其系統(tǒng)的失效將會(huì)造成災(zāi)難性后果及巨大的經(jīng)濟(jì)損失。隨著列車速度的不斷提升和軸重的增加，車輪不圓順傷損問題日益嚴(yán)重，嚴(yán)重影響軌道-車輛零部件的服役壽命和車輛的乘坐舒適性，甚至威脅行車安全，已成為軌道交通領(lǐng)域備受關(guān)注和亟待解決的難點(diǎn)問題之一[1-3]。

目前，針對(duì)車輪不圓順條件下的輪軌關(guān)系研究通常采用多體動(dòng)力學(xué)方法和有限元方法[4-6]。多體動(dòng)力學(xué)方法大多基于Hertz接觸理論和穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)假設(shè)，不能很好地描述輪軌系統(tǒng)的幾何、材料和接觸非線性，無法考慮輪軌相互作用的動(dòng)態(tài)效應(yīng)，且不能直接求解輪軌系統(tǒng)的應(yīng)力/應(yīng)變狀態(tài)。有研究表明，當(dāng)研究對(duì)象無明顯結(jié)構(gòu)變形（即頻率低于第一振型）時(shí)，多體動(dòng)力學(xué)方法才是準(zhǔn)確和有效的；而在頻率高于第一振型（大于84 Hz）時(shí)，其求解精度會(huì)顯著降低[7-8]?；谶B續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限元方法不僅可以考慮到局部變形，還可以考慮到強(qiáng)非線性、應(yīng)變率效應(yīng)和應(yīng)力波傳播效應(yīng)，被認(rèn)為能夠更好地求解輪軌動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)，近年來在求解輪軌滾動(dòng)接觸行為研究中得到了越來越多的應(yīng)用[9-12]。

然而，在采用有限元方法求解車輪不圓順引起的輪軌動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題時(shí)，通常存在以下2個(gè)問題：①車輪踏面缺陷具有隨機(jī)性（包括尺寸、形狀、位置及分布的隨機(jī)性），造成幾何模型復(fù)雜，有限元建模難度很大；②車輪踏面缺陷處的網(wǎng)格精細(xì)劃分會(huì)引起有限元模型單元數(shù)量較大，造成計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)，并且缺陷處不規(guī)則網(wǎng)格的畸變極易導(dǎo)致計(jì)算不穩(wěn)定。針對(duì)上述問題，本文將車輪不圓順轉(zhuǎn)換為輪軌接觸位移不平順，引入偽隨機(jī)數(shù)，生成滿足多種隨機(jī)分布特性的輪軌接觸位移不平順激勵(lì)，并將其施加到不含缺陷的三維輪軌滾動(dòng)接觸有限元模型中，極大地簡(jiǎn)化了不圓順車輪-鋼軌間的動(dòng)態(tài)接觸行為仿真研究。

2 車輪不圓順輪軌接觸數(shù)學(xué)模型

車輪不圓順（如車輪扁疤、踏面剝離、車輪多邊形等）是引起輪軌接觸不平順的主要原因之一。本文建立不圓順車輪和鋼軌滾動(dòng)接觸數(shù)學(xué)模型，基于輪軌滾動(dòng)接觸幾何關(guān)系，通過推導(dǎo)由車輪踏面缺陷引起的輪軌接觸不平順數(shù)學(xué)表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)車輪不圓順向輪軌接觸位移不平順的轉(zhuǎn)換。

2.1 車輪扁疤

含扁疤車輪-鋼軌間滾動(dòng)接觸情況如圖1所示。在低速運(yùn)行情形下（圖1a），車輪圍繞扁疤前角轉(zhuǎn)動(dòng)至扁疤與鋼軌平行后，緊接著圍繞扁疤后角開始轉(zhuǎn)動(dòng)，直到越過整個(gè)車輪扁疤區(qū)域；在高速運(yùn)行情形下（圖1b），車輪與鋼軌在扁疤區(qū)域內(nèi)將會(huì)出現(xiàn)短暫的接觸損失（車輪脫離鋼軌），并在重力作用下以某一水平初速度做平拋運(yùn)動(dòng)，隨后扁疤后角撞擊鋼軌或直接越過扁疤繼續(xù)滾動(dòng)。

本文采用具有最小曲率半徑的車輪輪廓運(yùn)動(dòng)軌跡描述實(shí)際的輪軌接觸位移不平順[13]。對(duì)于新扁疤，低速運(yùn)行情形下的輪軌接觸位移不平順Zf（ξ）方程可表示為[13]：

而在高速運(yùn)行情形下，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)以及新扁疤車輪輪廓運(yùn)動(dòng)軌跡，其輪軌接觸位移不平順Zf（ξ）為：

式（1）～式（2）中，df，lf分別為新扁疤的深度和長(zhǎng)度，其中df=lf2/ 8r；pw為車輪自重；pa為軸重；vl為水平初速度；g為重力加速度；ξ0為平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)束后車輪與鋼軌接觸時(shí)新扁疤位置到扁疤起點(diǎn)的水平距離。

對(duì)于舊扁疤，低速運(yùn)行情形下的輪軌接觸位移不平順Zr（ξ）可表示為[13]：

而高速運(yùn)行情形下的Zr（ξ）則可表示為：

式（3）～式（4）中，ξ1，ξ3分別為舊扁疤前、后2個(gè)端點(diǎn)與中心區(qū)域的交點(diǎn)；a0為舊扁疤后端與中心區(qū)域的交點(diǎn)；a為確定過渡范圍的常量；df，lf分別為舊扁疤的深度和長(zhǎng)度，其中df=alf2/4（2ar+1）。

2.2 踏面剝離

對(duì)于含踏面剝離的車輪，由于鋼軌頂面曲率的存在使得車輪剝離區(qū)域與鋼軌的接觸狀態(tài)變得較為復(fù)雜，因此分析中常將其簡(jiǎn)化為規(guī)則的半橢球形。由于含踏面剝離車輪-鋼軌間動(dòng)態(tài)接觸過程與扁疤類似，故可采用類似的分析方法推導(dǎo)規(guī)則踏面剝離造成的輪軌接觸位移不平順。踏面剝離的輪廓線可以簡(jiǎn)化成一個(gè)圓柱體（車輪）與半橢球體（剝離）的交線，如圖2所示。此空間曲線可表示為：

式（5）中，（x，y，z）為車輪和踏面剝離在空間坐標(biāo)系中的位置；ds，ls分別為踏面剝離的深度和長(zhǎng)度。

圖1 含扁疤車輪-鋼軌間滾動(dòng)接觸情況

圖2 含踏面剝離車輪與鋼軌接觸示意圖

通過幾何關(guān)系推導(dǎo)，可得到低速運(yùn)行情形下踏面剝離引起的輪軌接觸不平順Z（y）表達(dá)式為：

而高速運(yùn)行情形下的Z（y）表達(dá)式為：

式（6）～式（7）中，R1，R2分別為車輪名義滾動(dòng)圓半徑和軌面曲率半徑；ws為踏面剝離寬度；m為輪對(duì)自重的一半；v為列車恒定速度；FS為作用在輪對(duì)上等效車體載荷的一半；θ為軌底坡角度；p為平拋運(yùn)動(dòng)階段的水平距離。

2.3 車輪多邊形

基于不圓順車輪半徑沿圓周方向的變化情況分為周期性和非周期性2種類型，其中非周期性多邊形車輪的徑向偏差可以看成不同諧波的疊加。周期性不圓順（三階）車輪-鋼軌間的滾動(dòng)接觸過程如圖3所示。

對(duì)于周期性多邊形車輪，其徑向偏差?r可表示為[14]：

式（8）中，θ為車輪轉(zhuǎn)過的角度；A，N分別為某階車輪多邊形所對(duì)應(yīng)的幅值和階數(shù)。

其中車輪多邊形波長(zhǎng)λp和階數(shù)N之間的關(guān)系可表示為：

非周期性車輪多邊形磨耗可認(rèn)為是一系列諧波的疊加，其中每個(gè)諧波具體指任意階的多邊形磨耗。因此，非周期性多邊形車輪引起的輪軌接觸位移不平順Z（θ）可表示為[15]：

式（10）中，φN為相位角，且在0～2π 之間服從多種隨機(jī)分布；AN為某階多邊形對(duì)應(yīng)的幅值；M為車輪不圓順總的階次。

3 車輪踏面缺陷隨機(jī)性表征

如上所述，車輪踏面缺陷在尺寸、形狀、位置及分布上具有隨機(jī)性，本文通過選取合適的分布函數(shù)實(shí)現(xiàn)車輪踏面缺陷的隨機(jī)化描述，進(jìn)而得到由車輪踏面缺陷引起的輪軌接觸隨機(jī)不平順位移激勵(lì)。

3.1 隨機(jī)分布函數(shù)

隨機(jī)數(shù)按生成方式整體上可分為真、偽隨機(jī)數(shù)2類[16]。其中真隨機(jī)數(shù)在生成之前無法預(yù)測(cè)，一般基于物理方法，通過一系列復(fù)雜過程產(chǎn)生；偽隨機(jī)數(shù)大多根據(jù)給定算法由數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生，從原理上是可以預(yù)測(cè)的，通過選擇合理的計(jì)算方法及參數(shù)，產(chǎn)生具有良好特性的隨機(jī)數(shù)。此外，偽隨機(jī)數(shù)還具有生成效率高、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等特性。因此，本文采用偽隨機(jī)數(shù)表征車輪踏面缺陷的尺寸、形狀、位置及分布隨機(jī)特性。

偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生算法有很多，本文從計(jì)算速度、生成周期、獨(dú)立性和均勻性等方面綜合考慮，選取性能較好的線性同余法[17]。線性同余法是借助同余運(yùn)算生成區(qū)間[0，1]內(nèi)服從均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)，其具體計(jì)算公式如下[18]：

圖3 周期性不圓順（三階）車輪-鋼軌間的滾動(dòng)接觸過程

式（11）中，{rn}為[0，1]上的隨機(jī)序列；xn，xn-1分別為此隨機(jī)序列中的第n和第n-1個(gè)隨機(jī)數(shù)；b，c和M分別為乘子、增量和模，均是系統(tǒng)給定的常量；初值x0為種子。

由于車輪踏面缺陷在形成過程中的復(fù)雜性和不確定性造成其在車輪圓周上的分布情況極具隨機(jī)性，因此輪軌接觸位移不平順激勵(lì)通?？捎枚喾N隨機(jī)分布函數(shù)描述。例如：①在理想情況下，車輪踏面圓周上出現(xiàn)缺陷的位置是隨機(jī)的，且在任意一個(gè)位置出現(xiàn)的概率相等，故可用均勻分布的隨機(jī)數(shù)描述；②當(dāng)車輪踏面缺陷的隨機(jī)性有多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)因素疊加時(shí)，可認(rèn)為每個(gè)隨機(jī)變量都滿足正態(tài)分布；③當(dāng)車輪在某個(gè)位置已經(jīng)出現(xiàn)缺陷，此后車輪每滾動(dòng)到此處都會(huì)產(chǎn)生較大的振動(dòng)沖擊，并在一定范圍內(nèi)沖擊力會(huì)隨著車輪的滾動(dòng)而不斷衰減，在此處再次產(chǎn)生缺陷的概率最大，往后依次遞減，此時(shí)可認(rèn)為近似符合指數(shù)分布。因此，可以通過對(duì)標(biāo)準(zhǔn)均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等進(jìn)行相應(yīng)變換使其滿足特定區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)分布類型，實(shí)現(xiàn)車輪踏面缺陷的隨機(jī)化描述。

3.2 輪軌接觸隨機(jī)不平順位移激勵(lì)

基于踏面缺陷引起的車輪不圓順與輪軌接觸位移不平順之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，本文采用線性同余法生成滿足各種隨機(jī)分布函數(shù)的輪軌位移不平順激勵(lì)。限于篇幅，這里僅以踏面剝離為例，給出不同隨機(jī)度λz下單個(gè)踏面剝離形貌及相應(yīng)的輪軌接觸位移不平順曲線，如圖4所示。

4 有限元仿真方法及驗(yàn)證

4.1 有限元模型

借助Hypermesh軟件建立包含軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的三維輪軌滾動(dòng)接觸有限元仿真模型，如圖5所示。車輪為S1002CN型踏面，半徑為430 mm；鋼軌為CN60型，軌底坡為1 :40。整個(gè)模型由彈簧-阻尼離散單元（扣件）和8節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元2部分組成。為減小計(jì)算量，將彈簧阻尼單元連接區(qū)域和輪軌接觸區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化（4 mm×4 mm），其余網(wǎng)格進(jìn)行適當(dāng)過渡。整個(gè)模型包含1 177 793個(gè)節(jié)點(diǎn)和1 001 343個(gè)單元（包括實(shí)體單元和離散單元）。

圖4 不同隨機(jī)度λz 下單個(gè)踏面剝離的形貌與輪軌接觸位移不平順激勵(lì)

圖5 三維輪軌滾動(dòng)接觸有限元仿真模型

車輪和鋼軌均采用*MAT_PLASTIC_KINEMATIC材料模型描述，該模型可以模擬材料的隨動(dòng)強(qiáng)化特性，且可通過Cowper-Symonds本構(gòu)關(guān)系考慮輪軌材料的應(yīng)變率效應(yīng)。車軸采用*MAT_ RIGID材料模型描述，軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)各部分采用*MAT_ELASTIC材料模型描述，彈簧和阻尼系統(tǒng)采用*MAT_SPRING_ELASTIC和*MAT_DAMPER_VISCOUS材料模型描述。仿真中輪軌系統(tǒng)各部件的力學(xué)性能參數(shù)如表1所示。

為實(shí)現(xiàn)輪對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中的穩(wěn)定與平衡，仿真中對(duì)路基底部和車軸端部所有節(jié)點(diǎn)分別實(shí)施全約束和軸向平動(dòng)約束，給輪對(duì)設(shè)置相應(yīng)的初始平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度實(shí)現(xiàn)其在鋼軌上的滾動(dòng)。根據(jù)歐洲標(biāo)準(zhǔn)，在車軸兩端分別施加P1=77.56 kN和P2=110.41 kN 2個(gè)集中力等效軸重載荷（17 t）。車輪與鋼軌、車軸之間均定義基于罰函數(shù)法的Automatic_Surface_To_Surface，軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)各部件之間定義Tied_Surface_To_Surface接觸。如上所述，為避免車輪踏面缺陷帶來的有限元直接建模諸多問題，仿真中將車輪踏面缺陷引起的輪軌接觸位移不平順激勵(lì)作為初始邊界條件，通過將關(guān)鍵字*PRESCRIBED_MOTION_SET輸入到鋼軌頂面的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上，并采用強(qiáng)迫節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)對(duì)車輪踏面缺陷的模擬。

表1 仿真中輪軌系統(tǒng)各部件的力學(xué)性能參數(shù)

有限元仿真中的積分算法通常包括隱式和顯式2種。顯式算法適用于求解波的傳播、非線性動(dòng)力學(xué)等高頻、瞬態(tài)問題，其積分時(shí)間步一般很小，且求解速度很高，不存在收斂性問題。其瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析方程為：

式（12）中，[M]，[C]，[K]分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；{F（t）}為結(jié)構(gòu)外載荷；為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)加速度矢量；為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)速度矢量；為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移矢量。

由于高速輪軌滾動(dòng)接觸涉及高頻、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，且必須考慮動(dòng)態(tài)效應(yīng)的影響，故本文選用顯式積分算法。

4.2 方法應(yīng)用及驗(yàn)證

基于上述動(dòng)態(tài)有限元仿真方法（為與基于不圓順車輪真實(shí)幾何輪廓的直接建模方法區(qū)別，下面稱為位移激勵(lì)法），以車輪扁疤為例，采用LS-DYNA軟件求解不圓順車輪-鋼軌間動(dòng)態(tài)響應(yīng)與接觸行為，并與直接建模得到的仿真結(jié)果相比較，以驗(yàn)證該方法的計(jì)算準(zhǔn)確性和精度。

在特定工況（v=200 km/h，l=40 mm）下，基于位移激勵(lì)法和直接建模法計(jì)算的輪軌垂向接觸力-時(shí)間曲線及差異性[19]如圖6所示?？梢钥闯觯逯盗ι杂胁町愅?，這2種方法的計(jì)算結(jié)果吻合較好；不同速度和扁疤長(zhǎng)度下2種方法得到的峰值力相對(duì)誤差均不超過17.8%。如前所述，高速輪軌關(guān)系研究中還必須考慮輪軌動(dòng)態(tài)效應(yīng)，特別是輪軌系統(tǒng)材料的應(yīng)變率效應(yīng)。圖7所示為含車輪扁疤條件下，材料應(yīng)變率效應(yīng)對(duì)輪軌系統(tǒng)應(yīng)力狀態(tài)及分布規(guī)律的影響?？梢园l(fā)現(xiàn)，在不考慮應(yīng)變率效應(yīng)時(shí)的輪軌接觸應(yīng)力峰值分別為583.3 MPa和549.4 MPa，而在考慮應(yīng)變率效應(yīng)時(shí)的輪軌接觸應(yīng)力峰值為648.4 MPa和626.8 MPa，相應(yīng)增加了65.1 MPa和77.4 MPa。這表明應(yīng)變率效應(yīng)能夠顯著提高輪軌接觸von Mises應(yīng)力，但是對(duì)其分布情況幾乎沒有影響。

圖6 車輪扁疤引起的輪軌垂向接觸力響應(yīng)

圖7 車輪扁疤引起的輪軌接觸von Mises應(yīng)力狀態(tài)及分布規(guī)律

上述含車輪扁疤的輪軌動(dòng)態(tài)接觸行為仿真示例表明，本文提出的將車輪不圓順轉(zhuǎn)換為輪軌接觸位移不平順的動(dòng)態(tài)有限元仿真方法是可行、有效的。在考慮輪軌系統(tǒng)強(qiáng)非線性特征和動(dòng)態(tài)效應(yīng)影響的同時(shí)，能夠較好地表征缺陷的隨機(jī)性特點(diǎn)，并且有效地求解輪軌接觸應(yīng)力/應(yīng)變狀態(tài)，以及分析高速不圓順車輪-鋼軌間的滾動(dòng)接觸行為。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)采用有限元方法求解含踏面缺陷車輪-鋼軌間滾動(dòng)接觸行為時(shí)的諸多困難，本文通過建立車輪不圓順條件下的輪軌接觸數(shù)學(xué)模型，提出了用輪軌接觸位移不平順代替車輪踏面缺陷的等效方法；基于線性同余法生成的偽隨機(jī)數(shù)，通過選取合適隨機(jī)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了車輪踏面缺陷在分布位置、幾何形狀/尺寸和數(shù)量等方面的隨機(jī)化表征，以初始位移激勵(lì)形式施加到輪軌滾動(dòng)接觸仿真模型中，在考慮輪軌強(qiáng)非線性特征和動(dòng)態(tài)效應(yīng)影響的同時(shí)，有效地求解輪軌動(dòng)態(tài)力學(xué)行為（應(yīng)力/應(yīng)變狀態(tài)等）；最后，通過與直接建模得到的仿真結(jié)果相比較，得出位移激勵(lì)法與直接建模法的輪軌間動(dòng)態(tài)響應(yīng)吻合較好，驗(yàn)證了基于位移激勵(lì)的車輪踏面缺陷有限元模擬方法是可行、有效的。該仿真方法為高速輪軌滾動(dòng)接觸關(guān)系的研究提供了一種新的思路。